江西程峰《当点在直角梯形上运动》修改稿

1、当点在直角梯形上运动江西省彭泽县杨梓中学（332713 ） 程峰笔者发现2010 年中考数学试卷中多次出现以直角梯形为背景的问题，而双动点在梯形上运动使这类问题成为亮点，下面笔者采撷几道试卷加以解读，从中体会这类试卷的特点。1 双动点牵出等边三角形例 1 如图 1，在梯形 ABCD中， AD BC， B90°， BC6， AD 3， DCB30° . 点 E、F同时从 B 点出发，沿射线 BC向右匀速移动 . 已知 F 点移动速度是E 点移动速度的 2 倍，以EF为一边在的上方作等边设 E 点移动距离为x（ x 0） .CBEFG（ 1 ） EFG的边长是 _（用含有 x

2、的代数式表示），当x 2 时，点G 的位置在_；（ 2）若 EFG与 梯形 ABCD重叠部分面积是 y，求当 0 x 2 时 y 与 x 之间的函数关系式；当 2 x 6 时， y 与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.ADGBEFC图 1分析 (1) 由题意可知EF 的长为 E 点移动距离为x, 由此可以发现当x 2 时，点 G的位置在 D 点。 (2) 当 0 x2时， EFG在梯形 ABCD内部 , 重叠部分为 EFG。当 2 x3 时，如图2，点 E、点 F 在线段 BC上， EFG与梯形 ABCD重叠部分为四边形EFNM。当 3x

3、6时，如图3，点 E 在线段 BC上，点 F 在射线 CH上 , 与梯形 ABCD重叠部分为EFGECP。 (3) 在三个取值范围内, 分别求出其最大值 , 再进行比较 , 确定出最大值 .解 x ， D点；当 0x2时，在梯形 ABCD内部，所以y3 x2；EFG4分两种情况： . 当 2 x 3 时，如图 2，点 E、点 F 在线段 BC上， EFG与 梯形 ABCD重叠部分为四边形 EFNM，因为 FNC FCN30° , 所以 FN FC 6 2x. 所以 GN3x 6.1 / 7由于在 Rt NMG中， G 60°，所以，此时3 x23x 6） 27 329 39

4、3y8（3xx.4822 . 当 3x6 时，如图 3，点 E 在线段 BC上，点 F 在射线 CH上，EFG与梯形 ABCD重叠部分为 ECP，因为 EC 6 x,所以 y 3 （6 x） 23 x23 3 x9 3 .8822当 0 x2 时，因为 y3 x2 在 x 0 时， y 随 x 增大而增大，4所以 x 2 时， y 最大 3 ；当 2 x 3 时，因为 y73x293x9 3 在 x 18 时， y 最大 93 ；82277当 3x6 时，因为 y3x233x93 在 x 6 时， y 随 x 增大而减小，822所以 x 3 时， y 最大 9 3 .8综上所述：当 x 18

5、时， y 最大 93 .77GADMNBEFC图 2GADPBECFH图 3点评 本题主要考查图形的平移、多边形面积的计算、二次函数等知识, 同时考查函数、分类讨论等数学思想和运动的观念 , 以及综合运用知识解决问题的能力 . 具有明显的区分度 . 具有很强的选拔功能2 / 72 双动点牵出等腰三角形例 2 如图 4，已知直角梯形 ABCD中， AD BC， AB BC ， AD 2， AB 8， CD 10(1) 求梯形 ABCD的周长；(2) 动点 P 从点 B 出发，以1cm/s 的速度沿B A DC 方向向点C 运动；动点Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿C DA 方向向点A

6、 运动；过点Q作 QF BC于点 F若 P、 Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒问：当点 P 在 B A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以P、 D、 Q 为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由图 4分析 (1) 容易想到作直角梯形底边上的高,应用勾股定理间接计算底边BC 长从而得到梯形周长。 (2)两点运动t 秒,BP=CQ=t, 得方程 t+t+8= 梯形周长的一半,

