李之藻对方程解法问题的研究

1、李之藻对方程解法问题的研究潘亦宁(四川师范大学数学与软件科学学院，成都，610068)摘要：明清z际西方数学开始传入中国，李z藻编纂同文算指，试图会通中西数学。文章分析了李z 藻对二项二次方程、一般二次方程以及高次方程解法的研究，指出二项二次方程是以传统数学的表述方式 描述西方数学的方程解法，一般二次方程以西方笔算演绎传统数学中的方程解法，高次方程解法则直接来 自西方数学。从方程解法的分析发现同文算指是李之藻试图会通中西数学的一部数学著作。关键词：数学史；李之藻；方程解法 中图分类号：0112li zhizao's research on the equation solutionpa

2、n yining(mathematics & software institute, sichuan normal university, chengdu 61(x)68)abstract: in this paper, the author studied li zhizao's research on equation solution and points out thatli zhizao wrote the western quadratic equation solution with chinese way, and wrote chinese quadratic

3、 equation solution with western written calculations the numerical solution for higher degree equation came from the western mathematics book li zhizao studied the western and chinese equation solution and tried to merging them.key words: history of mathematics; li zhizao; equation solution0引言明清之际，西

4、方数学传入中国，这时中国学者开始致力于中西数学的融合，同文算指 正是在这种背景下由李之藻(1565-1630)和利玛窦(matteo ricci, 1552-1610)合作完成的。一般 认为同文算指主要是一部翻译作品，大部分内容来自德国数学大师丁先(christoph clavius, 1535-1612)的实用算术概论(epitome arithmeticcie practicae),同时也参考了一些 传统的数学著作mi。事实上，同文算指并不仅仅是一部翻译的作品，其资料來源也不 限于以上两部著作，而是具有更多的中西数学来源。方程解法在中国传统数学中是一项十分 重要的内容，同文算指中也重点介绍

5、的方程解法问题，给出了二次方程三次方程和高次 方程的解法。虽然同文算指的资料来源包括中西各种数学著作zi,但李之藻却柔和中 西，以会通的方式分析说明各种方程解法。1二项二次方程解法同文算指中二项二次和三次方程解法来自丁先生实用算术概论的拉丁文译木， 但是李之藻改变了其表述方式，采用了传统数学的一些概念，如“方法”、“廉法”、“隅 法”等名词明。这些概念由刘徽在九章算术注中首先使用，后来便在传统数学中流传下 来，直至清代仍在使用。在运算的过程中，同文算指釆用了当时西方流行的帆船法(galley method),但是作了一些细微的改动。帆船法在运算时将消掉的数字用斜线划掉，而同文 算指中则用语言描

6、述代替，如“四上一变五”，就是首段21减初商4的平方16余5,所 以将数字1改写为5.帆船法是15世纪时西方笔算中通行的一种书写方法，为众多数学家所 基金项hh基金项hh高等学校博士学科点专项科研妹金资助项h(20105134120001)作者简介:潘亦宁(1977-),男,副教授，主要研究方向:明清数学st. e-mail: panyining77 采用。1494年意大利著名数学家luca pcioli(14451517)在他的代表作summa de artlvnetica, geoinetria, proportioni elproportionalita中给出6,直到16世纪，这种表示方

7、法才逐渐由现 在的表示方法代替。1.1 方程根位数的确定方法求解方程的第一步通常是确定商的位数。同文算指屮采用隔位作点法来确定商的位2117840 4数。例如解二次方程时，从末位起，每隔一位在数字下点一点作记号，即 ，解 2117840 4三次方程时，则从末位起，每隔两位在数字下点一点作记号，即 . gemma frisius(1508-1555), l. schoner(1586), peletier (1549), santa-cruz (1594)和 metius (1625)等人都曾使 用这种记法；不过 grammateus (1518), scheubel (1545), hartw

