2017高考一轮复习教案函数奇偶性与周期性

1、结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义.知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数几丫)的定义域内任点个 X,都冇代一x)=/(x),那么函数/to 是偶函数关于对称奇函数如果对于函数几丫)的定义域内任意一个 X,都有 H二x)=-/U),那么函数/U)是奇函数关于原点对称易误提醒1 判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定艾域关于原点对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2. 判斷函数几丫)的奇偶性时，必须对定爻域内的每一个 x,均有一 x)=-/W，而不能 说存在 Xo使人一心)=一几丫 0)、fi-Xo)=J(xQ).3. 分段函数奇偶性判定时，利用函

2、数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在 整个定爻域上的奇偶性是错误的.必记结论1. 函数奇偶性的几个重要结论：(1) 如果一个奇函数几丫)在原点处有定义，即./(0)有意义，那么一定有/(0)=0.(2) 如果函数几。是偶函数，那么Ax)=flx).(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即几丫)=0, xWD,其中定戈域 D是关 于原点对称的非空数集.(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性.2. 有关对称性的结论：(1) 若函数 y=/(x+a)为偶函数，则函数 y=/(x)关于x=a对称.若函数 y=A-v+)为奇函数，则

3、函数 y=/(x)关于点(G0)对称.(2) 若几 v)=/(2dx),则函数几T)关于x=a对称.第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性若./U)+A2dx)=2b,则函数/(x)关于点(a, b)对称自测练习1. 函数几 1)= lg(.V + 1) + lg(X 1)的奇偶性是()A.奇函数E.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2. (2015-石家庄一模)设函数几。为偶函数，当 xE(0, +8)时，几=log沖 则几一迈) =()1 1A. B，2C. 2D. -23. 若函数几丫)=疋一|x+a|为偶函数，则实数 d=_ 知识点二函数的周期性1. 周期函数对于函数 y=

4、Ax),如果存在一个非冬常数 7使得当 x 取定义域内的任何值时，都右止 +门=心),那么就称函数 y=/U)为周期函数，称 T为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数/U)的所存周期中存在个最小的正数,那么这个最小正数就叫作几丫) 的加小正周期.必记结论 定渋式fix-T)=f(x)对定义域内的 X是恒成立的.若/(x+a)=/(x+b),则函数/(.v)的周期为T=ab.若在定义域内满足几卄)=一几 1),加+)= 盅，加+“)=一命0).数，且T=2a为它的一个周期.对称性与周期的关系：若函数几丫)的图象关于直线x=a和直线 x=b对称，则函数几丫)必为周期函數，2a b|是它的

5、一个周期.(2) 若函数/(X)的图象关于点(0,0)和点0)对称，则函数几必为周期函数，2|db是它 的一个周期.(3)若函數几 1)的图象关于点(仏 0)和直线x=b对称，则函数几丫)必为周期函數，4ab是它的一个周期.则几Y)为周期自测练习4._ 函数几i)对于任意实数 x满足条件几丫+2)=命，若/(1)=一 5,则心 5)=_KA81ANYANJIU.”考点研究强技提能考点一函救.奇偈性的刘斷 I 讥壽養專题组训练判断卜列函数的奇偶性.仃丿加)=寸 lF+px2 1；(2)/(x)=732丫+2%3；.农IT方法一函数奇偶性的判定的三种常用方法1.定义法:(3g)=3(恥)=寸 4_

6、F|x+3|-3;(5g)=x2x,xf(Zx-l)成立的.T的 取值范围是()A.0, 1)B(-8,扌)U(l, 4-oo)探究三周期性与奇偶性相结合3. (2015-石家庄一模)己知几丫)是定义在 R上的以 3为周期的偶函数，若人 1)1,人 5)= 财，则实数的取值范闱为()A(一 1,4) B. (一 2、0) C. (-1,0) D. (-1,2)探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4.已知定义在 R上的奇前数几 I)满足加一 4)=一几,且在区间0,2上是增函数，则()A.几一 25)勺(11)勺(80)B. /(80)/(11)/(-25)C.几 11)勺(80)勺(一 25)D

