高考数学解题方法攻略圆锥曲线2理

1、特级教师高考理数圆锥曲线题型全方位归纳总结第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k = tan a,a 0, n)点到直线的距离夹角公式:ax亠by亠c 一丁 o v 2 +2k -ktana = 2r1 + k k2 1(3)弦长公式= +直线y kx b上两点a(x , y ), b(x ,y )间的距离:1 1/+ 2+(1 k )(x x)124xx 2 1 22 2 卜 j +rab m2kaby2(4)牺条道线的位置关系(di i k k =-1 li /12 ki k2且

2、bb2121 22、圆锥曲线方程及性原_=>> h(1) >椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 i 2i标准方程：x v y+ i(m 0,h0 m* n)=m n 、e且= 0 =距离式方程：(x c)2 y2(x2 2c) y 2a参数方程：x a cos_ , y bsin、双曲线的方程的形式有两种2 qj 2+ j +=标准方程：xvy1(m n 0)mn距离式方程：|i(x22226一y(x c) y | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？2b22 b2p椭圆：；双曲线x +;抛物线：2aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？2 y的两个焦点，平面内一

3、个动点m满足mr mf 22 则< 2如：已知fi、f2是椭圆143动点m的轨迹是（a、双曲线；b、双曲线的一支；c、两条射线；d、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：p在椭圆上时,p在双曲线上时,=2taneb 2e=2 cot 2 b? ）(其中二 a a _|pf | pf | 4c1 2f pf1 2,cosi pf i i pf |1 2,pf pf | pf | pf |cos±1212兰(6)、记住焦半径公式:(1)椭圆焦点在x勒b上时为a ex。;焦点在y轴上时为a ey°,可简记为“左加右减，上加下减” o+ _(2)双曲线焦点在轴上时为xe| x0

4、(3)抛物线焦点在x轴上时为| xi |，焦点在y轴上时为|屮| ：、阴圆和双呼线的普本量三、角形年清楚皆 第二、方法储备1点差法(中点弦问题)=a xi, yi、i +b x2, y?（， m a（b 为椭圆）的弦ab中点则有2x12y132x22x132x2；两式相减得2y20xi1a ax x2 14kab3a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判= +别式 0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 a(x , y ), b(x , y

5、),1 1 2 2+ =将这两点代入曲线方程得到0)两个式子，然后0)，整体消元.若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点a、b、f共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b,就意味着k存在。2 y 2例仁已知三角形abc的三个顶点均在椭圆 4x 580 ±,且点a是椭圆短轴的一个端点(点a在y轴正半轴上)(1) 若三角形abc的重心是椭圆的右焦点，试求直线bc的方程；(2) 若角人为go。，ad垂直bc于d,试求点d的轨迹方程分析：第一问抓住“重心"，利用点差法及重心坐标公

6、式可求出中点弦bc的斜率，从而写出直线bc的方程。弟一冋抓住角a为go可得出ab丄ac ,从而得xix +y y2 1 2一 14(yi +y2) 16 =0,然后利用联立消元法及交轨法求出点d的轨迹方程;解ci)设b(2. +ixi y1_2.x2两式作差有x , yi),c( x2, y2 ),bc 中点为(xo,yo),f(2,o)1 + - _ +x2) (yi y2)(yi(xi x2)(xi则有2016+20- =46 xo y k05+4(1)f(2,0)为三角形重心，所以由(1)得 k 65直线bc的方程为2)由ab丄ac得xix =2016xi x3,yi2,0代入y

7、4; 14(y(2)设直线bc方程为y+ =kxb,代入4x5y280 ,得(4 5k+10kb10bkx8024b,y y5k2 _80k x 代入(2)式得5= m2k29b432b5k 2160，解得b直线过定点(0,4)9,设49一 <a<-4y所以所求点d的轨迹方程是d (x,y ),则x162 y 2即9y32y164)4、设而不求法例2、如图，已知梯形 abcd中ab2cd，点e分有向线段ac所成的比为3时，求双曲线离心率 e的取值4范曲线过c、d、e三点，且以a b为焦点当3围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运

8、用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xoy ,如图，若设c , h，代入 s丿2 222ihiii -4h2 j ，求得h ，进而求得,abx乂 =,建立目标函数.xy九=/=ee再代入221ab,整理 他） 0,此运幕量可见是难上加难我们对h可釆取设而不求的0 一 '建立目标函数f (a,b,c, )0,整理 f(e, )0,化繁为简.解法一：如图，以 ab申垂直平分线为 y轴，直线ab为x轴，建立直角坐标系 xoy ,则cd丄y轴因为双曲feiil 匚d,；且/ a、bmj焦点，亩或曲线的对称性知c d关于y轴对距,依题意，记a c,0 t c+九1i ab i为双曲线的半焦2

