北师大版初中数学九年级上册第五章第二节《反比例函数的图象和性质》教案

1、精品课 题：第五章 第二节 反比例函数的图象与性质 第二课时课 型：新授课教学目标：1通过反比例函数的图象，理解并掌握函数值的变化规律及值的意义；2理解反比例函数的图象性质，会利用图象比拟函数值的大小关系；3通过本节课的学习进一步让学生感受图象的直观性给解决数学问题带来极大的方便与快捷，感受数学中的数形结合思想，本节课还涉及到了分类讨论思想，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力教法及学法指导：本节应用五环教学模式：创设情境感知探究合作交流拓展应用总结升华从上节课反比例函数的图象所经象限入手，回头联系正比例函数值的变化规律做为比照学习，通过观察、讨论、合作交流，总结出反比例函数值的变化规律并会

2、应用根据新课程要求，在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过观察、回忆所学正比例函数的性质进行主动学习，培养学生总结归纳、探究与合作能力课前准备：教师准备：课件、坐标纸、三角板学生准备：同位两个同学分工，一个同学在在坐标纸上分别画出，的图象，另一个同学在坐标纸上分别画出，的图象【设计意图】一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，标准学生的作图，在做中反应校正；二是为本节课动手操作，继续探究反比例函数的图象性质做准备【实际效果】主要存在以下几个方面的问题：坐标系缺少箭头、标注，原点；反比例函数不是平滑的曲线，画成折线；双曲线两头没有向坐标轴靠拢而是向内卷；图象上没有标表达式等通过

3、上课时展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象做得标准标准这样做能够曝露出画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间，教学过程：一创设情境师：函数家族中增添了新的一员：反比例函数结识新朋友，别忘老朋友！请大家谈谈对老朋友正比例函数的认识生：正比例函数表达式为：为常数，生：是一条直线，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限生：是一条经过原点的直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小师：展示课件大家掌握地很好！请看表格：函数图象大致图象所经象限函数值变化正比例函数直线xyO一、三随的增大而增大xyO二、四随的增大而减小师：对于函数的图象及性质的

4、研究，我们一般从以上几个方面进行研究，希望同学们掌握这种研究方法，为我们学习其他函数的图象及性质奠定根底上节课我们对反比例函数的图象及性质进行了探究，请同学们根据表格总结反比例函数的图象及性质：生：函数图象大致图象所经象限函数值变化反比例函数双曲线xyO一、三？xyO二、四？师：那我们这节课继续探究反比例函数图象的性质函数值的变化规律【设计意图】首先从复习正比例函数的图象及性质入手，起点低，能让更多的学生跟上来；其次，学生对正比例函数的图象及性质遗忘了很多，复习这后可以形成知识的循环往复，螺旋式上升；还有，利用类比的方式研究，可以形成系统地知识网络，也为今后学习其他函数奠定根底【实际效果】有相

5、当一局部学生将正比例函数的图象及性质遗忘，通过表格的形式重拾起记忆，有一局部学生用类比的方式将反比例函数的图象及性质也答复出来了，但函数值的规律少了“在第一象限内这一关键限制范围事实上，这也是易错点，为我们下面全面正确地学习提供了反例二感知探究1、当时，反比例函数值的变化规律师：请大家展示课前做的反比例函数，的图象，小组同学相互找碴，帮助同学完善他的作图生：相互检查，找出问题，标准作函数图象方法及步骤师：请观察这三个图象，你能发现它们的共同特征吗？生：它们的图象都是双曲线生：图象都经过第一、三象限生：随着的增大而减小生：不对，应该说“在每一象限内，随着的增大而减小生：为什么？生：你看，在轴左侧

6、第三象限内，随着的增大而减小，的值越来越小，但向右过了轴之后是从无限大的值重新开始减小的，所以我认为两支曲线应该分开来说师：很好！分析得相当到位我们可以用代数的方法进行推理：当时，在第三象限找两个点，设，那么，即这说明，在第三象限内，随着的增大而减小同理，我们也可以在第一象限去论证这一结论，课下同学们去做一做师：请思考：反比例函数的图象可能与轴相交吗？可能与轴相交吗？为什么？生：不可能，我画得所有的反比例函数图象都没有与，轴相交生：从反比例函数表达式中就可以看出，又由于，所以师：这说明，反比例函数图象的两个分支无限接近轴和轴，但永远不会与轴和轴相交【设计意图】通过直观图象观察，学生应很容易地总

