2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用学案(含解

1、 122 正、余弦定理在三角形中的应用 提示：AD= AC sin C= 3X sin 60 = . 提示：SAABC= BC AD= 1 x4X 323 = 3Q3. 问题 3：若AC= b, BC= a,你发现 ABC的面积S可以直接用a, b, C表示吗? 导入新知 1 （1） S=门a ha（ ha表示a边上的咼）. 2 A 1 1 S= bsin C= 2bcsin A= 2acsin B. 化解疑难 1 1 问题ABC勺高AD为多少? 问题 2:A ABC勺面积为多少? 一 1 提示：能.S= 2absin C. 三角形的面积公式 1 O a， 2 三角形的面积公式 S= 2abs

2、in C与原来的面积公式 S= a h（ h为a边上的高）的关系为: 例 1 在厶 ABC中，已知 C= 120, AB= 2 . 3, AC= 2,求厶 ABC勺面积. 3 由于AB AC 所以 C B,故 B= 30. 从而 A= 180 120 30= 30 所以 ABC的面积 1 S= qAB AC- sin A =2 2 3 - 2 - sin 30 =.3. 类题通法 1 求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法, 这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值. 111 2.事实上，在众多公式中，最常用的公式是 SMBC= qabsin

3、 C= gbcsin A= acsin B, 即给出三角形的两边和夹角 （其中某边或角需求解）求三角形面积，反过来，给出三角形的面 积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式. 活学活用 卄丿厂 1 .在 ABC中，若 A= 60， b= 16， SABC= 643，贝V c =_ . 解析：由已知得 SX AB=1- - bc - sin A， 2 即 3 = 1x 16X cx sin 60 ，解得 c= 16. 由正弦定理知 AB _ AC sin C sin B 2 snB，所以 sin 1 B= 2, 4 答案：16 2.在 ABC中，若 a= 3， b= 2， c = 4

4、，则其面积等于 _ 解析：由余弦定理得 cos A= 2,2 2 b + c a 2bc 4 + 16 9 2X 2X4 11 16 所以 sin A= 1 cos2 A= 3 ,15 16 于是 &ABC= bcsin 1 A= 1X 2X 4X 3 15 16 3 15 4 答案: 3 -15 4 5 三角形中的恒等式证明问题 ， 亠 二亠、十 a ccos B sin B 例2心ABC中,求证：bcos-A= E 证明法 2 2 . 2 c a + c b a 2ac :左边= 巧_2 2 c b + c a b 2bc 2a 2b 2 2 b c + a b 2Rsin B s

5、in B a= 2Rsin A= sin A =右边, 其中只为厶ABC外接圆的半径. a ccos B sin B b ccos A= sin A sin A sin Cbos B sin B sin Ccos A B+ C sin Ccos B siri A+ C sin Ccos A sin Bcos C sin B , 亠 =sin Acos C= sin A=右边，(cos C* ) a c cos B sin B b c cos A sin A 类题通法 解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式， 又要用到任意角三角函数的恒 等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相

6、互转换公式，主要是正弦定理、余 弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解. 活学活用 a b icos B cos A 在厶ABC中，角 代B, C所对的边分别为 a, b, c,求证：-=c 訂. 证明：由余弦定理的推论得 2 2.2 .2 2 2 a + c b A b + c a cos B= , cos A= 2ac 2bc 代入等式右边，得 2 2.2.2 2 2 , ia + c b b + c a 边=c . 2abc 2abc 2a2 2b2 a2 b2 a b 亠丄 =莅厂=GT = b a=左边， 6 例 3(浙江高考)在厶ABC中，内角 A B, C所对的边分别

7、为a, b, c,已知b+ c = 2acos B 证明：A= 2B; 2 a (2)若厶ABC的面积，求角A的大小. 4 解 证明：由正弦定理得 sin B+ sin C- 2 sin Acos B,故 2sin Acos B- sin B 1 + sin( A+ E) JX =sin B+ sin Acos B+ cos Asin B, c 1 于是 sin B- sin( A- B). kJ 又 A, B (0 , n )，故 0V A B n , 所以 B= n (A- B)或 B= A- B, 因此A- n (舍去)或A- 2B,所以A- 2B 7 1 a2 1 a2 1 1 (2)

8、由 S-二得二absin C,故有 sin Bsin 4 2 4 C-sin 2 A- - sin 2 B- sin Bcos B. 2 因为 sin BM0,所以 sin C= cos B. I 7 n 又 B, C (0 , n )，所以 C=_2 B. _ / VTL 当 B+ C=；时，A= n ; 当 C- B= 时，A=-4. 2饮4 r冗冗 综上，A= c 或A= . /猝4 类题通法 解决三角形的综合问题， 除灵活运用正弦、 余弦定理及三角形的有关知识外， 一般还要 用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正弦、余弦定理，三角函数的公式 和性质是解题关键. 活学活用 已