9、c-一7）cy d22c01x, =-012 122»,cxy,则离心率e设双曲线的方程为 1a22abh是梯形的咼,由定比分点坐标公式得由点c、e在双曲线亘陲二独蟲却=ec代入双曲线方程得” + ）匕+ ）&”24-(2h1一入）=e22h1 2 + /. b由式得2<z b 4< +将式代入式，整理得_eo xi e73 4232e2 3由题设分析：考虑 a耳,ac为*半径，可用焦半径公式，ae , |ac|4e，4 的横坐标表示，回避h的 计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,ae = _ ( a 亠ex ), ac = a 亠 ex ,<

10、;_tt，宙题设，代入整理/.3 42 -32 rlec 3得<-.3o4所以双曲线的离心率的取值范圉为7 , 10（v）< <5、判别式法厂2x27c y,直线i过点a 2,0 ,斜率为k,当0 k 1时，双曲线例3已知双曲线12 2 =的上支上有且仅有一点b到直线i的距离为 2 ,呼求k的值及此时点b的坐标。 皿形的一门学科，因此，数形结合必然是研究b作0分析1:右析几时毘用代卑沬/研尧- 一解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草鸟厂不难想到：过点与i平行的直线，必与双曲线 由此出发，可期计如下解题思跖=+1c相单.而相切的代数表现形式是所构造方程的判

11、别式i : y k(x+ -v2)0 k 1i直线i'在i的上方且到直线i的距离为 22 2 2 y kx k把直线问题的方程代入双曲线方程，消去 y,令判别式关于x的方程20 k 1有唯一2k 1转化为一元二次方程根的问题-5-求解j +2简解：设点m （x,2 x x ）为双曲线c上支上任一点，则点 m到直线i的距离为:v + 2 v_rx 2,=7i x+ 2k22k 1于是，i奇题艮佝转化为女i?丄跖 >1儲方程.xvkxj術有由于0 k 1,所以 2'“)kx2x 2kkxx2k22 2 + j +/ +于是关于x的方程(、+ ) =、 -f +kx22k- 2

12、b k+ -v +( 2少* -)+ 刘 +一、）+（、； + 一丫)-=2m 2 + -厂 + >x2(2(k21)2kkx)22(2(匕)1) + 2：-k5c-、厂）+厂+ _厂）-221k22k2(k21)2kx2(k1)2kv+ k-f +>()2 0,)、2k 丄 kx /0._ ) + 、可知：方程k22( 1)a=k22(1)0的二根同正，故2( 2k1)kx+0恒虧宴，于是等价于k k 22 2( 1)kxk22(由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换,优越性99 2例4已知椭圆c： x2 zy和点p（4,1)1)2 0

13、.充分体现了全局观念与整体思维的过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ap aqab上取点q使，求动点q的轨迹所在曲线的方程.pb qb分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解因此，首先是选定参数，然后想方设法将点q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点q(x,y)的变化是由直线 ab的变化引起的，自然可选择直线 ab的斜率k作为参数,appbaq.-一来转化由a、b、p、q四点共线，不难得到x _+,要建立x与k的qb4(x _x )+2x xaba b8 (x x )ab关系，只需将直线 ab的方程代

14、入椭圆 c的方程，利用韦达定理即可 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做 到心中有数=方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理"xtk利用点q满足直线ab的方程：y = k(x4)+1,消去参数k点q的轨迹方程= +在得到x f k之后，如果能够从整体上把握,= =()认识到-所谓消参，目的不过是儈到关于 x, y的方程(不含k),贝何由y k(x 4)1解得()方程。从而简化消去参的过程。+ _简解：设a_ +xi,yi , b(x2， y2),q(x, 一则由解之得：y 1,直接代入x _ f k即可得到轨迹刃=4 =apaq 4 x x

15、xpbqb得：x24x2x4(xx ) 2x x12 1 2x(1)_ = 8(x x )1 2设直线ab&勺方程崔(xi +二次方程：_ 一 一2 x k4)c的方程，消去y得出关于x的一元22k 14 (1k xk4 )2(1 4 )(2)4k(4k1)x x212 2kr2(1 4k)2x x201 2 2k4k +3代入（1 ）,化简得：x在（2）16 2 109x故知点一 +k(x 4)1 联立,中弋64k16 2 10q的轨迹方程为:消去k64得:242x y 4+2x（x 4）0.2二血 区nn 结合（3）可求416 2910162 10)9由方程组实施消元点评:,产生一

