直线一级倒立摆系统的PID控制算法设计

1、2013届毕业设计说明书模板题 目院、部：电气与信息工程学院学生姓名：谢远山指导教师：易杰 职称专 业：电气自动化技术班 级：电气1003班完成时间： 013年5月直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。 设计直线一级倒立摆前,首先要应清楚直线一级倒立摆的定义及它的特性，其次用数学 建模的方法建立直线一级倒立摆模型。再次pid控制器的结构与参数设计，将直线一 级倒立摆当作简单的单输入单输出系统（忽略了小车位移的控制），采用了 pid控制 器设计方法进行了控制器结构设计和参数设计。确定pid控制器主要参数kp、ki、kd, 通过改变这三个参数的值,使直线一级倒立摆由

2、开环不稳定系统变为闭环稳定系统。直 线一级倒立摆系统在pid控制器下用matlab进行仿真，通过改变控制器pid主要参数, 使得仿真曲线更接近理论曲线。这些便是直线一级倒立摆系统的p1d控制算法设计的 主要内容。关键词：直线一级倒立摆；mat lab仿真；pid控制abstractinverted pendulum linear 1 -stage stands upside down suspends is composed by the translation module and the level pendulum mass module, is most common stands u

3、pside down suspends one front the design straight line level stands upside down suspends, first must be supposed the clear straight line level to stand upside down the definition and its characteristic which suspends, next stands upside down with mathematics modelling method establishment straight l

4、ine level suspends the model once more the pid controller structure and the parameter design, stood upside down inverted pendulum linear 1 -stage suspends the regard simple single input list output system (to neglect car displacement control), used the pid controller design method to carry on the co

5、ntroller structural design and the parameter design. determined pid controller main parameter kp, ki, kd, through change these three parameters the value, causes the straight line level to stand upside down suspends becomes the closed loop stable system by the split-ring unstable system. inverted pe

6、ndulum linear 1 -stage stands upside down suspends the system to cairy on the simulation under the pid controller with matlab, through the change controller pid main parameter, causes the simulation curve closer theoretical curve.these then are the straight line level stands upside down suspends the

7、 system the pid control algorithm design primary coverage.keywords:inverted pendulum linear； matlab simulation; pid control目录第1章绪论1第2章倒立摆系统22. 1 系统的组成32. 1. 1倒立摆本体32. 1.2电控箱42. 1. 3 电机42. 1.4编码器42. 1. 5控制卡52.2系统使用说明52. 2.1直线一级摆硬件操作系统52. 2. 2 一级摆软件操作说明5第3章 自动控制及matlab软件介绍 73. 1 自动控制概念73.2 自动控制系统的类型83

8、. 2. 1随机系统与自动调整系统83. 2. 2线性系统和非线性系统93. 2. 3连续系统和离散系统93. 2.4单输入单输岀系统和多输入多输岀系统93. 2.5确定系统与不确定系统93. 2.6集中参数系统和分布参数系统93.3 自动控制理论概要103. 3.1自动控制系统所要分析的问题103. 3.2自动控制系统的设计问题103.4 matlab实验软件103. 5. 1 matlab的基本介绍113. 5. 2 matlab程序设计基础12第4章pid控制134. 1 pid控制原理134.2数字p1d控制144. 2. 1位置式pid控制算法144. 2.2增量式pid控制算法15

9、4.3常见的pid控制系统154. 3. 1串级pid控制154. 3.2纯滞后系统的大林控制算法164. 3.3纯滞后系统的smith控制算法17第5章直线一级倒立摆的牛顿一欧拉方法建模195.1微分方程的推导195.2传递函数215.3状态方程215.4实际系统模型235.5采用matlab语句形式进行仿真24第6章直线一级倒立摆控制器设计及仿真276. 1 pid参数的调整286.2 ptd控制冋路运行286. 3直线一级倒立摆ptd控制器设计296. 4直线一级倒立摆ptd控制器设计matlab仿真32结论37参考文献38致谢39附录40计算机的诞生和发展给自动控制增添了先进的工具，现

