毕业论文__二次曲面直纹性的深入探究

1、毕业论文题目 二次曲面直纹性的深入探究学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生郑俊敏学号 20080901075指导教师孙鹏举二o二年五月二十五日摘 要几何学是一门具有悠久历史的学科，这门学科的生命力一宜都很旺盛，近年来它 对其他数学分支产生越来越深刻的影响.曲线论与曲面论是几何屮两大重要内容，在 许多几何书上都蕴含了曲线和曲面的性质等相关内容，其中直纹面由于具有很好的性 质在曲面论屮占据十分重要的地位.受直纹面占有重要地位的启发，联想到对直纹面 的相关问题进行深入探究.三维欧氏空间屮的直纹面可以是单叶双曲面，双曲抛物面，也可以是可展曲面木 文将从三维欧氏空间中的直纹面出发，对二

2、次曲面的直纹性进行深入探究第一章介 绍木文的研究背景及相关的基础知识，如二次直纹面、直母线、高斯曲率、平均曲率、 腰线等的定义第二章给出二次直纹面的证明、性质及相关的判定方法第三章对三维 欧氏空间屮直纹面的特殊性质给出总结并证明，及给出直纹面是可展曲面的充分条件. 最后一章对本文的工作进行总结与展望.关键词：欧氏空间；二次直纹面；腰曲线；直母线abstractgeometry is a door with a long history of discipline, the discipline vitality has been very strong, in recent years it

3、to other branches of mathematics produce more and more profound influence. curve theory and surface theory is an important content in the geometry two, in many geometry books contain the curve and surface properties and other related content, including straight grain surface has the good properties

4、in surface theory occupies very important position. be straight grain occupies an important position in the face of inspiration, leno vo to straight lines to the problems related to the probe.in 3-dimensional euclidean space ruled surface can be a hyperboloid, paraboloid, can also be a developable s

5、urface. this article from the three-dimensional euclidean space ruled surface based on surface, two straight lines of in-depth exploration- the first chapter introduces the research background and the related basic knowledge, such as the two a ruled surface, straight generatrix, gauss curvature, mea

6、n curvature, such as waistline definition. the second chapter gives two ruled surface, that nature and judging method. the third chapter of the three-dimensional euclidean space ruled surface special properties are summarized and demonstrated, and gives the ruled surface is the sufficient condition

7、of developable surface. the last chapter of this paper makes a summary and a prospect.key words： euclidean space； the second ruled surface； generalized ruled surface； rectilinear generator摘 要iiabstractiii1.1弓i言11.2预备知识-1-1.2.1二次直纹面及直母线的定义-1-1.2.2直纹面的导线-2-1.2.3平均曲率和高斯曲率-2-1.2.4腰点及腰曲线22二次曲面的直纹性-4-2.1二

8、次曲面-4-2.2二次直纹面-5-2.2.1常见二次直纹面的证明及性质-5-2.2.2两类特殊二次直纹面的新定义-9-2.2.3二次曲面是直纹面的判定方法133三维欧氏空间中的直纹面163.1直纹面的特殊性质163.1.1直纹面腰曲线的性质163.1.2直纹面的其他特殊性质193.2可展直纹面-20-结 论22参考文献23致 谢241前吞该木分将首先介绍该课题的研究背景，然后，在此基础上给出该课题所涉及到的 直纹面的相关定义和性质.1.1引言解析儿何已经具有非常悠久的发展历史.到目前为止，解析儿何在内容和方法上 都已发生了非常大的变化，内容更加广泛和丰富，方法更加多样特别地，随着最具 有重要意

9、义的变换、变化群以及不变量的理论的引入，射影儿何、仿射儿何也成为解 析儿何的一部分它们在研究二次曲线和二次曲面的分类推理方面具有广泛的应用.解析儿何分为平面解析儿何和空间解析儿何,空间解析儿何是在平面解析儿何的 基础上发展起來的，主要研究柱面、锥面、旋转曲面直纹面由于具有很好的性质在 空间解析儿何中占据i-分重要的地位，因此，在欧氏空间中直纹面是人们研究的焦 点.到目前为止，对直纹面性质的研究已经取得了很多理想且有价值的成果木文从 三维欧氏空间的直纹面岀发，在介绍了一般二次直纹面相关内容的基础上，对二次曲 面的直纹性进行更加深入的探究.1.2预备知识1.2.1二次直纹面及直母线的定义定义1.1

