一次函数知识点、经典例题、练习

1、v1.0可编辑可修改一次函数及其性质知识点回顾一次函数的定义一般地，形如y kx b （k, b是常数，k 0 ）的函数，叫做一次函数，当b 0时， 即y kx,这时即是前一节所学过的正比例函数.一次函数的解析式的形式是y kx b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式.当b 0, k 0时，y kx仍是一次函数.当b 0, k 0时，它不是一次函数.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.一次函数的图象及其画法一次函数y kx b （k 0, k, b为常数）的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先 描出两个点

2、，再连成直线即可.如果这个函数是正比例函数，通常取0, 0 , 1, k两点；如果这个函数是一般的一次函数（b 0）,通常取0, b ,0 ,即直线与两坐k标轴的交点.由函数图象的意义知，满足函数关系式 y kx b的点x, y在其对应的图象上，这 个图象就是一条直线l ,反之，直线l上的点的坐标x, y满足y kx b ,也就是说，直 线l与y kx b是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b的图象叫做直线l : y kx b , 有时直接称为直线y kx b.一次函数的性质当k 0时，一次函数y kx b的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；当k 0时，一次函数y kx b的图象从左

3、到右下降，y随x的增大而减小.一次函数y kx b的图象、性质与k、b的符号2v1.0可编辑可修改一次函数y kx b中，当k 0时，其图象一定经过一、三象限；当 k 0时，其图 象一定经过二、四象限.当b 0时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当b 0时, 图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限.反之，由一次函数y kx b的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号用待定系数法求一次函数的解析式定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出 这个式子的方法，叫做待字系数法.用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待

4、定系数的解析式；将x, y的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系 数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式.【典型例题】例1、当m为何值时，函数y=- (m-2) x*。(m-4)是一次函数【变式11如果函数”如一幻产I是正比例函数,那么(A. m=2£ m=0B. m=2C. m=0【变式2已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x=4时，求y的值；(3)当y=4时，求x的值.例2、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的

5、一次函数的表达式.【变式11已知弹簧的长度y (cM在一定的弹性限度内是所挂重物的质量 x (kg)的一 次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时，弹簧的长度是，求这个一次函数的表达式.【变式2】已知直线y=2x+1. (1)求已知直线与y轴交点M的坐标;(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k, b的值.【变式3】判断三点A (3, 1), B (0,-2), C (4, 2)是否在同一条直线上.例3、图中的图象(折线 ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出 发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下

6、歹问 题：(1)汽车共行驶了 km；(2)汽车在行驶途中停留了 h;(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km/h;(4)汽车自出发后3h至之间行驶的方向是 .【变式11图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程13与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系 i【变式2】（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后, 如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（）分钟分钟分钟分钟【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时，

7、经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程, 其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间x （分钟）之间的关系如图所示:根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟清洗时洗衣机中的水量是多少开?（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.求排水时y与x之间的关系式；如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.例4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A ( 6, 0),交y轴于点B,且AO由勺面积为12, y随x的增大而增大，求k, b的值.【变式1】已知关于x的一次函数串二("唠”而+忸.(1) m为何值时，函数的图象经过原点？(2) m为何值时，

8、函数的图象经过点(0, -2) ?(3) m为何值时，函数的图象和直线 y= x平行?(4) m为何值时，y随x的增大而减小？【变式2】函数1看邛色则在直角坐标系中的图象可能是().A.凡CD.例5、已知：如图，平面直角坐标系中，A ( 1 , 0), B (0, 1), C (-1,0),过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D,交线段AB于点E。齿(1)求/OAB勺度数及直线AB的解析式;(2)若OCMzBDE的面积相等，求直线 CE的解析式；若y轴上的一点P满足/APE=45 ,请直接写出点 P的坐标。【变式1】在长方形 ABCDfr, AB=3cm BC=4cm点P沿边按 2 ACHD的方向

9、向点D运动(但不与A, D两点重合)。求4APD的面积y(&/)与点P所行的路程x (cm)之间的函数关系式及自变量的取值范围。【变式2】如图，直线八耳钎与x轴y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8 , 0), 点A的坐标为(-6, 0)。(1)求上的值;(2)若点PG, 了)是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P的运动过程中，试 写出OPA勺面积S与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；27(3)探究：在(2)的条件下，当点P运动到什么位置时， OPA的面积为了，并 说明理由。、选择题V A一次函数练习1 .若y x 2 3b是正比例函数，则b的值是（2 .当x3时，函数y

10、 x2 3x 7的函数值为（）B.-7 C. 83 .函数y=（k-1） x, y随x增大而减小，则k的范围是（）A. k 0 B. k 1 C. k 1 D. k 14 .一次函数yx 1不经过的象限是（）A.第一象限 B第二象限C .第三象限D .第四象限5 .若把一次函数y=2x3，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（）A y=2x B、y=2x 6 C、y=5x 3 D 、y= - x 36 .一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8, 2）,此一次函数的解析式为:A、y=2x-14 B 、y=-x-6 C、y=-x+10 D 、y=4x7 .如果直线y=2x+m与两坐标