10、代控制理论的发展，又给 自动控制提供了新的理论支柱。经典和现代的控制理论与计算机技术相结合，出现了 新型的计算机控制系统。计算机控制系统从诞生时起，就显现出强劲的发展势头，迅 速地应用到各种自动控制中。特别是在多输入多输岀的参数相互耦合的系统中、数学 模型不易辨识的模糊系统中，得到广泛应用，起到不可取代的作用。多年以来，在过程控制中，按偏差的比例（p）、积分（i）和微分（d）进行控制 的p1d控制器（亦称p1d调节器）是应用最为广泛的一种自动控制器。它具有算法简 单、鲁棒性好、可靠性高、易于实现、适用面广、控制参数相互独立、参数的选定比 较简单等优点。pid控制器是一种最优控制，所以被广泛应用

11、于过程控制中，尤其适 用于可建立精确数学模型的确定性系统。然而实际工业生产过程往往具有汕线性、时 变不确定性，难以建立精确的数学模型，应用常规pid控制器不能达到理想的控制效 果，而且在实际生产现场中，由于受到参数整定方法繁杂的困扰，常规pid控制器参 数往往整定不良、性能欠佳，对运行工况的适应性很差，因此从基本p1d控制器出发, 又衍生了很多智能pid控制，而且近年来有关智能pid控制等新型pid控制理论及 其工程应用，已有很大发展。为了学习pid控制和自动化技术，掌握pid实际应用过 程，了解p1d控制优势，在总结前人多年研究成果的基础上，实现了通过p1d算法对 倒立摆的控制就目前而言，在

12、工业控制领域尤其是控制系统的底层，pid控制算法仍然独霸鳌 头，占领着80%左右的市场份额，当然，这里所说的p1d控制算法不是狭义上的固定 pid,人们在pid控制规律中吸取了其他“高级”的控制规律的优点，出现了诸多的新 颖的控制器如自校正pid、专家自适应pid、预估pid、模糊pid、神经网络pid、非 线性p1d等新型p1d控制器第2章倒立摆系统gip系列倒立摆系统是固高科技有限公司，为全方位满足各类电机拖动和自动控 制课程的教学需要，而研制、开发的实骑教学平台。g1p系列的主导产品由直线运动 型、旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下

13、的特性：非线性：倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统 的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制， 倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。不确定性：主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中，一般通 过减少各种误差，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少 摩擦阻力等不确定因素。耦合性:主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一立摆的各 级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆控制中一般都在平衡 点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。开环不稳定性：倒立摆的稳定状态只有两个，

14、即在垂直向上的状态和垂直向下的 状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。约束限制：由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便 和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的 摆起尤为突岀，容易岀现小车的撞边现象。倒立摆作为典型的快速、多变量，高阶非线形不稳定系统，一直是控制领域研究 的热点。它不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法在一般工 业过程中亦有着广泛的应用。对倒立摆控制系统的研究可归结为非线形多变量绝对不 稳定系统的研究。早期的倒立摆控制律大多采用状态反馈，近年来，随着智能控制理 论的发展，有人开

15、始将模糊控制算法，神经网络用于倒立摆的控制。由于倒立摆是多 变量系统，控制目标多对模糊控制而言，其输入为每个变量的误差，误差的导数，因 此在多变量情况下，模糊控制器规则较多，结构复杂，实现较困难。与之和比，人工 神经网络的最大优点在于它善于对网络参数的自适应学习，具有很好的菲线形逼近特 性和泛化能力。利用前馈网络的误差反向传播算法，在多变量情况下具有精度高、实 现快，算法简单，鲁棒性好等优点，能很好的满足系统的控制要求。2. 1系统的组成一直线运动倒立摆的基本模块为肓线运动控制模块，该模块由交流/直流伺服电机驱 动滑动小车沿直线轴承滑动，完成定位控制和速度跟踪的任务。在滑动小车上，加装 一个单

16、摆系统，构成经典的控制教学产品：单节倒立摆系统，可完成各类控制课程的 教学实验，让学生具有一个可供实验验证的平台。倒里摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通pc机组成的控制平 台等三大部分。系统组成框图如图2.1所示：图2. 1倒立摆系统框图2.1.1倒立摆本体小车由电机通过同步带驱动，在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移），如图2. 2所示：4筲图2. 2直线倒立摆本体2.1.2电控箱图2. 3电气控制箱电控箱内安装有如下主要部件: 交流伺服驱动器t/0接口板开关电源开关、指示灯等电气元件2.1.3电机倒立摆使用的电机，是由

