求数列通项公式和前N项和的方法_8616

1、求数列前 N项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：n(a1 an )n(n1)Snna1d22特别的， 当前 n 项的个数为奇数时， S2 k 1(2 k 1)gak 1 ，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前 n 项和：q=1 时， Snna1a1qn1，特别要注意对公比的讨论。q 1， Sn1q其他公式：n1、 Snk 11n1kn(n 1) 2、 Snk 2n(n 1)( 2n 1)2k 16n 1n(n3、 Snk 31) 2k 12例 1已知 log 3x1，求 xx2x3xn的前 n 项和 .log 2 3解：由 log 3x1xlog 3

2、 2x1log 32log 2 3由等比数列求和公式得Snx x2x3x n（利用常用公式）x(1 xn )1(11)122n 11x12n12例 2设 Sn 1+2+3+ +n， nN * ,求 f (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 1解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn 11 ( n 1)(n 2)（利22用常用公式） f ( n)Sn2n( n32)Sn 134n64n11164850n)25034( nnn8n 8f (n) max1n5082. 错位相减法 na n·bnn an b n . 3S13x5x 27 x3(2n1) x n1n (2n1)

3、 x n 12n 1 xn1xSn1x3x 25x37 x 4(2n1) xn .（设制错位）(1 x)Sn1 2x 2x 22x 32x 42x n 1(2n 1)x n（错位相减(1x)Sn12x 1x n1(2n1) xn1 xSn(2n1)xn 1(2n1) xn(1x)(1x) 22462nn. 42,22 ,23 ,2n , 2n12n2n2n Sn2462n2223n2212462n2 Sn22232 42n 1（设制错位）(11 ) Sn2 22222n22 2223242n2n 1（错位相减212n2 n12n1n 2 Sn4 2n 1练习：求： Sn=1+5x+9x 2+&

4、#183;····+(4n-3)x n-1解： n2n-1S =1+5x+9x+· ·+(4n-3)x两边同乘以 x，得n2+9x3+· ·+(4n-3)xnx S =x+5 x - 得，（1-x ） n（23+· ·+xn）（4n-3）nS =1+4x+ x +x-x当 x=1 时， Sn=1+5+9+ · ·+（4n-3）=2n 2 -n当 x1 时， Sn=1 1-x 4x(1-xn)1-x+1- （4n-3）xn3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所

5、用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 (a1an ) . 例 5 求 sin 2 1sin 2 2sin2 3sin 2 88sin 2 89 的值解：设 Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 . 将式右边反序得Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1.（反序）又因为sin xcos(90x), sin 2 xcos2 x1+得（反序相加）2S(sin 2 1cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.54. 分组法求

6、和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 6求数列的前 n 项和： 11, 14, 17, 13n2 ，aa 2an1解：设11132)(1 1) ( a4)( a 27)( a n 1nSn将其每一项拆开再重新组合得111Sn (1a a 2a n 1 )(1 4 73n 2)（分组）当 a 1 时，Snn(3n 1)n(3n 1)n（分22组求和）11(3n1) naa1 nan当 a1 时， Sn2111aa 例 7 求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 .解：设 akkkk2k 3

7、k 2k(1)( 2 1)3nn Snk (k 1)(2k 1) (2k33k 2k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得Sn（分组） 2(1323n3 ) 3(1222n2 )n2 (n1)22（分组求和）(3n1)n2nk 3nn23k 2kk 1k1k 1(1 2n)n(n 1)(2n1) n( n 1)22n(n1) 2 (n2)2练习：求数列11 ,2 1 ,3 1 ,? ?, (n1n ),? ? ?的前 n 项和。2482解： Sn111?(n1123n )2482(1211113 ? n) (23? n )22221n(n1)1122n5. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列

8、求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（ 1） anf (n1)f ( n)（ 2）sin 1tan(n1)tan ncosn cos(n 1)（ 3） an11)11（ 4） an(2n(2n)21)11 (11)n( nnn 11)(2n2 2n1 2n1（ 5） an12)1 11)( n12)n(n 1)(n2n(n1)(n(6)ann 212(n 1) n 111n ,则 Sn111)2nn(n 1)2nn 2n 1(n1)2(n1)2nn(n例 9求数列1,1,1, 的前 n 项和

