(word完整版)八年级数学上册几何添辅助线专题

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。1总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 三角形中两中点，连接则成中位线。1.等腰三角形“三线合一”法：2倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为 6

2、0 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之

3、间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交， 形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截 取二点，然后从这两点再向角平分

4、线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （“希望杯”

5、试题）已知，如图 ABC 中，AB=5,AC=3 则中线 AD 的取值范围是也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。2解：延长 AD 至 E 使 AE= 2AD,连 BE,由三角形性质知BD CAB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD43/ ADB=Z ADC丄 ACD=/ ADC+ZGDC=ZADG故厶 ADBAADG 故有/ BADZDAG 即 AD 平分/ BAE、截长补短BQ

6、分别是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计算数值法）延长 AB 至 D,使 BD- BP,连 DP 在等腰BPD 中，可得ZBDP= 40例 2、如图， ABC 中，E、F 分别在 AB AC 上，DEI DF, D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法）延长 FD 至G 使 FG= 2EF,连 BQ EG,显然 BG= FC,EG= EFEGBG+BE在厶 BEG 中，由三角形性质知在厶 EFG 中，注意到 DEI DF,故：EF BA,AD= CD BD 平分ABC,求证：A C 1800解：（补短法）延

7、长 BA 至 F,使 BF= BC 连 FDBDFABDC（ SAS故/ DFB=/ DCB , FD= DC 又 AD= CD故在等腰厶 BFD 中/ DFB=/ DAF故有/ BAD/ BCD= 180C5、如图在 ABC 中，AB AC / 1 = / 2, P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC PB-PC解：（补短法）延长 AC 至 F,使 AF= AB 连 PDABPAAFP （ SAS故 BP= PF由三角形性质知PA PC= PF PC PA.5解：（镜面反射法）延长 BA 至 F,使 AF= AC,连 FEABC 的角平分线,MN 丄 AD知/ FAE=ZCAE故有FAE

8、ACAE( SAS故 EF= CE在厶 BEF 中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60度,则/BAC+/BCA=120度；从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACBBC=例 2 如图，在 ABC 的边上取两点 D E,且 BD=CE 求证：AB+AOAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.AD,CE均为角平分线，则/OAC+/OCA=60度=/AOE=/COD;/AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;/OAE=/OAF.则/OAE也OAF(SAS),OE=OF

9、;AE=AF;/AOF=/AOE=60度.贝U/COF=/AOC-/AOF=60度=ZCOD;又CO=CO;/OCD=/OCF.故/OCDAOCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC 中，AD 平分/CBAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E,DF 丄 AC 于F.（1）说明 BE=CF 勺理由；（2）如果 AB=a, AC=b，求 AE、BE 的长.BD=CE, DM=EM,DMN EMA(SAS), DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,贝U BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PA

10、PN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AEO四、借助角平分线造全等1 如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60,AABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O,求证：OE=OD解：（垂直平分线联结线段两端）连接 BD, DCDG 垂直平分 BC 故 B DC由于 AD 平分/ BAC DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F ,故有ED- DF故 RT DBE RT DFC ( HL)FDC+AE =AC故有 BE=CFOAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP 是/ MON 的平分线,请你利用该图形画一对以 0P

11、所在直线为对称轴的全等 三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：6（1）如图，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60 , AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而 中的其它条件不变，请问，你（方法二）过A作AE1 BC于E（过程略）（方法三）取BC中点E,连结AE（过程略） 有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC中，AB = AC,D为BC丄AB于E,DF丄AC于F,求证：DE = DF证明：连结AD.D为BC中点，BD

12、 = CD又AB =ACAD平分/BAC在 （1） 中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明;F解:（ 1）（2）答:证法一：作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC,BCLAC于D,求证：/BAC = 2/DBC1证明：（方法一）作/BAC的平分线AE,交BC于E,则/1 =/2 = - / BAC（第 23 题图）FE 与 FD 之间的数量关系为FE FD（1）中的结论FE FD仍然成立。如图 1,在 AC 上截取AG AE，连结 FG2，AF 为公共边，又AB = ACAE1 BC/2+/ACB = 90 BDL AC/DB(+/ACB = 90/2 =/DBC/