17、日本松下公司提供的小型小惯量电机（msma系列,200w）o 电机配有专门的驱动器。2.1.4编码器倒立摆系统使用的是光电编码器，其工作原理是：利用一块特制的光栅板作为位 移检测元件，光栅板上方格之间的距离为0.5mm左右。编码器内部有一个发光元件和 两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在编码器下面的光 栅板上，再反射冋编码器器内。当在光栅板上转动编码器时，由于光栅板上明暗相间 的条纹反射光有强弱变化，编码器内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进 行计数即可测出移动的距离。2.1.5控制卡倒立摆还使用了由固高提供的控制卡，型号是gt-400-sv卡。sv卡的特点是输

18、出 类型可以是模拟量或者是脉冲量，它还采用了 ph）滤波器，外加速度和加速度前馈。 通过调节，设置合适的参数，可提高控制系统的速度和精度。2.2系统使用说明2. 2.1直线一级摆硬件操作步骤 将小车推到正中位置。 使摆杆处于自由下垂的静止状态。 将电脑与电控箱上电。 进入演示和实验软件的安装目录，键入pend启动程序。 键入s时会出现一个提示对话框，如果没有问题，按tab键将 选中“确认” 按钮，然后按回车打开伺服，否则直接按回车或esc键取消操作。 键入t开始起摆。 进入平衡位置后，按一或一左右移动小车。 按t停止伺服。 按alt+x退岀程序。 关闭电脑与控制箱电源。系统操作时，得严格按照上

19、述操作步骤进行，任何不止确的操作步骤，都可能导 致倒立摆不能正确起摆和平衡，并有可能导致小车撞击两端。如果小车撞击了摆的两 端，而且不能回到中间位置，请关闭电控箱电源，退出程序到dos状态。然后把摆推 到中间位置，重新给电控箱上电，最后键入pend,重新开始操作。2. 2. 2 一级摆软件操作说明 键入pend并回车后，出现主界面。 按c键转换为仿真界面，再按c键在两种模式z间转换。 控制算法选择：键入alt+f弹出菜单，用上下光标键选择不同的算法，然后按回车键。弹出对话 框：输入matlab仿真得出的数据，按回车保存参数并按新的算法进行控制，同时保 存5秒钟的响应曲线。按esc或用tab健将

20、焦点移到取消按钮上，再按回车，将取 消刚才所作的改动。在系统中，倒立摆平衡的默认控制算法为lqr。当系统采用lqr算法进入平衡状 态后，可采用上面的方法将平衡控制算法切换到ptd或传递函数法，由此你可以观察 不同的控制算法对倒立摆平衡的控制效果。由于ptd和传递函数法都无法控制小车的 位置，因此，在切换后都有可能引起小车随机向一个方向移动。此时你可以用手沿小 车运动的反方向碰一下小车，让小车停下来。 设置信号发生器：键入alt+u,弹出菜单，选择输入信号栏，按冋车键，弹出对话框。输入波形代码、频率，幅值，按确认保存并退岀，按取消不保存退岀(波形代码: 0无信号、5脉冲、6阶跃、7方波、8正弦、

21、9锯齿)。输入信号后，程序会记录五秒钟的响应曲线，选择小车响应或摆杆响应，岀现对 话框。输入文件名，例如pend,按确认，保存该文件到当前目录下，比如是c:pendo 到mat lab中运行如下指令:s=load( c: pendpend, )plot (s)matlab会将保存的曲 线重新绘制岀来。 观察和输岀响应曲线。 放人或缩小曲线幅值：实时曲线界面中用四条不同颜色的线绘制角度，角速度，位移，速度的离散值， 其中每个变量的单位又可以放大和缩小，分别定义如下：fl (f5)放大(缩小)摆杆角度f2 (f6)放大(缩小)摆杆角速度f3 (f7)放大(缩小)小车位移f4 (f8)放大(缩小)小

22、车速度每次按键放大或缩小2倍坐标单位 其它键盘输入：a. 按s键打开伺服，b. 按f键起摆，c. 按 或键左右移动小车，d. 按t键冋到零位，并关闭伺服，e. 按空格键，紧急停车。第3章自动控制及matlab软件介绍3.1自动控制概念所谓自动控制，就是采用控制装置使被控对象（如机器、设备的运转或生产过程 的进行）自动的按照给定的规律运行，使被控对象的一个或数个物理量（如电压、电 流、速度、位置、温度、流量、浓度、化学成分等）能够在一定的精确度范围内按照 给定的规律变化。为达到某一目的，由和互制约的各个部分，按一定的规律组织成的，具有一定功 能的整体，称为系统，它一般由控制装置（控制器）和被控对