8、ell (1646), wiklens (1630)以及 greenwood (1729)等人是在数字上面做点來确定商的位数，如82 4 46 4 :此外还有其它表示 的方法,如 ortega 以冒号表示,即 13: 01： 76： 64:；而 chuquet (1484), pellos (1492), fine (1530)和trenchant (1566)等人则以竖线表示,如94121180173155 w实上，上述记法的原理 都是相同的，只是表示形式稍有差杲而已。传统数学也有类似的表示方法，梅文鼎在少广 拾遗中说，“鼎于三十年前见同文算指作点之法，惊叹其奇，后读诸书，始知其有所 祖述，

9、非西人创也。梅氏认为此法是中国人创造，而非西人，虽未必正确，却也指出了中 西数学的类似z处。九章算术少广章“开方术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。” “开立方术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。”此法显然与西方隔位作点法原理相同， 差别仅在于中算用筹，而西算用笔而已。1.2 估计次商的方法确定商的位数后，根据首段数字估计初商，然后求下一位商，以此循环进行，直至常数 为零。在这一步骤中，最重要的是次商的求法。以三次方程为例，其原理即，设a>0, x丿为 根的第一位得数，方程a=a经过变换x = x/ + x2 ，成为3xi莎+转兀卞x =a x 13x2 =ar”为常数项，当&quo

10、t;很小时，心h如可以忽略不计，则3劝，重复上述步骤，依次可以得到三商、四商。传统数学在解方程时，没有求次商的统一方法，通常是用“议得"，即分析试验的方法 求得。九章算术“少广偉中开平方、开立方以及贾宪“增乘开方法”都是用“议得” 的方法试出次商。秦九韶数书九章屮求次商时曾用“以方约实”的方法求次商冈。“以 方约实”就是以一次项系数除余实，得数取整，作为次商。由于传统数学中没有明确的等式 概念，所以次商的求法也不可能以代数的方法得到，只能从几何直观的方法中归纳出来。如 图1,初商的立方是a正方体的体积，实减初商的立方后所剩部分称为“余实"，包括b、 c和d三部分。b由三个长

11、方体组，长方体称为“方”；c由三个长方柱体组成，柱休称为 “廉”；d是一个正方体，称为“隅二若忽略隅和廉的体积，以余实近似等于三倍方的体a-xi3x2 二!积，则次商3x12件由此可见，同文算指中方程解法的次商求法，显然来自传统数学。a图1次商求解几何图无整数根方程解法对于没有整数根的方程,令67 < x < 6z +1 ,则原式商同文算指中也给出了具体的解法。设二次方程x = a , a后，得变式it + 2ax + q =才(即兀+ ax = a - a ).如果a - d2a-(12q+ 一cl _<1以 2a+ 1表示方程的近似解，因为 2a + 1，则方程的第一个近

12、似解a - a2打二 a +”x2 xi + 一 2a+1 ,第二个近似解a -x12个近似解a x22x3 二 x2 +2x2 + 1 - (%2 - a)(1);如果以2a表示方程的解，因为a-a2x<a 2a阳二d +则方程的第一个近似解2a ,第二个近似解a -112x2 = x1 +2x1第三个近似解a -x22x3 = x2 +2x2(2)。事实上，上述的两种方法分别表示两个迭代公式，当求得方程的 一个整数解后，根据不同情况代入(1)或者(2),得出一个近似的值，再将这个值代入公式，然后可以得到一个更近似的值，这样一直重复直到得出满意的近似值为止。例如：x=20 ,4 20

13、85、8,8/ 4 161x2=4+f7t7 寻4 心 t7+l/74x-4+ m9 ,1292?. 7485389i )=19 27377491169.若耍更接近原数，可依上面公式继续进行。在传统数学中，很早就有求没有整数根的二次方程的解法。在刘徽以前，有人以2737 ,而a - a2fl + 2a+1表示方程x2 = a的近似解。刘徽认为这是十分不准确的，于是提出了求微数的 方法。他在开方术注中说：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子， 其一退以十为母，其再退以百为母。退z弥下，其分弥细，则朱幕虽有所弃z数，不足言之 也。”所谓求微数，实际上就是求无理根的十进分数近似值。