7、 计算出 t 值。分点 P 在 AB,AD,DC上三种情况分别讨论.解（1）梯形 ABCD的周长 = 28提示：如图5 过点 D 作 DE BC于点 E（ 2） 当 t=3 时， PQ平分梯形ABCD的周长 .（过程略）（ i ）当 0 t 8 时，过点Q作 QG AB于点 G AP=8-t ， DQ=10-t ， AD=2， sinC= 4 ， cosC= 355 CF=3 t， QF=4 tt4 t1t， QG=8-3 t55，PG=5=55PD 2AP2AD 2 =（ 8-t）2+22=t 2 +16t+68 ，2223t）21t）2=2t24864PQ=QG+PG=（ 8-5+（55t

8、5若 DQ=PD，则（ 10-t ） 2= t2+16t+68 ，解得： t=8 ；图 5若 DQ=PQ，则（ 10-t ） 2= 2t 248t64 ，55解得： t 1= 262 34，t 2=26234 8（舍去），此时t= 26 2 34 ；333（ ii ）当 8 t 10 时， PD=DQ=10-t，此时以 DQ为一腰的等腰 DPQ恒成立；而当 t=10 时，点 P、 D、Q三点重合，无法构成三角形；（ iii ）当 10t 12 时， PD=DQ= t-10 ，3 / 7此时以DQ为一腰的等腰 DPQ恒成立；点评 试卷以动点作为命题的出发点,题目呈开放式.由于设置了双动点,加大了

9、试卷的复杂性,对学生探究发现的力度也相应提高 .解决此类问题关键要有联系、迁移、发散的动态观念，整体地分析，把握题中的条件，并能进行合理地联想、归纳、小结，能在动中寻找不变的结论，做到“不变应万变”，使问题在原有的知识基础上得到解决.3 双动点牵出定角例 3 如图，直角梯形OABC 的直角顶点 O 是坐标原点，边 OA ， OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA BC ，D 是 BC 上一点， BD= 1OA=2 ， AB=3 ， OAB=45 °， E、 F4分别是线段OA 、 AB上的两动点，且始终保持DEF=45 °（ 1）直接写出 D 点的坐标；（ 2）设

10、 OE=x， AF=y ，试确定 y 与 x 之间的函数关系；（ 3）当 AEF 是等腰三角形时，将 AEF 沿 EF 折叠，得到 A EF ，求 A EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积图 6解读 (1)分别过点B、 D 作 B OA 于 G， DM OA 于 M ，又因为OA BC，所以四边形是矩形，所以，2 在 Rt 中，sin 450323 2，22所以2 232 32 ，22332 ) 所以 D 点的坐标是 (2,22（）连结，易证BAO=45°，所以梯形DOAB是等腰梯形，所以 OD=AB=3再证 ODE AEF，从而对应边对应成比例，得到关于、的关系式（）当 AE

11、F为等腰三角形时，因为哪条边做底不确定，所以要分情况讨论。存在EF=AF或 EF=AE或 AF=AE共 3 种情况 . 根据不同情况画出相应的图形，进行计算解：（ 1） D 点的坐标是33( 2,2 ) .22（ 2） y 与 x 的解读式为： y1 x 2 42 x334 / 7（ 3）当 AEF为等腰三角形时，存在 EF=AF或 EF=AE或 AF=AE共 3 种情况 .当 EF=AF时，如图7（ 1） . FAE=FEA= DEF=45° ,所以 AEF为等腰直角三角形.D 在 A E上（ A E OA） ,B 在 A F 上（ A F EF）所以 A EF 与五边形OEFBC