7、. /(-25)/(80)/(11)函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略BI(I)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象!的对称性.:|(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，|I 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.!:!(3)周期松、奇偶性与单调松结合.解决此类问題通常先利用周期性转化自变量所在的 iI 区间，然后利用奇偶性和单调性求解.I思想方法系列I1X1ANG FANGFA XlLlhl设函数.心）=吐告严的最人值为最小值为加，则 M+尸思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很艮杂不可

8、取，所以可考虑对函数整理化 简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为睿求解.方法点评在函数没有扌旨明奇偶性或所给函数艰本不具备奇偶性的情况下，通过观察函數的结构，发规其局部通过变式可构造出奇偶函数.这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问題.跟踪练习己知几丫）=戸+曲+加一 8,且人一 2）=10则几 2）等于（）A. 一 26E. 一 18 C. 一 10D. 10A组考点能力演练1. （2015-陕西一检）若/U）是定义在 R上的函数，则“人 0）=0”是“函数几 V）为奇函数” 的（）A.必要不充分条件E.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2. （2015-唐山一模

9、）已知函数几Y）=x+log丰+1,则石）+/（一扌）的值为（）A. 2B. -2C. 0D 210詰（4X229 2W兀 WO3. 设几 1）是定义在 R上的周期为 3 的函数，当 xG-2,l）时.x90 xl则/（!）=（）A. 0B. 1C.|D. -14. 在 R上的奇函数几。满足几丫+3）=爪），当（K.iWl 时，几Y）=2,则几 2 015尸（）1 1A2B. 2C. 2D，25. 设奇两数几丫）在（0, +8）上是增函数，且人 1）=0,则不等式.v/（x）-A-.v）0的解集 为（）Ax| lxlB. *1,或 0vlC. x|xlD. x|-lx0,或 0 xl6. 已知

10、/U）是定义在 K上的偶函数，人 2）=1,仇对任意的 XtK.都有几 Y十 3）= 几 Y）,2 构造法在函数奇偶性中的应用【典例】IGCNZONG JIANCC.跟踪检测跟踪检测则/（2 017）=_ 8. 己知函数几在实数集 R上具有下列性质：直线 x=l 是函数几。的一条对称轴：/匕+2)=几；当 1WXIX2W3 时，/(匕)一几 5)(心一心)09. 已知函数/(x)=i0*大=0，是奇函数.Lr4-/nA A +8)时是增两数，若夬 1)=0,求不等式 XXL*)0 的解集.E组高考题型专练1. (2014-高考新课标全国卷 I )设函数几。g(x)的定义域都为 R且几。是奇函数

11、，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()7.函数几丫)=(x+ )(x+a)为奇函数,则a=A.几火是偶函数B.张)忖(人)是奇函数C. Av)IWl 是奇函数D|/(x)g(x)|是奇函数2.(2014-高考安徽卷)设函数f(x)(xR)满足 a) =/(v)+smx.当 OWXVJT时,爪)=0, 则筒=()A*E.爭C. 0D.3.(2015-高考广东卷)卜列歯数中，既不是奇函数，也不是偶甫数的是()A.y=j14-x2B.y=x4-C)=2“+*D.y=x-e4.(2015-高考天津卷)已知定义在 R上的函数几丫)=2 厂加 1一 1(加为实数)为偶函数.记 a=/(log053)

12、, Z?=/(log25),c=j(2m),则 a,b,c 的大小关系为()A.abcB.achC.czihD.cb01. 解析：由 L_ix)知定爻域不关于原点对称，故/W为非奇非偶函数.答案：c2. 解析：因为函数爪)是偶函数，所以人一迄)=人迈尸 logp=号，故选 B.答案:B3.解析:V/(x)=/(x)对于 xER恒成立，.|x+a| = *+d|对于 xGR恒成立，两边平 方整理得心=0对于 xGR恒成立，故a=Q.答案：04. 解：/(x+2)= 盘，几 Y+4)=兀丫；2)=几丫)，/(5)=/(1)=5,加 5)=/(5)=/(3)=缶=一.答案：j考 A fx21 MO.