23、象所组成。自动控制有两种最基本的形式，即开环控制和闭环控制。开环控制是一种最简单的控制形式，其特点是：在控制器与被控对象之间只有正 向控制作用而没有反馈控制作用。即系统的输岀量对控制量没有影响，示意框图如图 3. 1所刀*图3.1开环控制系统在开环控制系统中，对于每一个输入参考量，就有一个与之相对应的工作状态和 输出量，系统的精度取决于元器件的精度和特性调整的精度，当系统的内扰和外扰影 响不大并且控制精度要求不高时，可采用开环控制方式。闭环控制的特点是:在控制器和被控对象之间，不仅存在着止向作用，而且存在反 馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响，将检测出来的输岀量送回到系统的输入 端，并与

24、信号比较的过程称为反馈，若反馈信号与输入信号相减，则称负反馈。反之， 若相加，则称止反馈，输入信号与反馈信号之差称为偏差信号，偏差信号作用于控制 器上，控制器对偏差信号进行某种运算，产生一个控制作用，使系统的输岀量趋向于给 定数值，闭环的实质就是利用负反馈的作用来减小系统的误差，因此闭环控制又称为反 馈控制，其示意图如图3. 2所示：输入览： 控制器 控制被控对彖 鈕逼测肚元件图3. 2闭环控制系统反馈控制是一种基本的控制规律，它具有自动修正被控量偏离给定值的作用，使 系统因而可以抑制内扰和外扰所引起的误差，达到自动控制的目的。开环控制是一种简单的无反馈控制方式，在开环控制系统中只存在控制器对

25、被控 量对象的单方向控制作用，不存在被控制量（输出量）对被控量的反向作用，系统的精 度取决于组成系统的元器件的精度和特性调整的精确度开环系统对外扰及内部参量 变化的影响缺乏抑制能力,但开环系统内构简单，比较容易设计和调整，可用于输出量 与输入量关系为已知，内外扰动对系统影响不大，并口控制精度要求不高的场合。闭环控制是一种反馈控制，在控制过程中对被控量（输出量）不断测量，并将其反 馈到输入端与给定值（参考输入量）比较。利用放大后的偏差信号产生控制作用。因此, 有可能部分采用相对来说精度不高，成本较底的元器件组成控制精度较高的闭环控制 系统，闭环控制系统精度在很大程度上由形成反馈的测量元器件的精度

26、决定。在此， 闭环系统具有开环系统无可比拟的优点，故应用极广，但与此同吋，反馈的引入使本 来稳定运行的开环系统可能出现强烈的振荡，其至不稳定，这是采用反馈控制构成的 闭环控制吋需要注意解决的问题。3.2自动控制系统的类型根据不同的分类方法，自动控制系统的类型可概括如下：3. 2.1随机系统与自动调整系统随机系统又称伺服系统或跟踪系统。其特点是在输入量总是在频繁地或缓慢地变 化，要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。自动调整系统又称恒值调节系统（或调节器系统），其特点是输入保持为常量或整 定后相对保持常量，而系统任务是尽量排除扰动的影响，以一定准确度将输出量保持 在希望数值上。3.

27、 2. 2线性系统和非线性系统组成系统的元器件的特性均为线性（或基本线性），能够用线性常微分方程描述其 输入与输出关系的称为线性系统，特点是具有齐次和叠加性，系统响应吋间的特征与 初始状态无关。在组成系统的元器件中只要有一个元器件的特性不能用线性方程描述，即为非线 性系统，描述非线性系统的常微分方程中，输出量及各阶导数不完全是一次的，或者 有的输出量导数项的系数是输入量的函数，系统的时间响应特性与初始状态有极大的 关系。3. 2. 3连续系统与离散系统连续系统各部分的输入和输岀信号都是连续函数的模拟量。离散系统是指某一处或者数处的信号以脉冲或数码的形式传递的系统。一般说来，同样是反馈控制系统，

28、但数字控制精度（尤其是控制的稳态准确度） 高于连续控制。因为数码形式的控制信号远比模拟控制信号的抗干扰能力强。描述连续控制系统用微分方程，而描述离散控制系统则用差分方程。3. 2.4单输入单输出系统和多输入多输出系统单输入单输出系统亦称单变量系统，其输入量和输出量各为一个，系统结构较为 简单。多输入多输出系统亦称为多变系统，其输入量和输出量为多个，系统结构较为复 杂，回路也多，一个输入量对数个输出量都有控制作用。3. 2. 5确定系统与不确定系统若系统的结构和参数是确定的、已知的，系统的输入信号（它包括参考输入及扰 动）也是确定的，可用解析式或图表确切表示。当系统本身或作用于该系统的输入信号不

