(完整word版)高等代数与解析几何(一)期末考试试卷(A卷)(答案)(2006年1)(new

1、1:号学:名姓生学：级年华中师范大学2005 P006学年第一学期期末考试试卷（A卷）（参考答案）课程名称高等代数与解析几何（一）编号 83410002 任课教师 樊、朱、刘题型填空题判断题计算题证明题总分分分得分评阅人、填空题： （共 5 题，每题 3 分，共 15 分）1、9 级排列 98712364 的逆序数是 24:业专.2、2二=cos i32二sin3，则1 1 1-3.3i。13、设 F 是一个数域，A 为 n 阶 F-方阵，A2-A-2E=0,则 A二A-E）24、令 R 表示实数域，-R3，则与，反向的单位长度向量是-|：|55、设 F 是一个数域，

2、A F2X2, det（A） = 3,则 det（ 55A） =755得分评阅人二、判断题：（共 5 题，每题 2 分，共 10 分，对的请打V” ，错的请打”）1、设向量二- 0，则向量：在向量上的投影为Proj：（:）2、r ,332、 设向量：= X1；1X2；2X3R，:二y1；1y2；2 y3；3 R；1=(1,0,0),；2 =(0,1,0),；3 =(0,0,1)，则-的坐标为解：根据题意，可设所求的平面方程为:k,x 2y -z 4) k2(3x -y 2z -1) =0(*)其中k1, k2不全为零。由于该平面经过点 A (-3,1,0)，故有&(-32 1 - 0

3、4) k2(3 (-3)-12 0-1)=0整理得到/X2x3X3X1X1X2、1y2y3y3y1y1yJa1a2b b2aia2+b2+a3a4b3b4a3+b3a4也3、04、设向量组、K2,:-1的极大线性无关组为:1，:,(r Et)，则 L(o(1,o(:t)=55、两个向量组1,r与：1,:s等价 ran k( r,，t) = rank(1,7 o得分评阅人三、计算题：(共 4 题，共 49 分)1、求通过点 A (-3,1,0)和直线-；+”1 = 0 的平面。(10分)(5 分)(v)03k1k23将其代入到(*)式并整理得所求的平面方程为：20 x 19y -5z 41 =0

4、(10 分)42、r 1、3广1、广1、广7、125-1-11，Ct 2 1，口3 =3，G 4 0，G 5 3cb0设向量（10分）(1)求向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组。(2)将此向量组中的其余向量通过该极大线性无关组表示出来。10117 解：A =(口耳a3口4口5)=：125-1 -1:11303-11121有广1011710117024-2-8012-1 -4AT012-1-4T012-1 -401238丿01238丿10117）0104对 A 实行初等行变换,-104-4012-103所以秩(12345)= 3,其极大线性无关组为:（8分）：-3-1 2：2：5 =4

5、： -：234（10分）5求矩阵 A 的逆矩阵;求解矩阵方程 XA= B.2 -1 14 -2 1_3丄2 2 丿2 -1 14 -2 1卫 1-丄2 2 丿01 2、23 4 114，B=4222-1232(共 14分)2、设矩阵 A=01 2-:100114P 10 114：010T012”002-10：00 50-3 88-2 1E),并对该矩阵实行初等行变换（A| E）=由 XA=B,得 X = BA4,因此(1) 构造 3 6 矩阵(A |解:故矩阵A可逆,00-23-1-2-2其逆矩阵为2 -1:4 -2（7分）X = BA（14分）6*10-4 3、13-6513-6 4丿72x

6、i+7x2+ 3x3十X4= 63、求非齐次线性方程组3x15x22x32x4= 4的通解。(15 分)9x14x2x37x4= 2解：该线性方程组的增广矩阵为z2 73 16 (Ab) =3 5 224，94 172;对该矩阵实行初等行变换得到7316、1-2-11-2 1-2-11-2T27316-11-51-10.；0-11-5 1一10丿（Ab）-11-2 1-2-11-2 5-110T0115-110-51一10j0000111191111102-11101101 -20 11e -118由于秩(At)=秩(A)= 2 4,因此该方程组有无穷多个解.所以原方程组的通解为：二 C1 1

7、 C2 2，其中 5C2为任意常数。(15 分)（8分）原方程组的导出组等价于1x1x311911 X4X25X31111x4；分别令X3x4丿11又原方程组等价于1、-9 -5和11100 11（12分）X1 X3 X411 11 115. 1.10X3亠X4亠一二唱得特解”=X31110110 0得导出组的一个基础解系为191、设 a, b 是任意实数，：，是任意空间向量。证明混合积等式：（10 分）（爲，-,a：亠b】：； 丫）=（.二，-,）证明：由混合积的多重线性和交错性，得（：,：,ax-b-）=（，：，a：）+（：, :, b：）+（：，：，）a（: , ： ） +b（. , -

8、,!：:;） +（：,：,）原式得证。2、设代C都是 n 阶可逆矩阵。（共 10 分）（2 2）求比较上述矩阵的两边，得到等式得分评阅人四、证明题： （共 3 题，共 26 分）=0+0+（：,：,）=（： ， ）（10分）（1） 证明：矩阵可逆。证明：（1）由于A,C都是 n 阶可逆矩阵，故| A卜0, |C卜0，从而=|A|C0所以矩阵 A C可逆。（5分）（2）利用分块矩阵的运算，设矩阵IAB广 X、T 09 cZ W，即AXCZB10 c 丿IZAY + BW T 0CW0 E，则的逆矩阵为10解得，W =CJ,Z =0, X二A,Y二-AJBCJ3、设A,BMn(F)为数域 F 上的

9、 n 阶方阵，X 是 n 维未知列向量。证明：齐次线性方程组 ABX = 0 与 BX = 0 同解当且仅当 秩(AB)=秩(B)(6 分)。证明：充分性。若秩(AB)=秩(B),不妨设秩(AB) = 秩(B) = r,则 BX = 0 的解空间的维数是 n -r。设!,2,，心是 BX = 0 的解空间的一组基底。由于 BX = 0 的解是 ABX=0 的解，故!,2,，心也是 ABX = 0 的一组线性无关的解，而 ABX = 0 解空间的维 数是n -r,故!,2,，心也是 ABX = 0 解空间的一组基底，因此齐次线性方程组 ABX=0 与 BX = 0 同解。(3 分)必要性。 若齐次线性方程组 ABX = 0 与