有理数知识点梳理(学生版)

1、第一章有理数一、有理数的意义1、正数和负数知识点 1 负数的引入我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。知识点 2 正数和负数的概念（ 1）像 3、1.5 、 1 、58等大于0 的数，叫做正数，在小学学过的数，除0 以外都是正数，正数比02大。（ 2）像 3、 1.5 、1、 584等在正数前面加“” ( 读作负 ) 号的数，叫做负数。负数比0 小。2（ 3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。注意：（ 1）为了强调，正数前面有时也可以加上“”号，例如：3、 1.5

2、、 1 可以写作 3、 1.5、21 。2（ 2）带“”号的数不一定是正数，带“”号的数不一定是负数。知识点 3 有理数的有关概念（ 1） 有理数：整数和分数统称为有理数。注：（ 1）有时整数也可以看作是分母为1 的数。但是本讲中的分数不包括分母是1 的分数。（ 2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（ 3）“ 0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。（ 2）整数包括正整数、零、负整数。例如：1、 2、 3、 0、 1、 2、 3 等等。（ 3）分数包括正分数和负分数，例如：1 、 3 3 、 0.6 、 1

3、、 3 3 、 0.6 等等。2424知识点 4 有理数的分类（ 1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类：正整数正整数0整数正有理数负整数正分数有理数有理数0分数正分数负整数负分数负有理数负分数注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0 统称为非正数，正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0 统称为非正整数。如果用字母表示数，则a>0 表明 a 是正数； a<0 表明 a 是负数； a 0表明 a 是非负数； a0 表明 a 是非正数。2、数轴知识点 1 数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴-1-/4数轴的定义包含三层含义：一，数轴

4、是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；四，注意下标单位，上标数。知识点 2 数轴的画法 -5 -4 -3 -2 -1 O12345（ 1）画一条直线（一般画成水平的直线）。（ 2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。（ 3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。（ 4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点。注 （ 1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（ 2）确定单位长

5、度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个( 或更多的 ) 单位长度取一点。知识点 3 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。知识点 4 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数。知识点 5 数形结合思想解决问题数轴是将有理数具体化的工具，主要用于研究距离问题。3、 相反数知识点 1 相反数的概念（ 1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。（ 2）相反数的代数定义：只有符

6、号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0。知识点 2 相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是 a。这里 a 表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。知识点 3 多重符号的化简（ 1）在一个数的前面添上一个“”号，仍然与原数相同。（ 2）在一个数的前面添上一个“”号，就成为原数的相反数。4、 绝对值知识点 1绝对值的概念（ 1）绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“ a ”；有 aa 。（ 2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值

7、是0。即a,（ a0)a， （ a0）a0,( a0) 或 a a。（ a0）-a。 (a0)知识点 2 两个负数大小的比较两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。知识点 3 有理数大小的比较法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。-2-/4知识点 4ab 的几何意义ab 是表示数 a 的点与表示数b 的点的距离，因此有abba 。二、有理数的运算1、有理数的加法知识点 1 有理数的加法把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数

8、的加法。相加的两个有理数有以下几种情况：（ 1）两数都是正数；（ 2）两数都是负数；（ 3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（ 4）一个是正数，一个是 0；（ 5）一个是负数，一个是 0；（ 6）两个都是 0。知识点 2 有理数加法法则（ 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（ 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。（ 3）一个数同 0 相加，仍得这个数。知识点 3 有理数加法的运算定律（ 1）加法交换律： a b b a 。（ 2）加法结合律： ( a b) c a (b c) 。2、有理数的减

9、法知识点 1 有理数减法的意义有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。知识点 2 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即3、有理数的加减混合运算知识点 1 有理数加减法统一成加法的意义aba( b)对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。知识点 2 有理数加减混合运算的方法一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。4、有

10、理数的乘法知识点 1 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0 相乘，都得0。知识点 2 有理数乘法法则的推广（ 1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（ 2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为 0。知识点 3 有理数乘法的运算定律（ 1）乘法交换律：abba 。（ 2）乘法结合律：(ab)ca(bc) 。（ 3）分配律：a(bc)abac 。5、有理数的除法知识点 1 倒数的概念乘积是 1 的两个数互为倒数。11 (a 0)1由于 a，所以当 a 是不为 0 的有理数时， a 的倒数

11、是aa。若 a、 b 互为倒数，则ab 1。知识点 2 有理数除法法则-3-/4一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。即ab a1(b 0) 。b二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0。6、有理数的乘方知识点 1 有理数乘方的意义求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方。a aaa 记作“ an ”。乘方的结果叫做幂。在an 中， an个 a叫做底数， n 叫做指数， an 读作 a 的 n 次方， ( am) namn 。知识点 2 乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。知识点 3 科学计数法把一个大于

12、 10 的数记成“ a 10n ”的形式，其中a 是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。如 42,000,000 4.2 × 107 。7、有理数的混合运算知识点 1 有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。8、近似数与有效数字知识点 1 研究近似数的意义在生产实践和实际生活中，不仅存在着大量的准确数，同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。出现近似数的原因有两点：一是有时候不能得到完全准确的数，如太阳的半径大约是696 000千 M；二是有时也没有必要弄得完全准确，如买 10 千克大 M，有时可能多一点，有时也可能少一点。知识点 2 精确度一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。知识点 3 有效数字四舍五入后的近似数，从左边第一个不为 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。方法技巧 1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。方法技巧 2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化