29、确定时称为不确定系统。3. 2. 6集中参数系统和分布参数系统能用常微分方程描述的系统称为集中参数系统，系统中的参量或是定常的或是时 间的函数，可以用时间作为变量的常微分方程描述其运动规律。不能用常微分方程，而需用偏微分方程描述的系统描述的系统称为分布参数系统, 系统的输出将不单纯是吋间变量的函数，而口还是系统内部状态变量的函数，所需偏 微分方程描述系统。3.3自动控制理论概要3.3.1自动控制系统所需要分析的问题稳定性 稳定是任一自动控制系统能否实际应用的必要条件，自动控制理论至 少应给岀判断系统稳定性的方法，并应指出稳定性与系统的结构（或称控制规律）及 参量间的关系。稳态响应 稳态情况下，

30、控制的准确度往往是自动控制系统的一个重要性能指标, 自动控制理论应给出计算系统稳态响应的方法。并且指岀控制规律及参量与稳态响应 间的关系。暂态响应对于经常处于暂态过程，或对暂态响应有一定要求的自动控制系统， 此问题较为重要，自动控制理论需要研究系统的控制规律及参量与暂态响应的关系， 并且能提供简捷（但可能是不很精确）的估算暂态响应的方法。3. 3.2自动控制系统的设计问题为分析自动控制系统提供理论依据和方法固为重要，但更重要的是寻求建造一个 符合要求的控制系统的思路和方法，或者说是有关设计的理论和方法。当给定一个被控对象的数学模型，一组要求的性能指标时，希望有一种简洁的方 法去解决以下问题：确

31、定出一种合适的（也就是一定条件下最优）的控制规律及相应的参量。不需要 求助于方程的解，能从系统的数学模型近视的估计系统的领域响应。若结果不能令人 满意，应能指明改善系统性能的途径。能为控制系统的计算机辅助设计或仿真创造条 件。3. 4 matlab实验软件3.4. 1 matlab的基本介绍matlab （matrix laboratory）具有用法简易、可灵活运用、程式结构强乂兼具延 展性。以下为其几个特色： 功能强的数值运算：在matlab环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用，函 数的标示自然，使得问题和解答像数学式子一般简单明了，让使用者可全力发挥在解 题方面，而

32、非浪费在电脑操作上。 先进的资料视觉化功能：matlab的物件导向图形架构讣使用者可执行视觉数据 分，并制作高品质的图形，完成科学性或工程性图文并茂的文章。 高阶但简单的程式环境：作为一种直译式的程式语言，matlab容许使用者在短 吋间内写完程式，所花的吋间约为用fortran或c的几分之一，而且不需要编译 （comp订e）及联结（link）即能执行，同吋包含了更多及更容易使用的内建功能。 开放及可延伸的架构：matlab容许使用者接触它大多数的数学原使码，检视运 算法，更改现存函数，其至加入自己的函数使matlab成为使用者所须要的环境。 丰富的程式工具箱：matlab的程式工具箱融合了套

33、装前软体的优点，与一个灵 活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提供了使用者在特别应用领域所需之许多函 数。现有工具箱有：符号运算（利用maple v的计算核心执行）、影像处理、统计分 析、讯号处理、神经网路、模拟分析、控制系统、即时控制、系统确认、强建控 制、 弧线分析、最佳化、模糊逻辑、nrn分析及合成、化学计量分析。matlab有几种在不同电脑作业系统的版本,例如matlab for windows, stmultnk, 在麦金塔 上的matlab for macintch,另外还有在unix上的各种工作站版本。基本 上这些版本主要是提供方便的操作环境，采用图形介面。3.4.2 matla

34、b的程序设计基础matlab的基本语句结构：matlab以复数矩阵作为最基本的运算单元，即可以对它 进行matlab整体处理，也可以对它的元素进行单独处理，最后返回结果，最基本的赋 值语句结构为：变量名列表二表达式。等式右边为表达式的结果。由分号（；）结束，则等式右边的变量将不在屏幕上显示。由逗号或回车，换行结 束，结果在屏幕上显示。matlab的函数调用允许一次返回多个结果，此时等式左边的 变量，其间用空格分隔。matlab的变量操作：向量是matlab中的一个基本单位，以方括号作为分界标识 的一种变量，其间用空格分隔。向量的创建a=l 23456789 ,如果希望从0到20,步距为2的一个

