选修4－1几何证明选讲

1、选修41几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质 基础盘查一平行线分线段成比例定理(一)循纲忆知了解平行线截割定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理)(二)小题查验1判断正误(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和()(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行()答案：(1)×(2)2.如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DFAD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF16，GF12，则BE的长为_解析：由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8.答案：83.(人教A版教材习题改编)如图，A

2、BEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_ cm.解析：E为AD中点，M为BC的中点，又EFBCEFMC12 cm.BC2MC24 cm.答案：24基础盘查二相似三角形的判定及性质(一)循纲忆知理解相似三角形的定义与性质，会证明并应用直角三角形射影定理(二)小题查验1判断正误(1)在ABC中，AD是BC边上的高，若AD2BD·CD，则A为直角()(2)在直角三角形ABC中，ACBC，CDAD，则BC2BD·AB()(3)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等()答案：(1)(2)×(3)2.(人教A版教材习题改编)如图，D，E分别是AB

3、C的边AB，AC上的点，DEBC且2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是_解析：DEBC，ADEABC，.2，故.答案： |(基础送分型考点自主练透) 必备知识1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例提醒在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误题组练透1.如图，在ABC

4、中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值解：如图，过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM.又点D是AC的中点，在CAF中，CMMF，.2如图，等边三角形DEF内接于ABC，且DEBC，已知AHBC于点H，BC4，AH，求DEF的边长解：设DEx，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DEBC，则，解得x.3.如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，求的值解：由平行线分线段成比例定理得，故1.类题通法对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题解题时要充分利用

5、中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理|(重点保分型考点师生共研)必备知识1相似三角形的判定定理判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似2相似三角形的性质定理性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方提醒在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误典题例析如图，已知在ABC中，D是B

6、C边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长解：(1)因为DEBC，D是BC的中点，所以EBEC，所以BBCE.又因为ADAC，所以ADCACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC2CD，所以24.又因为SFCD5，所以SABC20.因为SABCBC·AM，BC10，所以20×10×AM，所以AM4.因为DEAM，所以.因为DMDC，BMBDDM，所以，解得DE.类题通法证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两

7、个三角形的边和角之间的数量关系有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理演练冲关(2015·浙江模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD4.过AC与BD的交点O作EFAB，分别交AD，BC于点E，F，求EF的长解：因为ABCD，EFAB，所以EDOADB，因此有，又AB3，CD4，不妨设DO4m，OB3m，因此可得EO，则EF.|(重点保分型考点师生共研)必备知识射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影

8、与斜边的比例中项提醒射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用典题例析如图，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明：(1)AB·ACBC·AD；(2)AD3BC·CF·BE.证明：(1)在RtABC中，ADBC，SABCAB·ACBC·AD.AB·ACBC·AD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得 BD2BE·AB，同

9、理CD2CF·AC，BD2·CD2BE·AB·CF·AC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BD·DC，AD4BE·AB·CF·AC，又AB·ACBC·AD.即AD3BC·CF·BE.类题通法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法演练冲关如图，在RtABC中 ，BAC90°，AD是斜边BC上的高，若ABAC21，求ADBC.解：设ACk，则AB2k，BCk

10、，BAC90°，ADBC，AC2CD·BC，k2CD·k，CDk，又BDBCCDk，AD2CD·BDk·kk2，ADk，ADBC25.1如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，求SCDE.解：ECAD，SDCESADEECAD.DEBC，SBCESCDEBCED，又因为ECBDECADE，BECEAD，BECEAD，ECADBCED，SDCESADESBCESCDE，得SCDE.2在RtACB中，C90°，CDAB于D，若BDAD19，求tanBCD的值解：由射影定理得CD2AD

11、3;BD，又BDAD19，令BDx，则AD9x(x>0)CD29x2，CD3x.RtCDB中，tanBCD.3如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F，交CB的延长线于点N.若AE2，AD6，求的值解析：ADBC，AEFCNF，.M为AB的中点，1，AEBN，.AE2，BCAD6，.4已知ABC中，BFAC于点F，CEAB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)BPECPF; (2)EFPBCP. 证明：(1)BFAC于点F，CEAB于点E，BFCCEB.又CPFBPE，BPECPF.(2)由(1)得BPECPF，.又EPFBPC，EFPBCP

12、.5.如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF2DE·AF.证明：过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在BCF中，D是BC的中点，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AE·BF2DE·AF.6ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于P，若BDDC，AEAF.求证：.证明：过F作MNAD交BA的延长线及DC于M，N.对MEF有，因为AEAF，所以.对MBN有，因为BDDC，所以.对ADC有，所以.所以，所以.7.已知：如图，在ABC中，

13、ABAC，BAC90°，D，E，F分别在AB，AC，BC上，AEAC，BDAB，且CFBC.求证：(1)EFBC；(2)ADEEBC.证明：设ABAC3a，则AEBDa，CFa.(1)，.又C为公共角，故BACEFC，由BAC90°得EFC90°，故EFBC.(2)由(1)得EF·ABa，故，ADEFBE，所以ADEEBC.8如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EFAD，假设EF做上下平行移动(1)若，求证：3EFBC2AD；(2)请你探究一般结论，即若，那么你可以得到什么结论？解：过点A作AHCD分别交EF，BC于点G，H.(1)证明：

14、因为，所以.又EGBH，所以，即3EGBH.又EGGFEGADEF，从而EF(BCHC)AD，所以EFBCAD，即3EFBC2AD.(2)因为，所以.又EGBH，所以，即EGBH.所以EFEGGFEGAD(BCAD)AD，所以EFBCAD，即(mn)EFmBCnAD.第二节直线与圆的位置关系基础盘查圆幂定理(一)循纲忆知会证明和应用有关圆的定理(1)圆周角定理；(2)圆的切线判定定理与性质定理；(3)相交弦定理；(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理；(5)切割线定理(二)小题查验1判断正误(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等()(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共