13、解：叫】得尸1，11 rO.几丫)的定爻域为-1,1.又人 1)+人一 1)=0,人 1)-/(一 1)=0,即几丫)=#(-v).几丫)既是奇函数又是偶函数.(2) V函数几丫)=寸 3_+p2x_3的定 5C域为*,不关于坐标原点对称，函数几丫)既不是奇函数，也不是偶函数.(3) .几。的定叉域为 R, /(-x)=3-t-3t= -(3X-3_X)= 一几丫)，所以几“)为奇函数.4 一用$0,(4) ：由 L.得一 2WxW2 且 xHO.*+3|-3 工 0,加)的定义域为一 2.0) U (0,2,H4x2_/4F Sx)=|x+3|-3=(x+3)-3= x ， j(x)=几丫)

14、是奇函戟.(5) 易知函数的定义域为(一 8, 0)U(0, +8),关于原点对称，又当 M0时，Jx)=x2-则当 x0,故J(x)=Fx=J(x):当x0 时，一 x0,故f(x)=x2+x=/(.v),故原函数是偶函数.酬解.爪+2)=-爪)，几丫+4)= -几丫+2)=几丫)./Av)是周期为 4 的周期函数.(2)当.vG-2.0时，一/丘0,2,由已知得/(x)=2(x)(x)2= 2xx2.又 /(x)是奇函敦，:.J(x)=一/U) = 2x,./(.v)=.r24-2v.又当 xe2,4时，x-4G-2,0,/./(x4)=(x4):+2(x4).又./U)是周期为 4的周期

15、函数，：.f(x)=X.v-4)=(A4)2+2(A4)=.r - 6x+ &从而求得 xe2.4时，几)=一 6工+8 (3爪 0)=0,几 2)=0,几 1)=1,人 3)= 1.又几 1)是周期为 4的周期函数，人 0)+/(1)+/(2)+/(3)=/(4)+几 5)+/(6)+/(7)=/(2 008)4-2 009)+几 2 010)+人 2 011)=/(2012)+7(2 013)+/(2 014)+人 2 015)=0,肿)+/(1)+巾)+心 17)=人 0)+/(1)=0+1 = 1.解析：当兀$0 时，加+2)=#亍 J(x+4)=/lx),即 4 是几丫)3$

16、0)的一个周期.-A2 017)=/(l)=log22 = l,人一 2 015)=夬 2 015)=夬 3)=击=一 1,2 015)+人 2 017)=0.答案：01解析：曲題意得fx)=xn(xyl(r)=ft2丫一 1)勺/(妙次一 1|),|冲1|,解得*xl,故选 A.答案：A3.解析：/)是定义在 R上的周期为 3的偶函数,/5)=/(5_6)=/(_1)=/(1),c c 2d3川).v-8 知 A-r)+8=x54-av34-/x,令F(x)=fix)+8可知F(x)为奇函数， F(-x)+F(x)=0.8)时，几丫)=ln(l+x)2a-3An+la4“+1/几丫)在 R上

17、为奇函数，如几=心故选 A.答案：Ax+x1X2.解析：由題意知，/(x)-l = -x+log 叮我./(一兀)一 1 = 1+10耳匸二=只一 10&叮看 (/(A)-1),所以张)一 1 为奇函数，则/|)-1+/(-|-1=0,所以石)+/(一扌)=2.答案：A3.解析：因为几丫)是周期为 3的周期函数，所以彳弓)=7(*+3j=*)=4X (一甘=-1,故选 D.答案：D4解析：由几 r+3)=/U)得函数的周期为 3,所以 A2 015)=/(672X3-l)=/(-l)=-/(l)=2,故选 A答案：A5解析：T奇函数几)在(0, +8)上是增函数/(乃=几小斗心)一/(

18、x)0. 巩丫)0.又刖=5/(_ 1) = 0,从而有函数几 Y)的图象如图所示:则有不等式巾 1)一/(一切0 的解集为x|-lx0 或(XAJ(2015).答案：人 2 017)次 2 016)汛 2 015)9.解：设 x0,所以 flx)= (X)2+ 2(X)= F 2丫又 ZU)为奇函数.所以/(一*)=/(x)，于是 xl所以 15W3,故实数 a 的取值范围是(1,3.io.解：了=几 1)是奇函数，/(一 1)=一川)=0 又了=/(工)在(0,+8)上是增函数，Ay=/(v)在(一 8. 0)上是增函数，KP(XA(AJ)1,解得扌加+严或-严VO.答案:A3解析：选项 A中的函数是偶函数：选项 B中的函數是奇函数；选项 C为偶函数，只 有选项 D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.答案：D4. 解析：由.