10、如果存在这样一簇直线使得这一簇直线中的每一条全在曲面s上并 且曲面s上的每一个点都在这一簇直线的某条上，那么我们称曲面s为直纹面.这样 的一簇直线称为s的一簇直母线简单地说，由直线的运动轨迹所生成的曲面就被称 为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线用r(w,v) = a(u) + vb(u)表示，其中处/)为一直纹面的导线，)为导线上过d(u)上点的直母线的方向向量.特别地，当也)为常向量吋，该育纹面为柱面；当也)为常向量时，该直纹面为 锥面.定义1.1表明要证明一张曲面是直纹面，就要证明该曲面同时满足下面两个条件(1) 曲面上存在一簇直线；(2) 对曲面上每一点，必有簇屮的一条直线通过它.求这

11、种曲面的方程有一个确定的解题步骤：首先，写出含有参数的母线族的方程j 耳(兀,y,z,xi，yi，zj = o,f2(x,y,x1,yi,zi) = o.然后,根据曲线运动的规律，写出参数小,m就得上述曲线方程.1.2.2直纹面的导线定义1.2若直纹面上一曲线与每一条直母线都相交于一点，则该曲线为直纹 面的导线.取直纹面上一导线，它的参数用a = a(u)表示在该导线上任取一点，设过该点的直母线上的单位向量为b(u),则直纹面的参数 方程可表示为r = a(u)vb(u)分别对“°求偏导，可得f7; = a (u) + vh (m),rv =b(u).由此可得，直纹面的第一基本量为e

12、 =(6z(z/) +v/?(w)2,f = a(u)b(u),g = b2(u) = l单叶双曲面的导线就是其腰椭圆；双曲抛物面的导线是其开口方向分别向上和向 下的两条异面的抛物线.1.2.3腰点及腰曲线定义1.3设z是过导线上点4(”)的直母线,a(u + au)是d(m)的临近点，是过 导线上的点q(u+au)的直母线，做直母线/和r的公垂线，垂足分别为p和p,当 uto时，公垂线pp的垂足p趋近于直母线的极限位置佗，称e为直母线的腰 点.位于直纹面上的任-条直母线上(假设bf(u)o)都有一个腰点，称这些腰点的轨 迹为腰曲线.因为任一宜母线上关于腰点对称的两点处高斯曲率相等，因此也称腰

13、点为对称 八、定理3设直纹面为r(u,v) = a(u) + vh(u),该直纹面的导线为腰曲线的充要条件 是 af(u)-bf(u) = o因为柱面的母线方向方(u)是固定不变的，所以沪(u)恒为零，故腰曲线是任意的, 换言之，柱面上任一曲线都是它的腰曲线.1.2.4平均曲率和高斯曲率定义iq设曲面s的方程为r = r(w,v),对该方程网边求导可得 dr2 =drdr = rdu2 + rl(rvdudv + idv2,上式为曲面s的笫一基本形式，用i = edu2 + 2fdudv + gdv1表示，其小e*z >,f=<乙，几>，g=<几,几>,称为曲而s

14、的第一基本量.定义1.5设曲面s的方程为r = r(w,v),单位向量为"，则有nd r =< n. ruu > du + < n, ru v > dudv+ < n, rvv > dv ,称上式为曲而的第二基本形式，用n = ldu2 + 2mcludv + ndv2表示，其中l=5s >,m =< n, rvlt >,n =5 乙，称为曲而s的第二基本量.定义1.6何 设曲面s的第一基本量和第二基本量分别用e, f, g和l, m, n 表示，则曲面s的平均曲率h可表示为h en-2fm +gl一 2(eg-f?)'高