9、 .12nn231解: 设 an1n1n （裂项）nn1则 Sn111（裂项求和）1223nn1 ( 21) (32 )( n 1n )n 11例 10在数列 a n 中， an12n ，又 bn2，求数列 b n 的前n 1 n 1n 1an an 1n 项的和 .解： an12nnn1n 1n12 bnn218( 1n1) （裂项）nn122数列 b n 的前 n 项和Sn8(11 )( 11)( 11 )( 11) （裂项求和）22334nn 1 8(11) 8nn 1n1例 11111cos1求证：cos1 cos2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1解：设 S111

10、cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1tan(n1) tan n（裂项）cosn cos( n1) S111cos1 cos2（裂项求和）cos0 cos1cos88 cos891 (tan 1tan0 )(tan 2 tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89 tan88 sin11tan 0 ) 1cos1(tan 89cot 1sin 1sin 1sin 2 1原等式成立6. 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1° + co

11、s2° + cos3° +··· + cos178°+ cos179°的值 .解：设 Sn cos1° + cos2° + cos3° +···+ cos178 ° + cos179°cos ncos(180n )（找特殊性质项） Sn （ cos1°+ cos179°）+（ cos2° + cos178°）+ （ cos3° + cos177°）+···+

12、（ cos89° + cos91°） + cos90°（合并求和） 0例 13数列 a n ： a11, a23, a32, an2an 1 an ，求 S2002.解：设 S2002a2 a3a2002 a1由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a7 1,a83,a92, a101,a113, a122,a6k 11,a6 k 2 3, a6 k 3 2, a6 k 41,a6k 53,a6 k 62 a6k 1a6 k 2a6 k 3a6 k 4a6k 5a6k 60（找特殊性质项） S2002a3a2002（合并

13、求和） a1 a2 (a1 a2a3a6 ) (a7 a8a12 )(a6k 1 a6 k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6k 1a6 k 2a6 k 3a6 k 4 5例 14在各项均为正数的等比数列中，若a5a69, 求 log 3 a1log 3 a2log 3 a10的值 .解：设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质mnp qamanap aq（找特殊性质项）和对数的运算性质log a Mlog a Nlog a M N得Sn (log 3 a

14、1 log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 ) （合并求和） (log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 107. 利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例 15求 111 1111111之和 .n 个1解：由于 1111199991 (10k1) （找通项及特征）k个19k个19 1111111111n个11(1011)1(1021)1(1031)

15、1(10n1) （分组求和）9999 1 (101 10210310n )1(1 111)99n个 1110(10n1)n91019 1 (10n 1 10 9n)81以上一个 7 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1 anf (n) ( na3a2f (2)2

16、) ，则LLan 1anf ( n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k1例 1已知数列 an 满足 an 1 an 2n 1， a1 1 ，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1则an (anan 1 ) ( an 1an 2 )L(a3a2 ) ( a2a1 ) a12( n1)12( n2)1 L(22 1)(211)12(n1)( n2)L 21(n1)12 (n1)n( n1)12(n 1)(n1)1n2所以数列 an 的通项公式为 ann2 。例 2已知数列 an 满足 an 1an2 3n 1， a3，求数列 an 的通项公式。1解法一：由

17、 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1则an (anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1) a1(23n 11)(23n 21)L(2321)(2311)32(3n 13n 2L3231)(n1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： an 13an2 3n1 两边除以 3n 1 ，得 an 1an21，3n 13n33n1an 1an21则 n 1n3n 1，故333ananann( nan33( 21n )332(n1)31) (an 1an 2an 2an 3)L(a2a1a1an 1n 2 )(n

18、2n 321 )3133333( 21n 1 ) ( 2n12 )L(2 12) 3333333311111( nnn 1n2L2 ) 133333an2(n 1)1(13n 1)2n11因此3n，3n313122 3n3则 an2n 3n13n1.3222、累乘法适用于：an 1f ( n) an若an 1a2a3f (2)，Lan1f (n)anf ( n) ，则f (1)，L ，a1a2annan 1两边分别相乘得，a1f (k)a1k1例 3已知数列an满足an1nn1，求数列 an的通项公式。2( n 1)5 a， a 3解：因为 an 12( n1)5nan， a13 ，所以 an