16、个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道6、求根公式法+=2例5设直线i过点p（ 0, 3）,和椭圆x y92ap1顺次交于a、b两点，试求 的取值范4pb围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到:分析1：从第一条想法入手,ap = xa已经是一个关系式，但由于有两个变量 xa,xb，pbxb同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3个变量一一直线 ab的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化为关于k的表达式，到此为止,将直线方程代入

17、椭圆方程，消去ap二x ,但从此后却一筹莫展，问题的根源pb axb在于对题目的整体把握不够 .事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量 关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系 一出关琴x的一齐二次方程，次求根公式呼工岀把直线i f勺方程y = kx+9代入椭圆方程，单去y得 到关于x的一元二次方程求根公式xa= f （k） , xb=g （ k）iap/pb = （xa/xb）得到所求量关于k的函数关系式由判别式得出k的取值范围二所求量的取值范围简解1；当直线i垂直于x轴时，可求得appb-8-当i与x轴

18、不垂直时，设a ki,y , b(x ,1 2y ),直线i的方程为：y =kx "8,代入椭圆2去y得9k 42 + i?54一 ±+ kx齐程，亏肖45 0+ 2 27k6 9k 5解之得x1.2+ jk2 +94+ v因为椭圆关于y轴对称，卓上,27k6x (1 _所以ap<< 一2(54k)所以象王一9k229k)>18090,解得ap227k 6 9k9k 49k18k259k25 k9189529k9k181'9925k2pb如果想构造关于所求量的不等式，k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与分析2:由判别式值的非负性可以很快确定5

19、则应该考虑到:1,5判别式往往是产生不等的根源 k联系起来即我ap/pb= 一(xa/xb)+ ) + + =构造所求量与k的关系式由判别式得出k的取值范围关于所求量的不等式简解2：设直线i的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去 y得2 x kx29k 45445 0(*)45从而有9k4入+一 +2324k>-<中，由甸别式+245k < d可得20v九s - s入24324一 de236,所以45k12036,解得5ap结合0综上,pb5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等本题也可从数形结合的角

20、度入手，给岀又一优美解法解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会 被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹 帷幄，方能决胜千里第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学录= 解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题 ”法达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 丄间勺相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为 a, b,

21、 o为椭圆中心，f为椭圆的右焦点，且 af fb 1 ,aof ）求椭圆的标准方程;i，很点f恰（u）记橢耐总为线丨交椭哗p. 3两韦 问：是否存毎直线为 p|qm的垂心？若乔在,求 存在，请说明理由。atb affb 1- of丄丄"-(ae)_1, c 1写岀椭圆方程a 2,b 1由f为pqm的重心pq mf , mp fqpqy = x + m 消元2+2 2 = 2i xy2 23x +4mx +2m 一2 =0两根之和, 两根之积得岀关于 m的方程解题过程:（i）如图建系，设椭圆方程为2 2x_ +_y_2 2，则c 1又af fb 1即(a c)(a c) 11(a b0

22、)2故椭圆方程为x2（n）假设存在直线i交椭圆于p,q两点，且f恰为pqm的垂心,设pgyjqgyvm(0,1),f(1,0)1 kpq得,2lx 4mx 2m 20oxu/2 n/v2 (x4xi z/( )/4符合条件.3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零. + 2由韦达定理得2x x (x x )(m 1) m1 2 1 22= =2m 2 4m22(m 1) m m 03 34或m 1 （舍） 经检验m3例7、已知椭圆e的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 a（ 2,0）、b（2,0）、3c 1, 三点.2（i）求椭圆e的方程:-11 -(n)

23、(n)若点d为椭圆e上不同于a、b的任意一点，fg1,0),h(1,0),当 dfh内切圆的面积最大时，求 dfh内心的坐标;思维流程:(i)2 + ny?=得到m, n的方程由椭圆经过a、b、c三点设方程为rnx1解出m, n拷化为占d的纵从标的绝对值最大最大d为椭圆短轴端.占aill dfh 内切岡向枳最人转化为 °dfh 面积悵大rulj卜 ri bqsa"xx周长r内切圆ljrrl面积最大值为odfh 2聲题过程:得出d点坐标为+ =( > > ) 一2 ny2(i )设椭圆方程为 mx1 m 0,n0 ,将 a( 2,0)、b(2,0)、4m_1,=1

24、122、q解得4m,n椭圆xe的方程y14343mn4=a=x x =1jaj1a =- x(n) |fh |2, t殳 a dfh边上的高为shh厂lvdfh2c(1,)代入椭圆：e的方程，得22当点d在椭圆的上顶岐“h最大罠3,所以s 的最大值为idfh3.设 dfh的内切圆的半径为6.所以，6s dfhr2r,因芳 dfh的周长为定值所以r的最大值为3 所以内切圆圆心的坐标为 (0，3)、33 点石成金：s的内切圆的周长 r的内切圆22 y5 ,过点c的动直线与椭圆相交于 a, b两点.2例8、已知定点c( 1,0)及椭圆x 3(i)若线段ab中点的横坐标是,求直线ab的方程;(u)在x