15、斯曲率k表示为“ ln-m2k =eg-f22二次曲面的直纹性二次曲面的直纹性是二次曲面教学中的重点和难点，本章主要对常见直纹二次曲 面的性质及证明加以总结及给出具体实例并对二次曲面是直纹面的几种常用判定方 法加以总结和推广.2.1二次曲面二次曲面的所有可能情况共可以写成十七个标准形式.椭球面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭球抛物而双曲抛物面椭球柱面双曲柱而抛物柱面(10)对相交平面(11)-对重合平面(12)x2+ lz24-7cth2卜厂222xza2c2222x仔za2c2222xz2cth2c222x+)'= 2z；a2x29= 2z；a2b2ji2x1-/h22xy=1;a2b

16、2x2=2 亿y;22xya2b2x2=0；2.x；1;=-1;=0；1；0;(13)一对平行平面一对平行共轨虚平面x2=-672；(14) 虚椭球面(15) 虚二次锥面(16) 虚椭球柱面y=o；=-1;仃7）对共辄虚平面2.2二次直纹面2.2.1常见二次直纹面的证明及性质在我们学习解析儿何的过程屮，我们已经知道二次曲面的所有类型共有十七种， 在二次曲面的所有种类中，其中有一部分具有一个共同特征，即他们都是由直线组成 的，我们把这样的曲面称为直纹面下面介绍一下二次曲面屮的直纹面及其证明和性 质.通过学习我们知道二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面，jfu 椭球面和双叶双曲面不是

17、直纹面.图21双曲抛物面图22双叶双曲面图23椭球面图24二次锥面我们知道椭球面是有界曲面，因此椭球面上不可能存在直线（直线可无限延伸）, 所以椭球面不是直纹面双叶双曲面位于面的上方，假设双叶双曲面上存在直线, 那么该直线必平行于。小平面，但平行于。小面的平面与双叶双曲面的交线是椭圆， 从而这种直线不存在，所以双叶双曲面不可能是直纹面，同理可知椭圆抛物面也不是 直纹面.在二次曲面的学习中，很显然二次柱面和二次锥面是直纹面，但大家对单叶双曲面与双曲抛物面是直纹面则难以理解，下面给出单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面的 具体证明.要证明一曲面是直纹面只需证明该曲面满足以下两点(1) 曲面上存在一簇直线

18、；(2) 对曲面上每一点，必有簇中的一条直线通过它.单叶双曲面是直纹面证单叶双曲面的方程为由(1)式变形得2 22二+1 a2 h2 c2'22 2(1)等式两边分解因式得/x< a1/ 、1-21b丿/ 、1 bc)a c1丄, a2 c2b2推得图25单叶双曲面其屮入,入不同时为零.由方程可得行列式( x z + / 、fl-2/ 、1+丄1 b)1 b)c)( 1+丄i b丿 1_£、 卫 5由此可得，以&,(-人)为未知量的方程组( 、+ 2 + 1 + y (-易)= 0, b丿/ 、b)1 丄 &+ - (-2.) = 0 b 丿 i。 c)

19、有非零解.因此，存在不全为零的小説2使得r 、入x z=人1+上"c丿i b)、/ 、( &=a< h)成立.设p（兀0,儿,zo）是单叶双曲面上的点，则点p（x0, y0,z0）满足方程（1） <=>点p满足方 程，即点p在直线族的某条直线上，所以单叶双曲面（1）有直线族构成.同上，可推出单叶双曲面的另一直线族为( x z( y1 +2 c丿l b)“2“(兰+ 三)=角(1g),a cb其中“i，“2不同时为零设0（兀0，儿皿0）为单叶双曲面上的任一点o点q满足方程（3）,即点!2在直线族（3）±,因此，单叶双曲面（l）rtl直线族（3）构成.

