大学物理平面简谐波波动方程

1、§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动振动研究一个质点的运动。区别.波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。联系振动是波动的根源。波动是振动的传播。最简单而又最基本的波动是简谐波！简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是 若干个简谐波的叠加。对平面简谐波，各质点都在各口的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点 的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其屮一根波线为代表来研究平面简谐 波的传播规律。一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿无轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点li参考点原点的

2、振动方程为yq = 4cos(ef + 0o)任取一点p,其坐标为x, p点如何振动？a和血与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播2的距离，相位落 后2兀现在，0点的振动要传到p点，需要向前传播的距离为兀，因而p点的相位比0点落后-2 = x2几p点的振动方程为/yp = a cos cot + %171 x由于p点的任意性，上式给出了任意吋刻任意位置的质点的振动情况，将下标 去掉y = a cos cot+(px久丿就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程。如果波沿.轴的负向传播，p点的相位将比0点的振动相位超前夕 沿x轴负向传播的波动方程为人(2乃)

3、y = a cos cot + x + 0oi2>利用co = 171v , u =沿兀轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为y = acos cot-2兀)/t丿"os®也a cos coi u )/ xt-y = a cosco+%k伉丿xu丿原点的振动状态传到p点所需要的时间az = -up点在t吋刻重复原点在t吋刻的振动状态波动方程也常写为-4cos(m fcx + %)2加其屮波数，物理意义为 5 长度内所具冇完整波的数目。a波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向二、波动方程的物理意义1、固定兀，如令x = x0y(r) = a cos振动方

4、程'2兀血+ 0()一-心ia勺处质点的振动方程该质点在/和t2波形方程(p = cot2 一/|)y(x) = acos cotq +(p()-x、ar0吋刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即r0吋刻的波形方程。波形曲线3、兀和f都在变化(2兀/y(/，x) = acos cot +(p()-各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映 了波形不断向前推进的波动传播的全过程=> 行波t时刻，x处的某个振动状态经过m的时间，传播了=让t的距离，传到了 x + ax处，显然）心+ &,兀+心）=曲,兀）行波必须满足此方程其屮ax = ut波是

5、振动状态的传播！>习题类型（1）由某质元的振动方程（或振动曲线）= 求波动方程（2）由某时刻的波形曲线=> 求波动方程例42： 平面波在介质中以速度u = 20m/s沿直线传播，已知在传播路径上某点a的振动方程为）仃=3cos（4f）,如图4.8所示。（1）若以a点为坐标原点，写出波动方程，并求tbc, d两点的振动方程；（2）若以b点为坐标原点，写出波动方程，并求tbc, d两点的振动方程。k 8m十血*加 cb adu解：(1)振幅 a = 3m,圆频率q = 4;trad/s,频率 v = = 2hz,171波长 a = = 10mv波动方程为=3 cos 4加一c点处标为x

6、c=-13m,振动方程为= 3cos(4f_ 兰艺<5丿d点坐标为%d=9m,振动方程为(71(9乃)° = 3 cos4加xn15 d)=3 cos4加一j5丿m(2) a点坐标为 心=5m,波动方程为=3 cosi”兀)l 2 v 7ji5丿=3 cosmc点坐标为xc=-8m,振动方程为=3 cos4-ttt+ 715 丿=3 cos 4加 +13龙、丿d点坐标为%d=14m,振动方程为/ 、71z9小3 cos4加xp + 71j5)-3 cos4加一5丿儿m4.3： 一平面简谐横波以u = 400m/s的波速在均匀介质屮沿+兀方向传播。位 于处标原点的质点的振动周期为

7、0.01秒，振幅为0.1m,取原点处质点经过平衡 位置且向止方向运动时作为计时起点。(1) 写岀波动方程；(2) 写出距原点2m处的质点p的振动方程；(3) 画tb t = 0.005秒和0.007秒时的波形图;(4) 若以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。解：(1)由题意 a = 0m, t = 0.01 秒，u = 400m/s . 2”可得圆频率 co =200/r rad/s,波长 a = ut = 4m t出旋转矢量图知，原点处质点的初相位3兀0()=co故原点处质点的运动方程为(3龙、yq - 0.1 cos 200刃 hm2丿波动方程为y = 0.1 cos 200加 +3兀

8、71x22(2) xp=2 m处质点的振动方程为(、,3兀 71、( ,tc=0.1 cos,200刃+2=0.1 cos200加 + l2丿m(3) “ =0.005秒时，波形方程为y = 0.1 cos 200加i += 0.1 cos(57171x2 2/7171/ 、71x= 0sinxj-2丿u)371271x20.1 cos因为-=0.0025 = -7,故由心时刻的波形向+x方向平移彳即可得乙时刻的波形。如图所示(4)y (7i 2zr 八'兀兀、200加 +h=0cos200加 +#1 2 2丿< 2 2 )y = 0.1 cos方向传播ex. 4：求:(1) o

9、点的振动方程；(2)波动方程 解：(1)由t = 2s时的波形图可知2a = 0.5 m r a = 2 m ，/. t = = 4 s ,u利用旋转矢量图法得出秒时o3兀m + (po= f c兀t = 2 , co =2o点的初相位(pq=2o点的振动方程为171co =t 2点振动相位71go =0.5 cos7171 t + 22)t = 2s(2)波动方程 = 0.5cosf/ + +v 22e心一列机械波沿无轴正向传播，/二0时的波形如图所示，已知波速为lom-s-1, 波长为2m,求：(1) 波动方程；(2) p点的振动方程及振动曲线；(3) p点的坐标；(4) p点回到平衡位置所需的最短时间.原点处质点振动的初始条件为>-0 =£"<()，久=f由题知 2 = 2m, w = 10 m s_l,贝 uv = = = 5hz,a 2圆频率 (o = 1071原点o的振动方程为(兀、y = 0.1 cos 10刃 + mi3丿波动方程为(71、y = 0.1cos 10r + - mq丿a(2)由图知，f = 0 吋，yp =, v/ < 0 >:叽=土 (p点的相位应落后于0点，故取负值) 34/