7、结出反比例函数图象的性质，对于函数值变化规律中“在每一象限内这一限制，让学生互相交流、讨论总结即可，后面的练习中再加深理解，对于运用代数方法进行推理论证点到为止，留给接受能力较好的同学课下继续探讨【实际效果】正如课前所料，多数同学对“在每一象限内这个条件遗漏，其他性质理解掌握较好对运用代数方法推理论证，局部学生很感兴趣，但存在代数变换根本运算能力不过关，需加强根底知识的落实2、当时，反比例函数值的变化规律师：我们利用，的图象探究了当时，反比例函数值的变化规律，那么以小组为单位，利用大家课前所作的，的图象，当时，反比例函数值的变化规律生：当时，随着的增大而增大生：不对！又忘了“在每一象限内生：当

8、时，在每一象限内，随着的增大而增大师：请大家将反比例函数的图象及性质表格填写完整：函数图象大致图象所经象限函数值变化反比例函数双曲线xyO一、三在每一象限内，随的增大而减小xyO二、四在每一象限内，随的增大而增大【设计意图】让学生学会用类比的方法进行研究，主动去探究反比例函数值的增减性，主动曝露知识点的遗漏，加深对性质的理解最后用表格的形式形成完整的知识网络，与正比例函数一起纳入系统之中，这种探究函数图象及性质的方法为今后学习二次函数打下了根底【实际效果】学生很快地得出了结论，仍然有局部学生遗漏了“在每一象限内，这也是意料之中，让学生在反思中不断完善提高3、稳固练习：xyO11以下函数中，其图

9、象位于第一、三象限的有 ；在其图象所以象限内，随的增大而增大的有 填写序号；2小明所作的所比例函数的图象如图1，你认为他作得对吗？3反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，那么的取值范围是 【设计意图】针对性练习，及时反应，完成一个知识学习的小循环，稍放慢一节节奏，让更多的学生跟上来，同时也为下面的学习做准备【实际效果】根底性练习，为学生加油打气，掌握得都较好三、交流提高1以小组为单位，要求每个同学能说出正比例函数、反比例函数的图象及性质，并帮助有困难的同学解释其中的原理【设计意图】增强对反比例函数图象及性质的理解，是解决问题的关键，也是解释问题的原理，让学生会交流、会表达所学的数学原理同时，

10、也增强同学间的团结互助【实际效果】互相提问，学会用数学的语言表达，学习气氛很是浓厚2“的意义xyOPMN2师：如图2，在反比例函数图象上任取两点，过点作轴，轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少？生：设点，由图象可得，所以矩形面积=·=xyO3师：一般地情况，反比例函数图象向作轴，轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少？生：生：因为有可能为负，而面积不可能为负的，所以要加上绝对值号xyOAB4师：如图3，图中三个矩形的面积分别为：，请问它们的大小关系？生：观察图象，直观得到：>>xyOABC5生：不对！我们刚推导出每个矩形的面积都应该等于，所以=生：噢，不能只凭感觉，

11、要讲求科学原理的师：如图4，5，反比例函数图象，请说出图形阴影局部的面积？生：图中，的面积是所在矩形面积的一半，所以生：图5中，的面积是矩形面积的2位，所以【设计意图】函数表达式中的每一个常数都有相应的图形意义，因而探究反比例函数表达式中的意义，会增强对数形结合的认识从表达式中到图形中矩形的面积=，应让学生体会代数推理与几何图形之间的对应关系【实际效果】图形的直观性让学生加深了对函数的认识，通过探究图形面积与的关系，让学生感到了数学的奥秘与美感3反比例函数的对称性师：请同位两同学合作，将所作反比例函数图象重合，将上面的图象绕原点旋转后，能与原来的图象重合吗？你能得到什么结论？生：仍然与原来的图