9、知a, b, c是厶ABC中角A, B, C的对边，S是厶ABC的面积.若a= 4, b= 5, S= 5.3, 求c. 1 解：T S= absin C, 5 3 = 2 x 4X 5sin C, 三角形中的综合问题 7 / sin C= f. 而 0 C AB AC = 1, / 3 sin / BCD=. 5 求边BC的长； (2)求四边形ABCD勺面积. 1 AC= CD=/B= 1, - B - B - B - B 二 AB AC = | AB| I AC| cos / BAC= riMrtrita rWnnn V nriWata. 名师批注 2cos / BAC= 1, 1 cos

10、 / BAC= 2，-/ BAC= 60 .（3 分） 在厶ABC中，由余弦定理有: 1 BC= AB + AC- 2AB- AC- cos/ BAC= 22+ 12-2X 2X 1X ? = 3, (2)由(1)知，在 ABC中有：AB= BC + AC, ABC为直角三角形，且/ ACB= 90, (7 分)储补短板.拉分題一分不丢 解题流程 审结论明解题方向I A 娶求啟：的砥号 找期和用正弦、余盏定埋 中的童. (2)求四边形ARCH的 (1) 由両屁 1可卓丄BAC前丸小坯 而利用余弦楚理束出BC的长， (2) 曲(1)可求出ZACB葯大小又知 AB *7U= 1 冯 ZBAC 的

11、nc 规范解答 论玖号初三砒式*口 的正弦值.从而求出面积. ZACB 的大: - sinZ ACD 的大d - - 两个三再形的面稅 - C5?边母的岳积 向量数量积运算公式易用错，在 得分. ABC中, AB和-C夹角有时误认为是/ ABC从而不 审茶件挖瞬题信息 建联系+找解越宪破口 9 1 1 厂 叮 3 & ABC= 2BC AG= 2 x yJ3x 1=专.（8 分） 又/ BCD=/ ACBbZ ACD= 90+/ ACD 3 3 sin / BCD= , cos / ACD= , （9 分） 名师批注 利用了诱导公式求 cos / ACD求解时对取正负号要特别注意 -

12、2 4 - sin / ACD= .；1 cos / ACD= , （10 分） v 5 SACD= AC- CD- sin / AC= 2X 1x 1x 5 = 2.（11 分） 2 2 5 5 sin cos / BDA= cos（ / DB（+Z C 血x屹回怂=1 14 7 14 7 2, / n / BDA= = 3 设 DC= x，则 AD= 2x, AC= 3x,设 BC= a, a= 7x. 则在 DBC中，由正弦定理得 _ x sin / DBC sin / BDC S 四边形 ABC= SABC+ SACD= T+1.（12 分） 活学活用 在厶 ABC中, AB= 2,

13、cos C=罕,D 是 AC上一点，AD= 2D（且 cos / DBC= 5V7 14 求: （1） / BDA勺大小； AD - CB. 解: （1）由已知 cos / DBC=+F, cos C=罕，从而知sin / DB(=吕, 10 在厶ABC中，由余弦定理得 4= （3 x）2+ （ 7x）2 2 -3 x -5 11 解得 x= 1,.I AC| = 3, | AD| = 2, | BC| =7. - - - 二 AD CB = | AD| I CB|cos( n - C 随堂即时演练 3 l 1. 已知 ABC的面积为，且b= 2, c = 3，则A的大小为( A. 60 或

14、120 B. 60 C. 120 D. 30 或 150 1 解析：选 A 由& ABC= 所以 sin A=f，故 A= 60 或 120 , 亠 亠卄AC cos B r, 在厶ABC中，若荷砒则（ BC= . 3. 答案：. 3 4. 三角形的两边分别为 3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程 5x2 7x 6= 0 的根, 2 则这个三角形的面积为 _ cm. 2 3 解析：万程 5x-7X- 6= 0的两根为 x= 2, X2=-5, 3 自主演练.百煤方成钢 A. A= C B. A= B C. B= C D. 以上都不正确 解析：选 C / sin Bcos .AC

15、 sin B cos B AB= sin C= cos C， I k C= cos Bsin C / sin( 又一 B- C) = 0. n V B C AC C B,则C有两解， 当C为锐角时，C= 60, A= 90, & ABC= *AB ACSin A= 2 羽. 当C为钝角时，C= 120 , A= 30, - SxABC= AB ACSin A=；：、：3. 综上可知， ABC勺面积为 2 .3 或，3. 课时达标检测 一、选择题 1.在 ABC中,已知 AB= 2, BC= 5, ABC勺面积为 4,若/ ABC= 0 ,则 cos 0 是（ A.5 (0 , n ),