35、向 量:t=0： 2： 20,以上（：）为一运算符，其一般形式为si： s2： s3,其中s1为起始 值，s2为步长，s3为终止值，当不给岀s2时，缺省值为1。向量的加减运算：设a. b为同维向量，则c=a+b或c二a-b。向量的乘除运算：向 量的乘除运算可分为普通积点积和叉积等方式。点积运算的符号是：（*）意义为两 个向量的对应元素的乘法运算。（.八）为向量的乘方运算c=a/'bo向量的除法运算 运 算符为（./）或（）,其意义为两个向量的对应元素进行除法运算。第4章pid控制4.1 pid控制原理在模拟控制系统中,控制器最常用的控制规律是ptd控制。pid控制器除了使系统 的无差度

36、提高以外，还可以使系统增加2个负实零点，所以改善系统的动态性能作用 更突岀。模拟pid控制系统原理框图如图4t所示，系统由模拟ptd控制器和被控对 象组成。图4. 1模拟ptd控制系统原理框图具有比例-积分-微分控制规律的控制器称为ptd控制器，ptd控制器是一种线性 控制器，它根据给定值rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差 error (t)=r in (t)-y out (t)ptd的控制帶律为：(4.1)(4.2)u=心error+ £ error力+心血""也可以写成!传递函数的形kjdt 丿®沪瓷护加其中，比例系数，刁一积分吋间常

37、数；厲一微分吋间常数 简单地说来，pid控制器各校正环节的作用如下：比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号error(t),偏差一旦产生，控制器 立即产生控制作用，以减少偏差。积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分 吋间常数刁，7；越大，积分作用越弱，反之越强。微分环节：反映偏差信号的变化趋势(变化速率)，并能在偏差信号变的太大之前, 在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节吋间。4.2数字pid控制计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。因此， 连续p1d控制算法不能直接使用，需要采用离散化方法。4. 2.

38、1位置式pid控制算法按模拟p1d控制算法，以一系列的采样时刻点kt代表连续时间t,以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，即:心冲 =0,1,2.)kkj error(t)dt = error (jt)=t乞 error(j)°j=0y=0derrort _ error(kt)- error(k 一 1)t)_ errork)- errork 一 1)(4.3)dt可以得到离散p1d表达式:认 k) = kpt «、丁、errork) + 工 errorj+ (error(k)error(k -1)ti 戶 ot=©£"(&

39、#163;)+ kerrorjt + kd "" ；"1) y=0/(4.4)h =#，kd - kptd式中，。t为采样周期，k为采样序号，k=l, 2，error(k-1)和eiror(k)分别为第(kl)和第k时刻所得的偏差信号。位置式pid控制系统如下图4. 2所示:+rin(k) x图4.2位置式pid控制系统上述pid控制算法的缺点是：由于采用全量输出，所以每次输出均与过去的状态 有关，计算时要对error (k)量进行累加，计算机输岀控制量u(k)对应的是执行机构的 实际位置偏差，如果位置传感器出现故障，u(k)可能会出现大幅度的变化。u(k)的大

40、幅度变化会引起执行机构位置的大幅度变化，这种情况是在实际生产中不允许的，在 某些场合还可能造成重人事故。为避免这种情况的发生，可以采用增量式ph)控制算 法。4. 2.2增量式pid控制算法当执行机构需要的是控制量的增量(例如驱动步进电机)时，应采用增量式p1d 控制。根据递推原理可以得到：uk-) = kp errork-)- 吃 errorj+ kderrork- errork -(4.5)增量式plb控制算法：7=0丿“() = kp (errotk) 一 erroik 一 1) + krrork) + kd (erroik - 2erro/k-1) + errotk 一 2) 由于控制