11、轴围成的三角形面积等于m,则m的值是（A 3 3 B、3C、± 4 D 48 .点 A (x1,y1)和 B (x2,y2)在同一直线 y kx b 上，且 k 0 .若x1x2，则y1 ,y2的关系是（）A、yiy B、yiy C、yiy D、无法确定.9.若 m<0, n >0,则一次函数y=mx+n的图象不经过A.第一象限B.第二象限10、一次函数y kx b （ k, b是常数,kx b 0的解集是（）A. x 2 B. x 0 C. x 2 D.11.已知函数yA.1-x2322 ,当-1 <x< 1 时c35B. -y -22的取值范围是（0）的图

12、象如图所示C.第三象限32y5212 .已知两个一次函数y=x+3k和y=2x6的图象交点在y轴上，则k的值为（A 3 B、1 C、2 D、一213 .已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限G第二、三、四象限 D、第一、三、四象限0 , b 0时，函数y=ax+b与y bx a在同一坐标系中的图象大致是（14 .当 a15 . 一次函数y尸kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论k<0;a>0;当x<3时，yi<y2中，正确的个数是（）A.0个 B .1个 C .2个 D.3个16 .汽车由A地

13、驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h,则汽车距B地路程s（km） 与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（A. S=120 30t (0 <t<4) BC S=30t (0 <t<40) D.S=120 30t(t >0).S=30t ( t <4)二、填空题1 .若关于x的函数y （n 1）xm1是一次函数，则 m=, n .13.把函数y %的图像向3平移个单位得到函数y 2。32 .在函数y & 2中,自变量x的取值范围是4 .直线y=2x+b经过点（1 , 3）,则b=5 .已知一次函数y=-3x+2,它的图像不

14、经过第 象限.6 .若一次函数y = mx（ m2）过点（0,3）,则m=.7 .函数y= - x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为 .8 .已知函数y= 3x+b的图象过点（1, 2）和（a, 4）,则a=9 .某一次函数图象过点（一1, 5）,且函数y的值随自变量x的值的增大而增大，请你 写出一个符合上述条件的函数关系式 10 .已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5 , -8 ）,则方程组x y 3 0的解是2x y 2 011 .若直线y=kx+b平行直线y=5x+3,且过点（2, -1）,则k=,b=.12 .直线y=2x+3与y=3x2b的图象交x轴上同一点，则b=1

15、3 .写出一个图象经过点(一1, 1),且不经过第一象限的函数关系式 114 . 一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y -x的图象平行 且与直线y= 2x1父 2于y轴上同一点，则这个一次函数的关系式为 15 .在某公用电话亭打电话时，需付电话费 y (元)与通话时间 x(分钟)之间的函数关系用图象表示如图.小明打了 2分钟需付费 元；小莉打了 8分钟需付费 元.1 .画出函数y=-2x+5的图象，结合图象回答下列问题：(1)这个函数中，随着 x的增大，它的图象从左到右是怎样变化的(2)当x取何值时，y=0(3)当x取何值时，函数的图象在 x轴的下方2,已知一次函数 y= (4m+1) x

16、- (m+1),(1) m为何值时，y随x的增大而减小(2) m为何值时，直线与 y轴的交点在x轴的下方(3) m为何值时，直线位于第二，三，四象限3 .已知关于x的一次函数y= (3a-7) x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方,且当xi<x2时，对应的函数值满足 yi>y2,求a的取值范围.4 .已知直线y 2x 1.(1)求已知直线与y轴的交点A的坐标；(2)若直线y kx b与已知直线关于y轴对称，求k与b的值.5 .已知直线y=- - x+3与y=2x-1 ,求它们与y轴所围成的三角形的面积.36 .如图，已知直线 Li： yi=kix+bi和L2： y2=k2x+b

17、2相交于点 M (1, 3),根据图象判断:yi>y2 (3) x 取何值时,yi<y2(1) x取何值时，yi=y2 (2) x取何值时,167 .已知y 3与x成正比例，且x 2时，y 7.(i)求y与x的函数关系式；.i.(2)当x 时，求y的值；2(3)将所得函数图象平移，使它过点(2,-i).求平移后直线的解析式8 .如图，直线y=2x 3 x轴交于点A y轴交于点B。(1) 求A、B两点的坐标；(2) 过B点作直线BP与x轴交于点P,且使OR2OA求ABPW面积。9 .已知，直线 y=2x+3与直线y=-2 x-1.(1)求两直线与y轴交点A, B的坐标；(2)求两直线交点 C的坐标；(3)求 ABC的面积.10 .小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y (千米)与所用的时间x (小时)之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：小强到离家最远的地方 需几小时此时离家多远何时开始第一次休息休息时间多长小强何时距家21 km (写出计算过程)v1.0可编辑可修改180 I孑此11 .王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动