19、0，则 an 12(n1)5n ，故anananan 1 La3 a2 a1an1an2a2a12( n11)5n 1 2( n21)5n2 L2(21) 52 2(1 1)51 32n11) L32 5(n 1) ( n 2) L213 n(n2n 1n(n 1)352n!2n 1n ( n1)所以数列 an 的通项公式为 an352n!.三、待定系数法适用于 an1qanf (n)分析：通过凑配可转化为an 11 f (n)2 an1 f (n) ;解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1 f (n) ，公比为23、列出关系式an 11 f (n)2an1 f (n)4、比较系

20、数求1 ， 25、解得数列an1 f (n) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例 4已知数列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求数列an 的通项公式。解法一： Q an2an 11(n2),an12( an 11)又Q a112,an1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列an 1 2n ，即 an 2n1解法二： Q an2an 11(n2),an 12an1两式相减得an 1an2( anan 1 )( n2) ，故数列an 1an 是首项为2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的 例 5 已知数列 an 满足 an12an4 3n1， a11，求数列an的通项公式。

21、解法一：设 an 113n2 ( an3n 1 ) ，比较系数得14,2 2，则数列 an 4 3n1是首项为 a14 3115 ，公比为2 的等比数列，所以 an4 3n 15 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1解法二： 两边同时除以3n1得：an12an4n13n2 ，下面解法略333注意：例 6已知数列 an 满足 an 12an3n24n5， a1，求数列 an 的通项公式。1解： 设 an 1x(n1)2y( n1)z2( anxn2yn z)比较系数得 x3, y 10, z 18 ，所以 an 13(n1)210(n1)182(an3n210n18)由 a13 1210

22、1 18131320 ，得 an3n210n180则 an 13(n 1)210(n1)182 ，故数列 an3n210n 18 为以an3n2 10n18a13121011813132为首项，以2 为公比的等比数列，因此an3n210n18322n 1，则an 2n 43n210n18 。注意：形如 an 2pan 1qan 时将 an 作为 f ( n) 求解分析：原递推式可化为an 2an 1( p)(an 1an ) 的形式，比较系数可求得，数列an 1an 为等比数列。例 7已知数列 an 满足 an 25an 16an , a11,a22 ，求数列 an 的通项公式。解：设 an

23、2an 1 (5)( an1an )比较系数得3 或2 ，不妨取2 ，则 an 2 2an 13(an 12an ) ，则 an12an是首项为4，公比为 3 的等比数列an 12an4 3n 1 ，所以 an4 3n15 2n 1四、迭代法例 8已知数列 an 满足 aa3( n 1)2n，a5 ，求数列 an 的通项公式。n 1n1解：因为 an 1an3( n 1)2 n ，所以anan3 n12n 1 an3( n2 1) 2n 23 n 2n 12( n 2) ( n 1)an3 (2n 1) n 2 a3( n 2) 2n 3 32 ( n 1) n 2( n 2) (n 1)n3

24、an33 (3n 2)( n1)n 2( n 3) (n 2)(n 1)La13n 1 2 3L L (n 2) ( n 1) n 21 2 L L (n 3) (n 2) ( n 1)n ( n1)n 12a13n ! 2n 1n (n 1)又 a15 ，所以数列 an 的通项公式为 an53n! 22。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例 9已知数列 an 满足 an 123nan5 ， a17 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 an 123na5n， a17 ，所以 an0， an 10 。两边取常用对数得lg

25、 an 15lg ann lg3lg 2设 lg an 1 x(n1)y 5(lg anxny)（同类型四）比较系数得，xlg3 , ylg3lg 24164由lg a1lg31lg3lg 2lg 7lg3 1lg3lg 20，得41644164lg anlg3 nlg3lg 20 ，4164所以数列 lg anlg3lg3lg 2lg3lg3lg 25 为公比的等4n16 是以 lg 7164为首项，以44比数列，则 lg anlg3 nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2)5n 1 ，因此41644164lg an (lg 7lg 3lg 3lg 2)5n1lg 3 n lg 3lg 24164464111n11lg(7343162 4 )5n1lg(3431624 )111n11lg(7343162 4 )5n1lg(34316 24 )lg(75 n 15 n4n15n 1131624)则 a75n 15n4 n 15n 1 13 162 4。n2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 10 已知数列 an 满足 an12an , a11 ，求数列 an 的通项公式。an2解：求倒数得111 ,111 ,11为等差数列，首项11，公an 12 anan 1an2an 1ana1差为