41、算法中不需要累加，控制增量au(k)仅与最近k次的采样有关，所以误动作 时影响小，而且较为容易的通过加权处理获的比较好的控制效果。在计算机控制系统中，pid控制是通过计算机程序来实现的，因此它的灵活性很 大。一些原来在模拟p1d控制器中无法实现的问题，在引入计算机后就可以得到解决, 于是产生了一系列的改进算法，形成非标准的控制算法，以改善系统的品质，满足不 同的控制系统需要。4.3常用的pid控制系统单回路pid控制系统系统中只有一个pid控制器，如图4. 3所示.图4. 3单冋路ptd控制系统4.3.1串级pid控制串级计算机控制系统的典型结构如图4. 4所示，系统中有两个pid控制器，gc

42、2(s)称为副调节传递函数，包围g/s)的内环节称为副冋路。gs)称为主调节器传递函数, 包围gs)的外环称为主冋路。主调节器的输出控制量络作为副冋路的给定量/?2(5)o图4. 4串级控制系统框图串级控制系统的计算顺序是先主冋路(pid1),后副冋路(pid2)。控制方式有两种: 一种是异步采样控制，即主冋路的采样控制周期7；是副冋路采样控制周期3的整数倍。 这是因为一般串级控制系统中主控对象的响应速度慢、副控对象的响应速度快的缘故。 另一种是同步采样控制，即主、副冋路的采样控制周期相同。这吋应根据副冋路选择 采样周期，因为副冋路的受控对象的响应速度较快。串级控制的主要优点： 将干扰加到副冋

43、路中，由副冋路控制对其进行抑制； 副冋路中参数的变化，由副冋路给予控制，对被控量6的影响大为减弱； 副冋路的惯性由副冋路给予调节，因而提高了整个系统的响应速度。副冋路是串级系统设计的关键。副冋路设计的方式有很多种，下面介绍按预期闭环特 性设计副调节器的设计方法。由副冋路框图可得到副冋路闭环系统的传递函数为：(绻建=gc2(z)旳(4.6)sc) 1 + gc2(z)g2(z)可得副调节器控制规律：g (z =出(4.7)丿-加)(1+讥)4. 3. 2纯滞后系统的大林控制算法早在1968年，美国ibm公司的大林(dahlin)就提出了一种不同于常规的pid控制 规律的新型算法，该算法的最大特点

44、是将期望的闭环响应设计成一阶惯性加纯延迟， 然后又反过来得到能满足这种闭环响应的控制器。图4. 5单冋路控制系统框图对于图4. 5所示的单冋路控制系统, 则闭环系统传递函数为./、的”一 g©g“(z)叭 r(z) i+q(z)gp(z)g(j=(z)=10c)5 e(z) g(z)10(z)gc(z)为数字控制器，g/z)为被控对象,(4.8)(4.9)如果能事先设定系统的闭环响应0(z),则可得控制器g(.(z)o大林指出，通常的期望闭环响应是一阶惯性加纯延迟形式,处)恥)其延迟时间等于对象的纯延迟时间丫。(4.10)(4.11)(4.12)式中，7；为闭环系统的时间常数，由此而

45、得到的控制律为大林算法。4. 3. 3纯滞后系统的smith控制算法在工业过程控制中，许多被控对象具有纯滞后的性质，smith (史密特)提出了一种纯滞后补偿模型。其原理为：与p1d控制器并接一补偿环节，该补偿环节称为smith 预估器。带有纯延迟的单回路控制系统如图4. 6所示，其闭环传递函数为: 旅)=也=gc«g(s)厂处丿一丽一 l + gc($)g°(甘其特性方程为/八丿从严1 +乞(册0(可厂=0图4. 6有纯延迟的单冋路控制系统可见，特性方程中出现了纯延迟环节，使系统稳定性降低，如果t足够大，系统 将不稳定，这就是大延迟过程难于控制的本质。而£7之所

46、以在特性方程中岀现，是 由于反馈信号是从系统的a点引出来的。若能将反馈信号从b点引出，则把纯延迟环节移到控制回路的外边，如图4. 7经 过t的延迟吋间后，被调量y将重复x同样的变化。图4. 7改进的有纯延迟的单冋路控制系统由于反馈信号x没有延迟，系统的响应会大大地改善。但在实际系统中，点或是 不存在，或是受物理条件的限制，无法从点引出反馈信号来。针对这种问题，smith提 出采用人造模型的方法，构造如图4. 8所示的控制系统：图4. 8 smith预估控制系统如果模型是精确的，即g°(s) = g«),£ = g，,且不存在负荷扰动(d二0),则 y = ym,e