20、综上可知，单叶双曲面为直纹面.两族直母线'i |各有一条直母线通过这点.推论对于单叶双曲面上的点，双曲抛物面是直纹面证双曲抛物面的方程为%22其中q"为任意的正常数.由方程x22分解因式可得/ 、( £-z鮎b,ih)=2乙由此可得出行列式方程为因此，方程组xl2rabxa2=0.2 b/ -+ -入+2入=0,i。b) _3 b)有菲零解，即存在不全为零的入説2使得成立.因为入，人不全为零，所以，可设人不为零，贝叽4）式可变为/ 、r& b,a j设一泊,则由可得3 = 2入 a bca g 7?.入b)设m（x（）, y（）,z（j是双曲抛物而上的一点，

21、贝u m（x（）, y（）,z（j满足方程，等价于(7)满足方程，即m点是直线族上的一点，所以双曲抛物而是有直 线族(7)构成的.同理，可得双曲抛物而的另一直线族为a b< zxjlier.(8)x yz二 一 +十“，3 b)设"(心儿,)是双曲抛物面上的一点，可推之2(心儿皿0)在直线族上，即 点n(x°,yo，zo)是直线族上的一点，所以双曲抛物面由直线族构成.综上所述，双曲抛物面是直纹面.推论对于双曲抛物面上的任意点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.为了是大家对单叶双曲面与双曲抛物面的直母线有更深入的了解,下面给出单叶 双曲面和双曲抛物面的直母线的有关性质

22、.(1) 单叶双曲面或双曲抛物面上同族直母线屮的任意两条不共面.(2) 单叶双曲面上位于不同族中的任意两条直母线必共面,双曲抛面上位于不同 族屮的任意两条直母线必相交.(3) 经过单叶双曲面上一条直母线的每一个平面，必经过另一族直母线中的一条 直母线.(4) 位于双曲抛物面同族中的所有直母线均平行于同一个平面.2.2.2两类特殊二次直纹面的新定义学习了一般二次直纹面的定义和性质后，本部分我们将给岀两类特姝二次直纹面 单叶双曲面和双曲抛物面的新定义，在解析几何教科书中只对柱面、锥面用动 母线的形式给出其参数方程，却没冇用动母线的形式研究单叶双曲面和双曲抛物面的 参数方程因此，在该部分我们将单叶双

23、曲面与双曲抛物面的参数方程.我们已经知道，以r = x(u),y(uz(u)为准线，母线平行于s = x,y,z的柱面的参数方程为x = x(u) + x« y = y(w) + /v,( w,v 为参数).z = z(u) + zv,另外，以r = x(u),y(u)9z(u)为准线，以为顶点的锥面参数方程为x = vx(w) + (l-v)x0,.y = vy(u) + (-v)y(),( u.v 为参数).z = vz(w) + (l-v)z0,给出两类特殊直纹面的新定义之前，先给出以下两定理.定理2.13】在空间有平行矢量7 = °(1 一/),一2 加,c(l +

24、 /),于一定曲面x = an.< y =伉z = -cu.和交的一族直线所生成的曲面是单叶双曲面其中，"是任意实数，a,b,c是任意的止 常数这一族直线中任意两条是异面直线.证在定曲线兀=au.y = b. (-00<w <oo)z = -cu.上任取一点pu,b,-cu),过点p与矢量心£(1-/),_2庆,c(l + /)平行的动直线方程 为x = au + av(-u2« y = b- 2bmv,(1)2z = -cu + cv(l + u ),其中，”,y为任意的实参数.rti方程变形得-io -x2- = u + v-u v, a*

25、= 1 - 2wv,bz2- = -u + v + u v.对(2)式中三个方程两网做线性运算得2v,= 2w(l-wv), a cv1 + f = 2(1-hv), b由以上方程式得出y1= 4wv(l -uv).所以72?产一尹“一厉，即2 2 2二+1 卅b2 c2因此，由此一族直线生成的曲面是单叶双曲面.由此定理可得单叶双曲面的参数方程为2、x = au + av(-u ),< y=h- 2buv,(%,u为任意的实参数).z = -c« + cv(l + ir),从而单叶双曲面的方程可写为s = au + av(-u2b-2buvcu + cv(l + m2).定理2