25、轴上是否存在点m ,使ma mb为常数？若存在，求出点 m的坐标；若不 存在，请说明理由.思维流程：(i )解：依题意，直线ab的斜率存在，设直线 ab的方程为y =k(x+1),= +将y k(x 1)代入x设 a(x, y ), b(x ,1 1 2气，消去y整理得mf匕x+3k" -5=0.i =436k4(3k1)(3k+ =5)(1)由线段t6k23k 1ab中点的横坐标是 *+23kv + =23k 1解得k=±3,符合题意。3所以直线ab的方程为 x 3y 10，或3y 10.(n)解：假设在x轴上存在点m (m,0),使ma" >当直线ab肓

26、x站不垂直時，由(i )為x+1=mb为常数+(x m)(x=1才+23km) yy-(x m)(x m厂lf(x=212 + '1)(x2ma mb f23k1)2(k f)xx一 2(6 1) m k-h3k =r2(kx)214(2m)(3k3+1)2m23k1 6m 142m 2m23 3(3k1)注意到ma mb是与k无关的常数，从而有6m 140, m,此时ma mb3 当直线ab与x轴垂直时，此时点a, b的坐标分别为4时，亦有ma mb9综上，在x轴上存在定点7 0 i 一 一m v ，丿，使ma mb为常数.3点石成金:*2(6 1lm k12 +(2m)(3k1)i

27、+2mma mb23k 16m2m23(3k1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 平行于0m的直线i在y轴上的截距为 rn(rro),求椭圆的方程；+ => >求m的取值范围； 求证直线 ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形x轴上,长轴长是短轴长的i交椭圆于a、b两个不同点。2倍且经过点m2, 1),(i)(u)(m)思维流*i +=解：(1)设椭圆方程为2y1(a b 0)2b .a 2b+1y2解得j邂圆方程为(ii)：直线+ = =i平行于om,且在y轴上的截距为又=!kom= 2的方程为:1x2+ _2_ 2x 2mx 2m 402x(2m)4(2m直线i与椭圆交于 a

28、、b两个不同点，解得 2 m 2,且m 0（皿）设直线ma、mb的斜率分别为kn k2,只需证明ki+k2=0即可2设ag y ),b(x ,y )，且xx2m, x x 2m 412212 1 2则y1y112k,k212xx2122由22mx 2m40可得x2m, x x1 224xi x22 mx zt )/ x72=x2 )(x2 (2x1)(xi mt)mz(2x 472lz2(m42)/(>/21 2=2x2)(/(2)(m2xx_t/22)(/()/2x2)(4 1(+2ma 2故直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形 .v点石成金：直线 ma、mb与x轴始终围成一个等

29、腰三角形ki k2 02x2+y2 3,的离心率q丰人e,过a(a,0),b(0, b)的直线到原点的距离例10、已知双曲线9913ab3=是2(1)求双曲线的方程;、厂(2)已知直线y kx5(k0)交双曲线于不同的点g d且c d都在以b为圆心的圆上求k的值. =思维流程:=+c_3 = 原去w到直线 ab :一2xy的距离解:( 1 )a3a babab3d22 c2a b故所求双曲线方程为(2)把 y5代入kxx3y23中消去y,整理得2 x kx2(1 3 )30780k设 c(x , y ), d(x ,y ),cd1的中点是e(xo,yo),则1 2 2+x x 15 k0= 4

30、2-04-2-=3k2+ _ 1"y o1bex0+ + =xo ky k 0,045 k即21 3k+ -5 kr721 3k0,又k2o,7k故所求k=+7.点石成金：c, d都在以b为圆心的圆上bc=bd be丄cd;例x、已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(i )求椭圆c的标准方程；(ii )若直线i : y=kx+m与椭圆c相交于a、b两点(a、b不是左右顶点)，且以ab为直径 的圆过椭圆c的右顶点.求证貢義广过定竄异求出该定点的坐标.思维流程:= = 2_x解：ri)i题意设椭園的标准方程为2a由已矢uwa+ c 3, a c 1,a j " 2；2 ib“i) !a=2y2b1(a+ =，b 0)< +联立c-=32 2* c 设 a(xi, y kx椭圆的标准方程为+ +yd，b(x2, y2).2 2二x予4* 32 2(3 =4k )天1.8mk)e24(ffi3)2 264m k 16(3 _8mk ,23 4k_2+32 24k )(m3)0,24k0,24k(kx+ +23(