(完整word版)高中数列经典习题(含答案)(word文档良心出品)

1、1 在等差数列an中,ai= 250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,(1)70 0,Si3 S6 04,32=24.(1)求公差 d 的取值范围；(2)问数列Sn是否成存在最大项，若存在求，出最大时的 n,若不 存在,请说明理由.13、 设首项为正数的等比数列， 它的前 n 项和为 80，前 2n 项的为 6560,且前 n 项中数值最 大的项为 54,求此数列的首项和公比.14、 设正项数列an的前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对所有正整数 n, t 与 an的等差中 项和 t与 Sn的等比中项相等，求证数列 .Sn为等差数列，并求an通项公式及前 n 项和.15

2、、 已知数列 Sn f 是公差不为零的等差数列，数列3bn匚是公比为q的等比数列，且d -1, b2- 5, b3-17.1求q的值；2求数列 b 前 n 项和.16、 若 a、b、c 成等差数列，且 a+ 1、b、c 与 a、b、c+ 2 都成等比数列，求 b 的值.答案：1、 解：a1= 250, d=2, an= 250+2(n 1)=2 n 252同时满足 70 noa1 6d：(n)由 dv0 可知 aia2出印2a.因此若在 1 0,an+iv0,则 Sn就是 3 忌,Si2中的最大值.由于Si2=6(a6+a7) 0, Si3=13a7v0，即a6+a70, a7v.由此得 氏a

3、70.因为 a6 0, a7v0,故在 Si,S2,Si2中 S6的值最大.3、 (1)由 a6=23 + 5d0 和 a7=23 + 6dv0,得公差 d= 4.(2)由 a6 向7 0,得 nv12.5，整数 n 的最大值为 12.24、Ta1=3,S1=a1=3.在Sn+1+Sn=2an+1中，设n=1,有S2+ S1=2a2.而S2=a1+ a2.即 a1+ a2+ a1=2a2.a2=6.由 Sn+1+Sn=2an+1,.(1)Sn+2+Sn+1=2an+2,.(2)(2) (1),得 Sn+2 Sn+1=2an+2 2a*+1,. an+1+ an+2=2an+2 2an+1即an

4、+2=3an+1an=SnSn=n(n + 1)(n + 2) 1(n 1)n(n + 1)=n(n + 1).当 n=1 时，a1=2,S1=- X1 *1333+ 1)九 2 + 1)=2, . a1= S1.贝 Uan= n(n + 1)2=0ai 1P - 2ai 2p ai 30则-,得 dp2+2dp+d=0,d丰0 为公差,.(p + 1)2=0. . p= 1 是公共根.(直接观察也可以看出公共根为O/UQ-I1).(2)另一个根为mi,则mi+ ( 1)= -= -2 -一 . .mi+1=-即3i3iai1a-11，易于证明- 是以一一为公差的等差数列.mi1 2dmi12

5、7、解由根与系数关系，an+an 1= 一 3n,则(an 1+an 2)( an+an 1)= 一3,即an 2一an= 一3. a1,a3,a5和 a2,a4,a6都是公差为一 3 的等差数列，由 a1=2,a1+a2= 3,. a2= 5.则a2k= 3k此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an的通项公式3,当当n =1时时，2 3nJ,当当n_2时时.此数列的前n 项和为 Sn=3 + 2 X3+ 2X32+ 2*3n-1=3 +-3(3=3n.3 -15、是此数列 的通项公式。丄丄a?1 1an_12n(n 1)=(1丿)(丄 一1)(丄)223n n 16、 (1)设公

6、共根为 p,则aip22ai 1p ai22, . a100= 152,a2k 4= 3k + 5, . a101= 148,C100= a100 a101=224968、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r.则有q 1, r 1.依据题设条件，有 =1,=2,1 - q 1 - raqn 12二brn= 由上面的,， 可得(1 -q)2q2n=2(1 r)rn J.令 n=1,有(1 -q)2=2(1r),设 n=2.则有(1 - q)2q2=2(1 - r兀兀由和，可得 q2=r,代入 得(1 - q)2=2(1 - q2).由于11416qz1,.有 q=,r = 因此可得 a=1

7、 - q= ,b=2(1 - r)=.399经检验,满足an1nr :91 _ J_ 11_ _ _ _ _ *_bn= 2(Pnn；gg 1) = ?._ g ( , gg 1) Tg 0,则2.0= . g /. 01。11、解：设an的公差为 d, bn的公比为 q,则:；2(1 +2d) = q21 +2d = q4二S10=10a145d1055T_b1 - q c,T10 -b18 1 (2)由(1)知，a10 0,a10+an 0 an,又公差小于零，数列an递减, 所以an的前10 项为正，从第 11 项起为负，加完正项达最大值。 n=10 时， 最大。13、解：设该等比数列为

8、an，且公比为 q右 q=，贝VSn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故 ql ?bn是等差数列.二bn=2(n 1)2an= bn lbn宀=_+1)10、12、解:(1)由题意:S3-B+為為=7q。o4-2 P+比比严严+耳耳4珂耳。坷珂耳。坷) )0a28d 022+17d 1,数列an为递增数列，前 n 项中最大的项为 an=ag =-81=54 q解得：a1=2,q=314、证明：由题意：拧tSn即2tSt an当 n=1 时，2 tStatS1r(：S一.t)2=0,0=t当 n2 时，2,tSn=tan=tSn-Sn.(Sn-t)2-(Sn)2= 0因为an为正项数列，故

9、 Sn递增， &4-)=0 不能对正整数 n 恒成立，Sn -；Sn二t即数列.Sn为等差数列。公差为 t-JSn=S (n-1) t = n /t,Sn= tn2,ant = 2tSn= 2nt,an= (2n _1)t所以数列 .Sn为等差数列，an通项公式为 an=(2n-1)t 及前 n 项和 Sn=tn2。15、 33n- n -116、设 a、b、c 分别为 b d、b、b + d,由已知 b d+ 1、b、b + d 与 b d、b、b + d +2 都成等比数列，有b2= (bd+1)(b+d)b2= (bd)(b+d+2)整理，得b2= b2-d2+b+db2= b2-d2+2b2d b+ d=2b 2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d d + 1)(3d