26、.2在空间由平行矢量与一定曲线ax = u,2* y = -u, （u为任意实数,a,b为任意正常数）z = 0,相交的一族直线所生成的曲面是双曲抛物面.证在定曲线上任取一点p（亠,-纽,0）,过点p与矢量"#上,勻平行的动直 222 2 2j线方程为aax =ll hv22bb5 y =w + v,221z = wv,2其中，是任意的实参数. 由（3）变形得2x= u + v,a2y= -u + v,b2z = uv.由（4）式各方程做线性运算得兰亠a b2z = uv. 因此，由此一族直线所生成的曲而是双曲抛物而.由此可得，双曲抛物面的参数方程可表示为a ax = 一u ”，2

27、2b b5 y =u + v,2 21z = -uv,2其中，u,为任意的实参数.从而，双曲抛物面的方程方程可写为2.2.3二次曲面是直纹面的判定方法本部分将对冇关二次曲面是直纹面的判定方法加以总结和推广.对有关直纹面的判定有以下几种方法：一、根据方程的特点直接判定；二、利用二次曲面的化简來判定；三、利用因式分解來判定.下面对每种方法分别展开加以具体讨论并给出具体实例.根据方程的特点直接判定1°若方程小缺少一个变量，则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱 面，因而所表示的曲面是直纹面.2°若方程是关于x-a,y-b-c的齐次方程则此方程所表示的曲面是以 (a,b,c

28、)为顶点的锥面，因而是直纹面.例如判定下列方程是否是直纹面.(1) / + 2,xy + 兀+ 3 = 0,(2) x2 + xy+ y2 - yz -y = q.证因为方程(1)中缺少变量z,因此可知，该方程表示一个母线平行于z轴的柱 面，所以该方程所表示的曲面是直纹面.方程(2)可写为x2 +xy + y2 - y(z + 1) = 0,该方程是关于x,y,z + l的齐二次方程，所以它表示的曲面是以(0,0,-1)为顶点的锥面, 所以是直纹面.利用二次曲面的化简来判定在非退化的二次曲面中，只有柱面、锥面、单叶双曲面、双曲抛物面是直纹面. 因此，对于一个方程，我们可以对其先化简，使其变为标

29、准型，看是否是上述直纹面11«的一种来判断该曲面是不是直纹面.利用因式分解来判定定理2. 3141如果二次曲面方程f（“z） = o,（1）经过适当变形变为片（x, y, z） f2 （x, y, z） = f3 （兀,y, z） 耳（兀,y, z）（2）的形式（存的次数均小于等于1）,则该方程所表示的二次曲面是一直纹面，其一直母线 可表示为f (x, y, z)w = f3 (x, y, z)u,f2(x,y,z)u = "(x,y,z)vvf|(x,y,z" = 巧(兀,=片(x,y,z",其中w,u,t,v是参数.证假设（2）式左端的两个因式次数都

30、是1,由（2）式得出方程组 j 耳（x, y, z）w=f3 （x, y, z）u.f2（x,y,z）u =耳（x,y,z）w,vv,m为参数（w,”不全为零）.因为片的次数都小于等于1,并且（2）式左边两因式的次数都为1,因此无论上 取何值，方程（3）都表示直线，我们把（3）组成的一族直线叫做弘族直母线.现在來证明由该u族直线可以生成曲面（2）,从而它是曲面（2）的一族直母线容 易知道，族直线小任何一条直线上的点都在曲而上，反过来，设点（心治5） 是曲面（2）上的点，则有f （兀o，?（），z（） 尸2 （x0,儿,z（）=冷（x（）,），（）, z（） f4 （x0，刃），z°）

31、 选取适当的上值，使得耳（兀0'?0）_ 尸4（兀0,0, ?0）耳 cwo，zo） 瑪（兀0，儿，）所以f(x,y,z)w= 厲(兀,y,z)u = “(x,y,z)w.从而可知，点（兀0,0, %）在u族直线上.同理可得，另一族直母线为f(x,y,z" = "cr,y,z",f2(x,y,z)" = £(x,y,z)/.推论1从直线族方程(3)或(7)中消去参数，即得由这族宜母线所生成的直纹面 方程.推论2如果直母线族方程(3)和(7)中的参数之间存在一个变换u = (v)，那么 育母线族方程和便可通过这种关系进行相互转换，即直纹面