13、BAC = 2/DBC证法二:可得如图 2,过点 F 分别作60, AD、CE 分别是23 60, F 是vDEL AB DF丄ACDE = DFGEF 601,FH又HDF B 1GEF HDF可证EGF DHFBC于点 HFGBAC、图2AB于点 G ,FHBCA的平分线FE FD将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC中，AB = AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF, 求证：EFLBC证明：延长BE至U N,使AN= AB,连结CNJ则AB= AN= AC/B =/ACB,/ACN =/ANCv/B+/ACB/ACF+/ANC = 1802/BCAb

14、 2/ACN = 180有等腰三角形时常用的辅助线AEF AGF中点，DEAFE AFG,FE FG B 60, AD、CE 分别是BAC、-23 60-AFE CFDAFG60CFG 6034 及 FC 为公共边CFG CFDFG FDFE FD图17证明：(证法一)过点E作EF/ BC交AB于F,则ZAFE =ZBZAEF =ZC AB = ACZB =ZCZAFE =ZAEF AD = AEZAED =ZADE又vZAFEZAEF+ZAEDZADE = 1802ZAEF+2ZAED = 90即ZFED = 90DELFE常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC中,

15、AB = AC，D在AB上,E在AC延长线上，且BD =CE连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：(证法一)过D作DN/ZDNB =ZACBZNDE =ZE， AB = AC，ZB =ZACBZB =ZDNBBD = DN又BD =CEDN = EC在厶DNFAECF中Z1 =Z2ZNDF =ZEDN = ECDNFAECFDF = EF（证法二）过E作EM/ AB交BC延长线于M,则ZEMB = B（过程略） 常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC中,AB=AC E在AC上,D在BA延长线上，且AD= AE,连结DE求证：DEL BC又vEF/ BCDEL BC（证法

16、二）过点D作DN/ BC交CA的延长线于N,（过程略） （证法三）过点A作AM/ BC交DE于M（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC中,AB = AC，ZBAC = 80,P为形内一点，若ZPBC =10ZPCB = 30求ZPAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则ZBAE =ZABE = 60AE = AB = BEvAB = ACAE = ACZABC =ZACBZAEC =ZACEvZEAC =ZBAC-ZBAE =8060 = 201 ZACE= (180-ZEAC)=80vZ1ACB= - (180ZBAC)= 50ZBC

17、E =ZACE-ZACB=8050= 30vZPCB = 30ZPCB =ZBCE/BCAZACN = 90即/BCN = 90 NCL BC AE = AF/AEF =/AFE又/BAC =/AEF+ZAFE/BAC =/ACN+ZANC:丄BAC =2/ AEF = 2ZANCZAEF =ZANC EF/ NCEFBCEE8PBCAEBCBP = BEvAB = BEAB = BPZBAP =ZBPAvZABP =ZABC-ZPBC = 50-10= 401 ZPAB = -(180ZABP)= 70解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形BCE连结AE

18、,则EB = EC = BC,ZBEC =ZEBC = 60vEB = ECE在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上EA所在的直线是BC的中垂线EA1BC1ZAEB =- ZBEC = 30=ZPCB2由解法一知：ZABC = 50ZABE =ZEBC-ZABC = 10=ZPBCvZABE =ZPBC,BE = BC,ZAEB=ZPCBABEAPBCAB = BP/BAP =ZBPAvZABP =ZABC-ZPBC = 5010= 401 1 ZPAB = - (180ZABP) = -(18040)= 70解：连结 CDvZECD+ ZBDC=ZB+ ZE=180 ZBOE=180 ZCOD ZA+ ZB+ ZACE+ ZADB+ZE=ZA+ ZECD+ ZBDC+ZACE+ ZADB=ZA+(ZECD+ZACE) + (ZBDC+ZADB)=ZA+ ZACD+ZADC=180 2. 如图，已知在厶 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线, 交AC 于 F。求证：AF=EF。解： 延长 AD 至 G，使 DG=AD，连结 BGvBD=DC，ZBDG=ZAD