归类探究三角函数中的求最值（或值域）问题

1、    归类探究三角函数中的求最值（或值域）问题    刘洪峰【摘要】三角函数最值问题屡屡受到命题者青睐，求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一.本文对三角函数的求最值问题进行粗浅研究，望共同探讨.【关键词】三角函数；归类；求最值；值域问题前言三角函数的最值问题是中学数学的一个重要内容，也是高考中的常见题型，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力.三角函数求最值问题主要有以下几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数

2、最值问题都可以解决.本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴.一、化成y=asinx+b（a0）或y=acosx+b（a0）型1.y=asinx+b（a0）的最大值和最小值.（1）当a>0时，若sinx=1，ymax=a+b；若sinx=-1，ymin=b-a.（2）当a<0时，若sinx=-1，ymax=b-a；若sinx=1，ymin=a+b.2.y=acosx+b（a0）的最大值和最小值.（1）当a>0时，若cosx=1，ymax=a+b；若cosx=-1，ymin=b-a.（2）当a<0时，若cosx=-1，ymax=b-a；若cosx=1，ymin

3、=a+b.例1已知函数f（x）=sin（-x）cosx+cos2x（>0）的最小正周期为.（）求的值.（）将函数y=f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数g（x）在区间0，16上的最小值.分析（）f（x）=sin（-x）cosx+cos2x（>0），f（x）=sinxcosx+1+cos2x2=12sin2x+12cos2x+12=22sin（2x+4）+12由于>0，依题意得22=，所以=1.（）由（）知f（x）=22sin（2x+4）+12，所以g（x）=f（2x）=22sin（4x+4）+12.当0x6时，可得44x

4、+42，所以22sin（4x+4）1.因此1g（x）1+22，故g（x）在区间0，16内的最小值为1.变式1已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x-2sinx+4sinx-4.（1）若tan=2，求f（）；（2）若x12，2，求f（x）的取值范围.变式2已知函数f（x）=sin2x-2sin2x.（）求函数f（x）的最小正周期；（）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合.二、化成y=asin2x+bsinx+c（a0）或y=acos2x+bcosx+c（a0）型例2已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.（）求f3的值；（）求f（x）的最大值和最小值.分析（）

5、f3=2cos23+sin23-4cos3=-1+34=-94（）f（x）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3cosx-232-73，xr.因为cosx-1，1，所以，当cosx=-1时，f（x）取最大值6；当cosx=23时，f（x）取最小值-73.点评此题主要是化为某个三角函数的二次三项式，结合换元法、配方法.变式3当0<x< p>a.14b.12c.2d.4变式4函数f（x）=cosx-12cos2x（xr）的最大值等于.三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型方法：形如y=asinx+bcosx

6、的可引进辅助角化成a2+b2sin（x+），再利用有界性.例3设函数f（x）=cosx+23+2cos2x2，xr，求f（x）的值域.分析f（x）=cosxcos23-sinxsin23+cosx+1=-12cosx-32sinx+cosx+1=12cosx-32sinx+1=sinx+56+1，因此f（x）的值域为0，2.点评注意熟练掌握sinx+cosx=2sinx+4=2cosx-4sinx-cosx=2sinx-4=-2cosx+4cosx-sinx=2sin4-x=2cosx+4变式5已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（xr），求函数f（x）的最小正周期及在区间

7、0，2上的最大值和最小值.四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型例4求函数y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.分析法一（分离常数法） </xy=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2（sinx-2）+1sinx-2=-1sinx-2-2.由-1sinx1，得-3sinx-2-1，-11sinx-2-13，13-1sinx-21，即-53-1sinx-2-2-1，ymax=-1，ymin=-53.法二（逆求法）由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3，-1sinx1，-1y+22y+31，解得-5

8、3y-1，ymax=-1，ymin=-53.点评此题是利用了分离常数的方法和逆求法求解的.变式6设a>0，对于函数f（x）=sinx+asinx（0<x< p>a.有最大值无最小值b.有最小值无最大值c.有最大值且有最小值d.既无最大值又无最小值五、化成y=csinx+dacosx+b型例5求函数y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.分析由已知得ycosx-2y=sinx-1，sinx-ycosx=1-2y，即y2+1sin（x+）=1-2y，sin（x+）=1-2yy2+1，|sin（x+）|1，1-2yy2+11，即3y2-4y0，解得0y43，故ymax=

9、43，ymin=0.点评上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单.变式7当0<x< p>a.2b.23c.4d.43六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型例6求函数y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.分析设t=sinx-cosx=2sinx-4，则-2t2，且sinx·cosx=1-t22.由于y=t+1-t22=-12（t-1）2+1，故当t=1时，ymax=1；当t=-2时

10、，ymin=-2-12.点评sin+cos，sin-cos，sin·cos这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系.sin·cos是纽带，三者之间知其一，可求其二.令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下.七、化成y=sin（x+）·cos（x-）或y=sin（x+）+sin（x-）型例7已知函数f（x）=sinx+6+sinx-6-2cos2x2，xr（其中>0），求函数f（x）的值域.分析f

11、（x）=sinx+6+sinx-6-2cos2x2=32sinx+12cosx+32sinx-12cosx-（x+1）=232sinx-12cosx-1=2sinx-6-1由-1sinx-61，得-32sinx-6-11，可知函数f（x）的值域为-3，1.八、化成y=sinx+asinx型例8求y=sinx+2sinx（0<x< p>分析设u=sinx，则y=u+2u（0< p>当u=1时，ymin=1+21=3.点评若由sinx+2sinx2sinx·2sinx=22，可得最小值22是错误的.这是因为当等号成立时，sinx=2sinx，即sinx=2&

12、gt;1是不可能的.若把此题改为y=sinx+2sinx（0<x< p>变式习题答案：1.解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx+cos2x=1-cos2x2+12sin2x+cos2x=12（sin2x+cos2x）+12由tan=2得sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=45，cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35，所以f（）=35.（2）由（1）得f（x）=12（sin2x+cos2x）+12=22sin2x+4+12，由x12，2得2x+4512，54，所以sin2x+4-22，1.从而f（x）=22sin2x+4+120，1+22.2.解：（）因为f（x）=sin2x-（1-cos2x）=2sin（2x+4）-1，所以函数f（x）的最小正周期t=22=.（）由（）知，当2x+4=2k+2，即x=k+8（kz）时，f（x）取最大值2-1.因此函数f（x）取最大值时x的集合为x|x=k+8，kz.3.d4.345.解：由f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1