14、求出根的整数部分之后，继续23前面的程序，以10,10,10, ,10“为分母，一次退位开方，直到不可开部分可以忽略不计。 刘徽此法与同文算指中开平方奇零法有相似之处，但是其本质是不同的。开平方奇零法 利用加借算或者不加借算的近似公式，以迭代的方法继续求方程的近似解，刘徽则是在方程 的常数项后面加小数点然后再加零，而开方的程序却不变，此法后来被秦九韶进一步发展100 1101。2 一般二次方程解法同文算指和神道大编历宗算会中-般二次方程解法类型及所采用题目，甚至题 冃的编排顺序均完全相同。虽然两者之间的个别题冃或有差异，但是绝大多数仍然和同。不 仅如此，此二者所用方法也相同，以“带从开平方中题

15、目为例：105同文算指神道人编历宗算会阔几步?假如有直iti积八百六十四步，阔不及长一十 直fi积八百六十四步，阔不及长一十二步，求二步，求阔几步?列实定位，以带从一二随首位列乙，初商二 纪格右，亦列首点下，以并带从一，共三， 乃变壹贰注三，相呼二三除六，三上捌变二, 二二除四，贰上陆变二，完首段，余实二百四二c甲四贰六图商附置积方法从方隅算开i i i方川川川h 问 _一 _一 _= 一 续二薪 i图商隅置积方法从方隅算二十四步，次倍二作四为廉法，挨退位，下 亦列带从以廉四并从一，其下列五，次商四 纪格右，亦注末位点下为隅法，以并隅，二 下注六，乃相呼除，先呼五四除二十，进抹 二，又呼四六二

16、十四，恰尽，得阔二十四步。置积为实，以不及为从方，开平方除之，约实, 初商置阔二十步，于从方之上亦置二十步名曰 方法，以方数从数皆命上商，除实六百四十步 余实，二因方法一退名廉，从法亦一退，隅算 二退，次商置阔四步，以乘隅，于廉后置四步 名隅，以廉从隅三法皆命上商四步，除实尽，得阔二十四步。表1同文算指和神道大编历宗算会方程解法比较表以现代数学语言表示上述例题即为：求解方程x(x+12)=864。其具体步骤分4步：1101)确定商的位数。同文算指用隔位作点确定商的位数，而历宗算会以传统的借算进位定商的位数，这两者本质上是相同的，早在清初时梅文鼎就已经认识 到了这一点。2) 确定初商x，= 2&

17、#176;3)求余实。20 x(20+12) = 640 ,则余实 r = 864 - 640 = 224。1154）求次商。令 x = x +x2 ,则代入原方程，得（%）+x2 ）（xi +%2） +12 = 864 ,（20+ 上）（20 +兀2 ）+12= 864化简为x2 （2 x 20 +12 + 上）=224取次商x2 = 4，代入上式，两边相等，所以方程的解兀=20+ 4 = 24 o显然，上述两题目的不同仅在于笔算与筹篦表示方法上的羞异，所以可以肯定，虽然同 120 文算指通编卷七“积较和相求开平方诸法第十四”和卷八“带从诸变开平方第十五''所给的二次方程解法

18、以西方笔算表示，但所使用的仍然是中国传统数学的方法，是在周述学神 道大编历宗算会卷四“带从开平方''的基础上编写而成的。当李之藻翻译完西方笔算的有 关著作，与徐光启取“|口术”与西法进行比较研究时，所参考的传统数学著作至少包含周述 学的神道大编历宗算会和程大位的算法统宗。1253高次方程解法同文算指中高次方程解法来自德国数学家michael stifel（ 187-1567）的整数算术（arithmeticci integral两者所用的方法也和同，以四乘方（即五次开方法）为例：四乘方假如列实九亿一千六百一十三万二千八百 三十二数，以四乘方开之。寻原六为初商，除 积七亿七千七白