12、象重合，说明反比例函数图象关于原点对称师：请同学们探究：反比例函数图象是否关于轴，轴对称？生：沿轴，轴对折后不重合，因而反比例函数图象关于轴，轴不对称师；请同学们沿第一、三象限角平分线折后看有什么发现？生：反比例函数关于第一、三象限角平分线对称生：老师，我还发现：反比例函数关于第二、四象限角平分线对称师；很好！我还没提示呢，都有新的发现了，希望同学们多些探究【设计意图】通过课前学生的作图，动手操作，对称性显然易见这局部知识让学生直观感受即可，无需进行论证【实际效果】由于图是学生自己作的，通过操作效果很明显，结论也很容易记，学生也很乐意学四拓展应用 师：数形结合思想是初中阶段很重要的一种思想方法

13、，是研究函数图象常用的好方法，下面就来考查大家对反比例函数图象及性质的理解：点，都在反比例函数的图象上，试比拟，的大小生：分别将，代入求出，所以生：可以利用图象的直观性，如图，得到变式一：点，都在反比例函数的图象上，试比拟，的大小生：用代入求值法或图象法两种方法我都试了，结果是变式二：点，都在反比例函数的图象上，试比拟，的大小yxO-2-13yxO-2-1367生：要分，两种情况讨论，这时代入求值法不好用了，我用的是图象法，如图6，当时，；如图7，当时，【设计意图】通过“活学活用可以进一步帮助学生掌握知识，有助于教师了解学生对知识的理解与掌握通过交流学生用不同的方法解决所给的问题，拓宽学生的视

14、野翻开解题的思路通过变式练习，一步步加深难度，让学生感受到分类讨论思想【实际效果】学生对于教师设置的题目学生能较好的掌握，收到了很好的教学效果学生的想法很多也很好，让学生到前面讲解，下面的学生比听老师讲认真多了，这种方式值得使用，一可以锻炼讲题人的逻辑思维能力和语言表达能力，二可以促进更多的学生听他们自己的声音五总结升华生：通过本节课的学习，我在了解反比例函数的图象及所经象限后，又知道了反比例函数值的增减性生：我们必须强调：“在每一象限内，函数值的变化规律生：通过本节课的学习，我体会到数形结合对解决函数问题很是有用生：用类比正比例函数的图象及性质来理解掌握反比例函数的图象及性质，既能复习还能很

15、好地比照记忆生：对于反比例函数表达式中，我原以为只是一个常数而已，而如今我知道它居然还有着不同凡响的图形意义，有意思！师：我真替大家快乐，不仅学到了数学原理，更为重要的是能够理解到这些深奥的数学知识的内在美，下节课我们就来重点应用了衷心地希望同学们好好学习，为明天的成功做准备！【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获，教师适当点拨与肯定鼓励学生大胆讲出本节课存在的疑问，师生合作帮助学生解答疑问通过这一环节让学生进一步认识了生活实际与数学的紧密联系，有助于培养学生乐于观察生活的习惯，激发学生学习数学的兴趣【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知识的喜悦学生

16、通过回忆本节课的学习过程，体会到“数学的美在于发现，距离数学更近了！六当堂反应1假设点在函数的图象上，那么这个图象的函数是 ，它在第 象限内，在第一象限内，随的增大而 xyOPA8【考查知识点】反比例函数的表达式、图象所经象限、函数值的变化规律2如图8，点是反比例函数图象上的一点，假设的面积为4，那么反比例函数的表达式为 【考查知识点】图形面积与的关系xyOAB93如图9，正比例函数与反比例函数是非零常数的图象交于两点假设点的坐标是，那么点的坐标是 【考查知识点】反比例函数关于原点对称4课本第155页“数学理解第3题【考查知识点】利用代入法或图象法比拟函数值的大小七作业设置1【根底】课本第155页“知识技能第1题【考查知识点】反比例函数的图象所经象限、函数值的变化规律2【提升】课本第155页“知识技能 第2题【考查知识点】图形面积与的关系八板书设计52 反比例函数的图象与性质2一、正比例函数的图象及性质：二、反比例函数的图象及性质：三、典例分析九教学反思回忆整堂课，我认为本节课从课前准备、复习正比例函数的图象及性质入手，为本节课的顺利进行打下了很好的根底，所以一节课的成功与否，教师应该多为学生考虑，为大多数学生考虑，内容不必要过多，但务求知识的落实，强