12、重叠的面积为四边形EFBD的面积 .图 7（1）因为 AEOAOE OACD4 2325222所以 AFAEsin 45 05225，S AEF1 EFAF1(5)2252222228所以 S梯形 AEDB1 (BDAE)DE1( 252)322122224所以 S四边形 BDEFS梯形 AEDB-S AEF21- 2517 （也可用 S阴影S A'EF - S A'BD ）488图 7（2）当 EF=AE时，如图7（ 2），此时 A EF 与五边形OEFBC重叠部分面积为A EF 面积 . DEF= EFA=45°， DE AB ， 又 DB EA所以四边形DEAB

13、是平行四边形，所以AE=DB= 2所以 S A'EFS AEF1AE EF2S A/EF1( 2)212图 7（3）当 AF=AE时，如图7（ 3），四边形AEA F 为菱形且 A EF 在五边形OEFBC内 .所以此时 A EF 与五边形OEFBC重叠部分面积为A EF 面积 .由（ 2）知 ODE AEF, 则 OD=OE=3，所以 AE=AF=OA-OE=4 23232过 F 作 FH AE于 H,则 FHAF sin 454 2 34225 / 7所以 S A'EF S AEF1AE FH14 2-34-3 2412 -482224综上所述， A EF与五边形 OEFB

14、C重叠部分的面积为17或 1或412-4884。点评 本题是代数、几何、三角函数的综合题.综合了二次函数、坐标，平行四边形、矩形、菱形、相似三角形、等腰梯形、轴对称图形等知识；考查分析问题、解决问题的数学能力，对数形结合思想、方程与函数思想、化归与转化思想的思想、分类的数学思想进行了考查 .解题时，必须考虑到各种情况，进行分类解读，解题时稍有不慎就会误入歧途.4 双动点牵出平行线例4如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB90， AD2DC4，AB6 动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C-D - A 向点A 运动

15、当点M 到达点B 时，两点同时停止运动过点M 作直线 l AD，与线段CD 的交点为E，与折线A-C-B 的交点为Q点 M 运动的时间为t（秒）（1）当 t0.5 时，求线段 QM 的长；（ 2）当 0 t 2 时，如果以C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（ 3）当 t 2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 CQ 是否为定值，若是，试求这RQ个定值；若不是，请说明理由EP CDQAlMB图 8分析 （ 1）当 t 0.5 时， AM0.5 ，要求线段 QM 的长，可过点C作CFAB 于 F，构造相似三角形，利用相似三角形的性质来求；（2）当0 t 2 时，以 C、

16、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形要分CPQ90 、 PQC90两种情况讨论；（ 3）当 t 2 时，画出图形，观察、分析线段CQ、 RQ 与已知线段有没有关系，是否存在相似三角形解（ 1） QM=1( 提示：过点C 作 CFAB 于 F)（ 2）因为DCA 为锐角，故有两种情况：当CPQ90 时，点 P 与点 E 重合此时 DECPCD ，即 tt2 ，所以 t1当PQC90 时，如图 8（ 1），lDPECQAMB图 8（1）此时 Rt PEQ RtQMA ，所以 EQMA 由（ 1）知， EQEMQM42t ，PEQM而 PEPCCE PC(DC DE)t (2t )2t2 ，DC所以

17、42t1 所以 t5综上所述， t1或5 5PRQ2t22333AFMB图 8（2）6 / 7（ 3） CQ 为定值RQ当 2时，如图8（ 2），PADADPt4( 2)6 t 由（ 1）得， BFABAF4所以 CFBF 所以CBF45所以 QMMB6 t 所 以 QMPA所以四边形AMQP为矩形所以PQ AB所以 CRQ CAB所以CQBCCF 2BF 24 222RQABAB63点评 此题是一道动态几何问题，考查了相似三角形的判定、矩形的判定、梯形的常用辅助线等知识点，体现了分类讨论的思想，第（1）问是“静态”问题，要认真冷静，后两问是“动态”问题，要分类讨论小结 以上几例融几何，代数知识与一体，数形结合，动静结合，较好地考查了学生分类讨论，数形