19、六十万，余实一亿三千八白五 十三万二千八百三十二，以求廉法。凡四乘方， 通率叠用四位，为五十、为一千、为一万、为 五万，中列自下而上，以方法（六）对尾位（五 0）列之，乂自乘再乘三乘四乘亦自下而上对列 于左。一三八五玖壹陆拿金贰捌空不七七七六初乘首位左乘得六千四百八十万，以较余 实，约得二之一，以二为廉法，对首位五万列 之，亦自乘再乘三乘自上而下对列。乂四乘得 （三二）为隅法，系于其下，而以首位二数乘 左，乘所得之数计得一亿二千九白六十万。一二九六一£0000 一一0000 一四一八000 a八五0 次商次位左乘得二百一-六万，而以右exemplum de extractione s

20、urdesolida, sit numerus 916132832primo, sub ultimo puncto subtracho 7776, quia nocst maior numerus surdsolidus,qui poslit subtrachi ab hoc puncto 9161 remanet autem 1385, & 6 ponitur in quotientem tancbradix surdesolida de 7776, atcbita absolui punctum ultimumrcstat punctum, 138532832. quiero no

21、uam figuram in quo tientem ponendam hoc modo:1296500002 i b10000361000650multiplico duos superiores inter se, uidelicet 1296 & 50000, facit 64800000, hoc diuisorc inucnio in puncto remanente 2 nouam figuram. sic ergo stabit regula.129650000221 61 0000436100086501 632（四）乘之得八白六十四万。三乘第三位左乘得三万六千，而以右

22、（八） 乘之得二十八万八千。四乘 尾位左乘得三百，而以右（一六）乘 之得四千八百。以上四乘之积并入右廉，四乘 所得隅法三十二，恰尽。hie quatuor multiplicationes hiciunt 138532800, quibus sus peraddo 32, & tunc subtracho a puncto remanente, tunc nihil relinquitur.表2同文算指和整数算术方程解法比较表上例即求解五次方程兀=916132832 ,其方法相同，具体分为一下5个步骤:1）确定商的位数。两者都是用隔位作点的方法来确定商的位数，所不同的是, 同文算指中将

23、点标记在数字下面，而整数算术则将点标记在数字上面。这两者之间并没有本质上的差别，前者在数字下面作点主要是为了与前面的章节 保持一致。2）求初商山=60。3）求余实。60 = 777600000 ,则余实 r = 916132832-777600000= 138532832。4）列二项展开式系数表。即按照前面所给通率表而给出五次方的二项展开式 系数。5）求次商。令x = xl+2 ,则代入原方程，得5432x/ + 5xi x? +l（）xi x22 +10xi x23 + 5xix24 + x25 = 916132832f 60s + 5x 6（）4 x? +10 x 6o.t x22 +10

24、 x 6（）2 x23 + 5x 60x24 + x25 = 916132832化简为 5x &04 xj +10 x 60s x22 +10 x 6o2 x23 + 5x 60x24 + x25 = 138532832 138532832x2 = v s = 2取次商5x6久，代入上式，两边相消为零，所以方程的解x = 60 + 2 = 02 o通过以上的比较分析可以看出，同文算指和整数算术中所用的高次方程数值解 法与传统数学中的方法没有木质上的差别。宋元时期，传统数学中的方程解法发展到高峰， 出现了如“增乘开方法”等，到明清时，很多宋元的方法却己失传。虽然“立成释锁法”和 “开方作法本源图''等内容仍在流传，但是吴敬九章算法比类大全、周述学神道大编 历宗算会以及程大位算法统宗中的“开方作法本源图''均只有五乘方，而朱世杰四 元玉鉴中至七乘方的“开方作法本源图”却已失传，所以这些算书中的高次方程解法没有 超过五乘方（即六次方）的。明嘉靖初年王文索的算学宝鉴中有至七乘方（即八次方） 的方程解法，但是出于种种原因而没有流传开来，李之藻在同文算指中认为“旧法止于 五乘方”，显然是没有见到王文素的著作的。4结论方程解法是传统数学中一项十分重要的内容，李之藻在同文算指屮介绍了各种方程 的求解方法。为了达到会通