15、圆()(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心()(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半()(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PAAB，CD3，则PC的长为_解析：设PCx，由割线定理知PA·PBPC·PD.即×2x(x3)，解得x2或x5(舍去)故PC2.答案：23(2015·陕西模拟)如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的

16、延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则AB_.解析：设xBCAD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x10)4(x4)，x2，AB2.答案：24(2014·湖北高考)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，则PB_.解析：由切割线定理，得QA2QC·QD4QA2，则PBPA2QA4.答案：4|(基础送分型考点自主练透)必备知识1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的

17、圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径3弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线提醒圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题题组练透1.(2015·湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，ACB的平分线分别

18、交AB，AE于D，F两点，求AFD.解：因为AC为圆的切线，由弦切角定理，得BEAC.又因为CD平分ACB，则ACDBCD，所以BBCDEACACD.根据三角形外角定理，ADFAFD.因为BE是圆O的直径，则BAE90°，所以ADF是等腰直角三角形所以ADFAFD45°.2.如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5，BE4，求弦BD的长解：因为在圆内接梯形ABCD中，ABDC，所以ADBC，BADBCD180°，ABEBCD.所以BADABE180°.又因为AE为圆的切线，所以AE2BE·EC

19、4×936，故AE6.在ABE中，由余弦定理得cosABE，cosBADcos(180°ABE)cosABE，在ABD中，BD2AB2AD22AB·AD·cosBAD，所以BD.3(2014·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.类题通法1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小2涉及圆的

20、切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角|(重点保分型考点师生共研)必备知识圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1：圆的内接四边形的对角互补性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆提醒利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用典题例析(2015·开封模拟)如图，AB是O的直

21、径，G是AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH6，GE4，求EF的长解：(1)证明：连接DB，AB是O的直径，ADB90°，在RtABD和RtAFG中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE.C，D，E，F四点共圆(2)C，D，E，F四点共圆，GE·GFGC·GD.GH是O的切线，GH2GC·GD，GH2GE·GF.又GH6，GE4，GF9.EFGFGE945.类题通法证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定

22、点等距离，则这四个点共圆(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆(5)若AB，CD两线段相交于点P，且PA·PBPC·PD，则A，B，C，D四点共圆(6)若AB，CD两线段延长后相交于点P，且PA·PBPC·PD，则A，B，C，D四点共圆(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆演练冲关(2015·银川

23、模拟)如图，在正ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且ADAC，AEAB，BD，CE相交于点F.(1)求证：A，E，F，D四点共圆；(2)若正ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径解：(1)证明：AEAB，BEAB.在正ABC中，ADAC，ADBE，又ABBC，BADCBE，BADCBE，ADBBEC，即ADFAEF，所以A，E，F，D四点共圆(2)如图，取AE的中点G，连接GD，则AGCEAE.AEAB，AGGEAB，ADAC，DAE60°，AGD为正三角形，GDAGAD，即GAGEGD，所以点G是AED外接圆的圆心，且圆G的半径为.由于A，E，F，D四点共圆，即A，E

24、，F，D四点共圆G，其半径为.|(重点保分型考点师生共研)必备知识1相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项4切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角提醒相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用典题例析(2014·新课标全国卷)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点

25、，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)AD·DE2PB2.证明：(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PB·PC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得AD·DEBD·DC，所以AD·DE2PB2.类题通法以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目，往往要综合运用多个定理以及添加相应的辅助线才能解决，在解题时要注

26、意总结一些添加辅助线的技巧在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理演练冲关(2015·大同调研)如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于D，DEAC交AC延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若，求的值解：(1)证明：连接OD，OAOD，ODAOAD.BAC的平分线是AD，OADDAC，DACODA，可得ODAE.又DEAE，DEOD.OD是O的半径，DE是O的切线(2)连接BC，DB，过D作DHAB于H，AB是O的直径，ACB90°，RtABC中，cos

27、CABODAE，DOHCAB，cosDOHcosCAB.RtHOD中，cosDOH，设OD5x，则AB10x，OH3x，RtHOD中，DH 4x，AHAOOH8x，RtHAD中，AD2AH2DH280x2.BADDAE，AEDADB90°，ADEABD，可得，AD2AE·ABAE·10x.而AD280x2，AE8x又ODAE，AEFDOF，可得.1(2014·重庆高考改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的长解：如图所示，由切割线定理得PA2PB·PCPB·(PB

28、BC)，即62PB·(PB9)，解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得AB4.2.(2015·广州综合测试)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A，B两点，APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC3，PB2，求的值解：由切割线定理可得PC2PA·PBPA，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知PCBPAD，由于PD是APC的角平分线，则CPEAPD，所以PCEPAD，所以3×.3.如图，AB是O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.(1)求

29、证：BE·DEAC·CECE2.(2)若D是BE的中点，求证E，F，C，B四点共圆证明：(1)由割线定理得EA·ECDE·BE，BE·DEAC·CEEA·CEAC·CECE2，BE·DEAC·CECE2.(2)如图，连接CB，CD.AB是O的直径，ECB90°，CDEB.EFBF，FDBE.E，F，C，B四点与点D等距离E，F，C，B四点共圆4(2015·忻州模拟)如图，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(1)求证：直线AB

30、是O的切线；(2)若tanCED，O的半径为3，求OA的长解：(1)证明：如图，连接OC，OAOB，CACB，OCAB.OC是O的半径，AB是O的切线(2)由弦切角定理得BCDE，又CBDEBC，BCDBEC， .tanCED， ，设BDx，则BC2x，BC2BD·BE，即(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.5(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA，所