16、 cos 0 = 彰 1 sin 1 2 0 = 彳. 1 =2X 2X 5X sin 0 = 4, sin 4 0 = 5. sin C= AB，sin B AC B C. 5 14 2. 在 ABC中，已知 A= 30, a= 8, b= 8 3，则 ABC勺面积为（ ） 1 解析：选 C / ABC= ?AB BCsin / ABC 15 A. 32 3 B. 16 C. 32 3 或 16 D. 32 3 或 16 3 a b 解析：选 D 在厶ABC中，由正弦定理 = ，得 sin A sin B 又 ba,. B= 60 或 120 当 B= 60 时，C= 180 30 60=

17、90, /. &ABC= X 8X8 3= 32 3; A. .3 C. ,7 解析：选 A .AC= 1，由余弦定理可得 BC= AB + AC 2AB- ACCos A =4+ 1 2X 2X 1X cos 60 = 3. 即 BC= .3. 解析：选 C 如图，由题意得 ra+ b+ c = 20, 1 2bcsin 60 = 10 .3, | 2 2 2 a = b + c 2bccos 60 .sin B= bsin A a 8 3x2 8 4. A. ABC的周长为 20，面积为 10 3, A= 60，贝 U BC的边长等于( 5 B. C. 8 D. 当 B= 120

18、时, C= 180 30 120 = 30, 1 &AB= ?absin C= 2X8X8 3X 1 = 16 3. 3.在 ABC中, A= 60, AB= 2，且 & ABC23, BC的长为（ B 3 1 SAAB= ?AB AQin 16 由得bc= 40, 由得 a2= b2 + c2 bc= (b+ c)2 3bc 2 =(20 a) 3x 40, a = 7. 5. 某人从出发点 A向正东走x m 后到 B,向左转150再向前走 3 m 到 C,测得 ABC 的面积为 m2,则此人这时离开出发点的距离为 ( ) 4 A. 3 m B. 2 m C. 2 3 m D

19、. 3 m 1 解析：选 D 在厶 ABC中，S= qABx BCsin B, 3 3 1 o =-x xx 3x sin 30 , x = 3. 4 2 ， 由余弦定理，得 AC=、:AB+ BC 2ABx BC cos B = A/3+ 9 9 = 3 (m). 二、填空题 1 6. _ A ABC的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 3 则其外接圆的半径为 _ _ 解析：不妨设b= 2, c = 3, cos A= 3 2 2 2 则 a = b + c 2bc cos A= 9, a= 3. 答案： 8 7. 艘船以 4 km/h的速度沿着与水流方向成 120的方向航行，已知河水流

20、速为 2 km/h , 则经过萌 h，该船实际航程为 _ km. 解析：如图所示，在 ACD中, AC= 2 3, CD= 4 3,Z AC= 60 ,又 T sin A= 1 cos2 A= 3-, 外接圆半径为 R= -= 2sin A 9,2 8 17 18 AD= 12+ 48 - 2X2 3X4 3X卜 36， AD= 6，即该船实际航程为 6 km. 答案：6 &在 ABC中, a= b+2, b= c + 2，又知最大角的正弦等于 ，则三边长为 A= 120,. a3 4= b2 + c2- 2bccos A 2 2 2 a = (a-2) + (a-4) + (a-2)

21、( a-4). a 9a + 14 = 0, a = 2(舍去),a = 7. / b= a-2= 5, c= b-2= 3. 答案：a= 7, b= 5, c = 3 三、解答题 7 9.在 ABC中，若 c = 4, b=乙BC边上的中线 AD的长为 求边长a. 2 3 2 2 2 得 a b = b a + 2c( acos B一 bcos A), 解析：由题意知 a边最大， sin 2， 解： AD是 BC边上的中线, 7 c= 4, b= 7，AD= 2， 在厶ACD中， 有 _2 2 7 2 7 + x - -J 2 cos C= - , 2X 7X x 在厶ABC中， 有 2 门

22、 2 2 厂 7 + 2x 4 cos C= , 2X7X2 x 2 49 49 + x 4 14x 2 49+ 4x - 16 28x 可设 CD= DB= x, 19 9 解得 x= 2. a = 2x = 9. 2 2 2 由余弦定理 a = b + c - 2bccos A, 2 2 2 b = a + c 2accos B,10.在 ABC中，角 A, B, C所对应的边分别为 a, b, c.求证: 2 2 a b A B sin C 证明：法 20 2 2 即 a b = c( acos B bcos A， b a =ccos B- ccos A 由正弦定理 拆 A= sin B

23、sin Csin C 厂 I A B sin C sin A sin B =s7fos B scos A a _ b _ c sin A sin B sin C a5 + c2 - b2 b2 + c2 - a2 2c 2c2 2 2 a - b acos B- bcos A a 变形得 得c=咤 c sin C b sin B c sin C 2 2 a - b sin Acos B- sin Bcos A gill A B = sin C sin Acos B- cos Asin B sin C 由正弦定理 lnn ss A=c b - c - B c 由余弦定理推论2 2 . 2 a + c - b cos B= 2ac cos 代入上式得 Sin A B _ a sin C c 2ac 11.（全国甲卷 ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b， c，已知 2cos C(acos B+ 2c