椭圆定义及应用

1、一、椭圆第一个定义的应用1.1椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长 2a。若动点 P 到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离 |F 1 F2|<2a. 则动点轨迹是椭圆。两个定点 F1、F2 称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式，其中 P 为椭圆上一个点。 此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长 2a . 在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息， 首先考虑的就是能否用上这个关系式。1.2应用举例例 1.已知点 F1( 3,0) , F2 (3,0) ,

2、 有 PF1PF2 6, 则 P点的轨迹是.例 2. 求证以椭圆(a>b>0)上任意一点 P 的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切 .解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答， 计算量都很大， 解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住 PF2 为一个圆直径， PF1 为另一个圆半径的 2 倍，用公式，很容易得出正确解答。例 3. F 1、F2 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上一点，求的面积 .24解评： 题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例 4.P 是椭圆 x2y 21 上位于第一象限内的点 , F 1、F2 是椭圆的左、右焦点 ,4520若则 PF1P

3、F2的值为( )A.65B.2 5C.15D.2 533例 5.在圆 C: ( x1)2y225 内有一点 A(1,0) ,Q 为圆 C上一点 ,AQ 的垂直平分线线段 CQ的交点为 M,求 M点的轨迹方程 .练 : 一动圆与圆 o1： x2+y 2+6x+5=0 外切 ,同时与 o2： x2+y 2_ 6x _ 91=0内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。例 6. 已知定点 A（ 2，3 ）,点 F 为椭圆 x2y21 的右焦点， 点 M 在该椭圆上移动时，1612求| AM| | MF |的最小值与最大值。例 7. 设 P 是直线 x-y+9=0 上一点，过 P 点的

4、椭圆以 F1 (-3 ，0) 和 F2（3，0）为焦点，试求 P 点在什么位置时， 所求椭圆的长轴最短， 并写出具有最短长轴的椭圆的方程。解评：（ 1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为求的最小值，再转化为求F1 关于直线 x-y+9=0 的对称点。这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。二、椭圆第二个定义的应用2.1 椭圆的第二个定义（课本 P78）点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点， 定直线叫做椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率。2.2应用举例例 1. 椭圆焦点F1（-c ，0），F2（c ，0），离心

5、率M是椭圆上一点，其横坐标为x0，求M点的两个焦半径|MF1|和 |MF2|之长 .解： 过 M 作右准线的垂线MM 2，则根据椭圆第二定义同理可得解评（ 1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径结果易见。题设中若有某点的焦半径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。（ 2）此题的结果，与第二定义等式都可作为公式加以应用。例 2.椭圆上一点P 到左准线的距离等于2，求P 到右焦点距离。解：解评 此题使用了椭圆的两个定义.例 3. 已知定点 A（ 2， 3 ）, 点 F 为椭圆 x2y21的右焦点，点在该椭圆1612M上移动时，求 | AM| 2| MF |的最小值。三、同步检测1. 椭圆上一点P 到左、右两焦点距离之比为1：3，则P 到左准线的距离是（）A.5B.15C.D.2. 短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1 和F2 .过 F1 作直线交椭圆于A、B 两点，则的周长为（）A.24B.12C.6D.33. 已知椭圆上一点P 到右焦点的距离为b，则P 到左准线的距离是（ ）4. 已知椭圆的焦点 F1（-1 ，0），F2（ 1，0），P是椭圆上的一点， 且|F 1F2 | 是 |PF2|与 |P F 1| 的等差中项，则该椭圆的方程是（）5.P 是椭圆上的动点，过点