32、只有一族直母 线；反之，直纹曲面则(2)有两族直母线.只有一族宜母线的直纹面称为单参数宜纹面，也称为可展曲面，常见的单数直纹 面有柱面、锥面，以及切线曲面.有两族直母线的直纹曲面称为双参数直纹曲面，其 中包括单叶双曲面、双曲抛物面等.推论3若直线族方程(3)和(7)相同，那么(2)式代表的曲面是柱面或锥面；若直 母线族的方向矢量与参数无关，那么此时的曲面一定是柱面；当宜母线族通过某定点 吋，则该曲面一定是锥面.例如(兀 + y + a)(y + z + 方)=c?.上述方程可写为(x + y + a) (y + z + b) = c c .其各因式的次数都小于等于1,所该方程所表示的曲面是直纹

33、面，又因为等式右边两 因式相等，所以该直纹面是柱面或锥面因为该曲面的直线族为jw(x+y + a) = uc,+ z+b) = wc.所以方向矢量为1,1,-1,所以该直纹面是锥面.3三维欧氏空间中的直纹面3直纹面的特殊性质3.1.1直纹面腰曲线的性质冋9 单叶双曲面未+向量表小为导线为母线方程为因为所以从而可得因为因此从而得出命题3.1单叶双曲面的腰椭圆就是腰曲线.证 单叶双曲面的参数方程为x = qcosu-yasinu,v y = bsinu + vbcosu,. z = cv.r(w, v) = a(u) + vh (w),a(u) = a cosw,/?sinh,0,b(u) = -

34、 a sin u.bcosu.c.b(u) = af(u) + ck ,bf(u) = cin(u).a,(u)-b,(u) = af(u)-an(u).au)=如+戸,所以n(0)的长度是固定的.") = 0.au)au) = 0, af(u)bu) = 0.由此可得，单叶双曲面的腰椭圆就是腰曲线. 另外，根据平行截线z = h,可以看出，腰椭i员i就是长短半轴最小者当腰椭i员i为半径无限小的i员i时，腰椭i员i缩为 一点，该情形即为锥面.2 2 双曲抛物面2-£ = 2z .cr 少命题3.21oj单叶双曲面是其腰椭圆从切面族的包络.兀2v2命题3.3双曲抛物而亠-&#

35、163; = 2z的腰曲线是两条直线 cthy = -x,< a或by = 一x,< a z = 0.证 双曲抛物面的参数方程为x = 67(w + v), y = b(u-v)9 z = uv.rtid）得，双曲抛物面的向量表示为r = a(u) + vb(u),导线a(u) = au.bufi,母线方向 显然厅 3 /?©)= °2 2因此可得，双曲抛物面冷-莓=2z的腰曲线为直线hy = -x,< az = 0,即，导线即为腰曲线.通过前面的证明，我们知道，双曲抛物面的两族直母线分别为x l2.1ab ':z =zx22u,_y_b)/ 、x

36、 yz= _ +亍",w b丿verv r.me/?,显然，腰曲线是 = 0的那一条.平行于平而- = 0的那族直母线 a b/ 、 x y z= - + 匕3 b)_ b沿此腰曲线ly=hx移动便可得到此曲面.z = 0同理，平行于-+ = 0的那族直母线 a b兰+红2禺 a hzxz=u.id b)_ b沿腰曲线ly=x移动，也得得到此曲面.z = 03.1.2直纹面的其他特殊性质除了前面提到的二次直纹面的基木性质外，直纹面还有以下几种特殊性质z. 定理3.1若直纹面的导线是球面曲线11该导线上一点的切向量与对应直母线上向量垂直，那么直母线上单位向量的终点的向径在该点切向量上的

37、投影是常量.定理3.2如果在定理3.1中选取直纹面的导线为腰曲线，那么腰曲线上对应点的 主法向量与直母线上的单位向量正交.定理3.3在定理3.1的假设下，若选取导线为腰曲线，那么位于腰曲线上某点的 切向量与过该点的直母线的切向量的终点的向径在此切向量上的投影是常量.下面分别对以上三个定理加以证明.证设直纹而的导线曲线为s :a = a(u)("为参数)，直母线上的单位向量为/? = /?(«) ( u 为参数).因为该导线上一点的切向量与直母线上向量垂直，所以f = a'(u)b(u) = 0., 对(1)式求导得°"(“)方(”)+ af(u)