47、in=y-ym=o,x = xm,则可以用xm代替x作第一条反馈回路,实现将纯延迟 环节移动到控制回路的外边。如果模型是不精确的或是出现负荷扰动，则x就不等于 xm, e/y-y/o,控制精度也就不能令人满意。为此，采用e实现第二条反馈回路。 这就是smith预估器的控制策略。实际上预估模型不是并联在过程上的，而是反向并联在控制器上的，因此，将图4. 7变换可的到smith预估控制系统等效图，如图4. 8所示。显然，smith控制方法的前提是必须确切的知道被控对象的数学模型，在此基础上才能建立精确的预估模型。第5章直线一级倒立摆的牛顿一欧拉方法建模系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验

48、建模就是通过在研究对象上 加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测 的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输岀关系。这里面包括输入信号的设计选 取，输岀信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象 的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一输出 关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。 但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚 体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采 用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆

49、系统的数学模型。5. 1微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦z后，可将直线一级倒立摆系统抽彖成小车和匀质 杆组成的系统，如下图5.1所示：图5. 1直线一级倒立摆系统我们不妨做以下假设：m小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、1摆杆转动轴心到杆质心 的长度、i摆杆惯、f加在小车上的力、x小车位置、（i）摆杆与垂直向上 方向的夹角、8摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。图52是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，n和p为小车与 摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢 量方向定义如图所示，图示方向为欠量正

50、方向。图5.2(a)小车隔离受力图(b)摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：mx=f-bx-n(5.1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 即：n = m -(x 4-1 sin &)n = ini 4- ml0 cos 3 -sin &(5.2)dt2把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：+ m)x + bx + ml0cos 0 - mlo sin & = f(5.3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：2p - mg = m 7 (/ cos &)dt .“(5

51、.4)(5.5)即：p-mg = -mlp sin & mlo cos 0力矩平衡方程：-p/sin & nlcos0 = i0方程中力矩的方向，由于& =龙+ 0, cos 0 = - cos &, sin 0 = - sin 0 ,故等式 前面有负号。合并这两个方程，约去p和n,得到第二个运动方程：(/ + ml2 + mglsin 0 = -mixcos 0(5.6)设& =龙+ 0 ( ©是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设©与1 (单 位是弧度)相比很小，即©1,则可以进行近似处理：cos& = -l,s

52、in& = 2,用u代表被控对象的输入力f ,线性化后两个运动方程如下:(m+nvc)+bx-mi(/)=u(5.7)5. 2传递函数对方程组(5-7)进行拉普拉斯变换，得到： j (/ + ml2)o(5)52 - mgl<i)s = mlx (5)52 (m + in)x (5)52 + hx (s)s -m/c>(5)52 = u (5) 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输岀为角度e,求解方程组5.8的第一个方程, (/+加厂)gmlx(5)=把上式代入方珮组5.8的丄%)/+m"mli?+(5.8)2可以得到:(5.9)m+m整理后得到传递函-数

53、：ml 2 s qml程得到：4-祕$)$-加風$)$2 =u($)(5.10)叫)_°u(s) 4 bi 4- ml2) 3(a/ + m)mgl 2 bmgl(5.11)其中q = (m + 加)(/ + ml2)-(m/)25. 3状态空间方程系统状态空间方程为：x = ax + buy - cx + dn方程组(5.7)对元0解代数方程，得到解如下:(5x = x_(/+加厂b攵+a0+、,比i(m +"7)+m"2 i(m + m)- mml2 i(m + m)- mml 0 = 0一 mlb mgl(m + m)/(m+加)+m加 2/(a7+m) +

54、 alm/2i(m +m) + mmp(5.13)整理得：m2gl2(/ + ml2)ml01() 一(/ + "2)b00°- mlbi(m + m) mml20/4-m/2i(m + ni) + mml10ml1(m + m) + mml20 0心2, 0i(m + m) + mml01mgl(m +/7?)0i(m + in) + mml2(5.14)由(5.7)的第一个方程为:;00_(55)(56)(5.17)(58)(59)(/ + ml2 yp - mgl(/> = mix对于质量均匀分布的摆杆有：i=-ml23于是可以得到：fl 2 宀 f ml + /? “ 0 mgl © = mix 化简得到：2)3丿4/4/设x =兀,£,0,0/ =壬，则有：0000x_0x10+03000001000104zx10 0 0x+000 0 10000(5.20)5. 4实际系统模型实际的系统模型参数如下：m小车质量1.096 kgm摆