38、bf(u) = 0,即-a"(u)b(u) = af(u)br(u). 又因为a(u)af(u) = 09对求导得af(u)ar(u) + a(u)aff(u) = 0,即a(u)an(u) = -af(u)af(u).由(4)式减(2)式得(a(u) + b(u)d"(u) = (</(“) +z/(u)q©) 移项得(a(“) + b(u)an(u) + (q'(u) + bf(u)au) = 0. 积分得(a(u) + b(u)axu)=常数.即(b(u) + a(uy)af(u)=常数.由此证明了定理3.1的结论.(1)若在该直纹面上选取的导

39、线为腰曲线，则rt!(2)式可得ci"(u)b(u) = 0.于是得出定理3.2的结论.对(5)式求导得)/(“) + ar(u)bn(u) = 0,即d"(m0(u) = -g'(u )/?"(“).(6)由(4)式加(6)式可得(a(u) + b'(u)a"(u) = -(ar(u) + b,f(u)ar(u),移项得(a(u) + /(%)/(%) + (ar(u) + bn(u)au) = 0,积分得(a(w) + bu)au)=常数.于是，定理3.3得证.3.2可展直纹面直纹而分为可展曲而和不可展曲而，下而主要给岀判断直纹而是可

40、展曲而的充要 条件.定义3.1由一条曲线的切线所生成的直纹而称为切线曲而，表示为fr(w, v) = a(u) + va (%, )特别地，当u为弧氏参数时a (w) = tz(w),即r(w,v) = a(u)-va(u).定义3.2,21设直纹面为r(w,v) = a(w) + /?(w),当该直纹面的导线a(u)和直母线上 的方向向量b(u)满足关系式(d(u),b(u),/?(“) = 0时，称该直纹面为可展曲面.判断直纹面r(u,v) = a(u) + b(u)是可展曲而的充要条件冇以下几种,3-,4j.(1) 直纹面 r(w, v) = a(u) + b(u)是可展曲面 o (a

41、(w),b(w),b (u) = 0.(2) 直纹面r(w,v) = tz(w)+ /?(«)是可展曲面o曲面上任一点的高斯曲率都为零.(3) 直纹面也°)二火)+也)是可展曲面o它上面的直母线®线)是曲率线.(4) 直纹而r(w, v) = d(u) + h(u)是可展曲而o或者曲而s是柱而，或者s是锥面, 或者s是某一条曲线的切线曲而.可展曲面只有一组直母线，而只有一族直母线的直纹面不一定是可展曲面.定理3.4 个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面.证 设直纹面为心,”) = d(u) +必(%),取为直母线的单位向量，a(u)为直纹 而的导线

42、，在此选择腰曲线为导线则由可展曲而的充要条件s,b,bt，可分下列 三种情况对上述定理展开证明.(1) 当川=0时，可得d(u)二常向量，这表示腰曲线退化为一点，换言之，各条 直母线上的腰点都重合为一点.我们得到的曲面是以该腰点为顶点的锥面.(2) 当 q'ho 时，由(a',b,b') = o,得 </=(),又 |b| = l, b 垂直/,所以 a1 lib, 因此口 j得，该可展曲面为切于腰曲线的切线曲面.(3) 当z/(“) = 0时,可得也)二常向量,既得此时的可展曲面为柱面. 综上叮得以上定理.结 论从木文介绍的曲面屮可以看到，一些曲面可以按照某种规律运动所生成，即直纹 面在导出这种由曲线运动所产生的曲面方程吋，它们的方法是统一的.即先写出含有 参数的母线组的方程j片(兀,)>,乙,兀|,必，勺)=0,然后消去三个参数，就得所要求的方程.对于如何判定一个二次曲面是否是直纹面，在木文中，我们介绍了三种方法：一、根据方程的特点直接