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1、2019-2020 学年浙江省高中发展共同体高三(上)期末数学试卷3 分)设集合0 , 1, 2, 3, P 01 , Q1 ,3 ,则P(eU Q) (A 0 , 2B 0 , 30 ,1,20 , 1,33 分)双曲线2y 1 的渐近线方程为9A 3x 2y 0B 2x3y2x9x4y4x 9y3 分)设实数x,y 满足条件y, 01 0 ,则1 0z 2 x y 的最小值是(3 分)设 m ,n 表示不同直线,表示不同平面,下列叙述正确的是()m / / n ,则 n / /n ,则 / /m/ /n0, a 1) 的图象可能是(x3 分)在同一直角坐标系中,函数1 , y loga 1
2、 x(aay0 至少有一个负根”的26 ( 3 分)已知a R ,则“ a, 2 ”是“方程 ax 2x 1A 充分不必要条件C 充要条件B 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件第 1 页(共18页)7( 3 分)已知an是公差为d 的等差数列,前n 项和是Sn,若S9S8S10,则 ()A d0 ,S170 Bd 0 ,S17Cd 0 ,S180 Dd 0 ,S18083 分)设实数a, b 满足b 0 ,且 a2 则 1| a | 的最小值是9成的角为A 983 分)如图,在三棱台AM 与平面)AB9168|a| bC716()D10 ( 3分)若关于x 的不等式A 4 ,3二、填空题1
3、1 ( 3 分)已知aABC A1B1C1中,ABC所成的角为B4 x3axB bi(a,b12 ( 3 分)已知直线l : xAOB 30 (O 为坐标原点)13 ( 3 分) 函数 f (x)4x3R) 是 z14 ( 3 分)如图示,一个空间几何体的三视图如图所示(单位:为cm3 表面积为M 是棱A1 C1 上的点,记直线AM 与直线 BC 所M AC B 的平面角为CD1, 0 对任意 x 1 , 1都成立,则实数a的取值范C3D 3, 4i 的共轭复数,则a b2i22y b 0 ,与圆 C : x y2 x 2 y| AB |m, x 0 为定义在R 上的奇函数,则g (x), x
4、 02 cm |z|0 相交于 A , B 两点,若1f (1og2 )3cm) 则该几何体的体积第 3 页(共 18页)15( 3 分) 在 ABC 中, AB 5, BAC的平分线交边BC于 D 若 ADC 45 BD 5 , 则 sinC 22 xy16 ( 3 分)已知椭圆22 1(a b 0)的内接 ABC的顶点 B为短轴的一个端点,右焦abuuur uuur点 F ,线段AB 中点为K ,且 CF 2FK ,则椭圆离心率的取值范围是r r rr rrr r17 ( 3 分)已知向量ar , b 满足| ar b | 1 , | ar b | 2 ,则| ar | | b | 的取值
5、范围为三、解答题18 ( 14 分)已知角的顶点在坐标原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,将的终边按顺21时针方向旋转后得到角的终边,且经过点( 2 ,1 ) 255()求cos 的值;()求函数f (x) cos2 (x) sin2 (x) 的值域19 ( 15 分)如图,三棱柱ABC AlBlCl 所有的棱长为2, AlB AlC2 , M 是棱 BC的中点()求证:AlM平面 ABC ;BlC 与平面ABBl Al所成角的正弦值20 (15分) 已知等差数列an的公差不为零,且a33,al ,a2,a4成等比数列,数列bn满足b1 2b2nbn 2an (n N *)()求数列 an
6、, bn 的通项公式;()求证:bb21bb23bbnn22 ( 15 分)已知函数f(x) alnx (a R) x()若a 1,求函数f (x) 的单调区间;()若存在两个不等正实数x1, x2,满足f(x1) f(x2)且x1 x2 2,求实数a的取值范围an 1 an1(n N*)221 ( 15 分)如图,抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为F (1,0) ,过点 T (2,0) 的直线与抛物线C 交于点 A, B ,直线 AF , BF 分别与抛物线C 交于点A1, B1()求抛物线C 的标准方程;()求FAl B1 与 FAB 的面积之和的最小值第 9 页(共 18页)2
7、019-2020 学年浙江省高中发展共同体高三(上)期末数学试卷参考答案与试题解析1 ( 3分)设集合U0 , 1, 2,3, P0 ,1 , Q1 ,3,则 P(eU Q) (A 0 , 2B 0 ,3C0 ,1,2D0 , 1,3解:集合U0 , 1 , 2,3, P0 ,1 , Q1 ,3,eU Q 0 ,2,则 P(eUQ) 0 , 1,2 ,故选: C 2 x2 ( 3 分)双曲线x42y 1 的渐近线方程为9A 3x 2y 0B 2x 3yC9x4yD4x9y解:根据题意,双曲线的方程为1,则其焦点在x 轴上,且2, b9 3,则其渐近线方程为:y3x ,即23x2y 0;故选:
8、A2x3 ( 3 分)设实数x , y满足条件y, 0y1 0 ,则y1 0z 2 x y 的最小值是(A 13B 1C 2D4解:作出不等式组对应的平面区域如图:z 2x y得 y 2x z,平移直线y2x z由图象可知当直线y 2x z经过点 C时, 直线 y 2x z的截距最小,此时 z 最小,xy10x0由,即,xy10y1即C(0,1) ,此时z 0 1 1 ,故选: B 表示不同平面,下列叙述正确的是()B 若 m / / n , m , n ,则 / /4 ( 3 分)设 m , n 表示不同直线,A 若 m / / ,m / / n ,则n / /C若, ,则 /D 若 m ,
9、 n ,则 m / /n正确,解: 选项 A中若 m/m/ /n,则n/ / ,还有直线n 在平面故 A不选项 B 中若m / / n , m , n/ / ,有可能两个平面相交,故B 不正确,选项 C 中若选项 D ,若 m , n5 ( 3 分)在同一直角坐标系中,函数函数 y a x在 (/ / ,还有两个平面相交的可能,故C 不正确m / / n ,满足直线与平面垂直的性质,所以D 正确;故选: D y a x 1 , y loga 1 x(a 0,a 1)的图象可能是() 上单调递减且是曲线,向下平移一个单位长度得y a x 1 , 排除 A ,第 6页(共18页)B, C, D ,
10、没有符合题意的,0 a 1 时,函数 y a x在 (,) 上单调递增且是曲线,向下平移一个单位长度得y a x 1 , 排除 B ,当 x 0 时, y 0 ,排除 D 此时 a 1 1 ,函数 y loga 1 x(a 0,a 1)在 (0,)上单调递增,排除A故选: C 26 ( 3 分)已知a R ,则“ a, 2 ”是“方程ax2 2x 1 0至少有一个负根”的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件1【解答】解: ( 1)当 a 0时,方程变为2x 1 0,有一负根x 1 ,满足题意,21( 2)当a 0时,4 4a 0,方程的两根满足x1x2
11、10,此时有且仅有一个负根,满足题意,3)当a 0 时,由方程的根与系数关系可得方程若有根,则两根都为负根,而方程有根的条件4 4a 0,0 a, 1 ,综上可得,a, 1 ,“ a, 2 ”是“方程ax22x 1 0至少有一个负根”的必要不充分条件,故选: B 7 ( 3 分)已知 an 是公差为d 的等差数列,前n 项和是Sn ,若S9S8S10,则()A d 0,S170 B d 0,S170Cd 0,S180Dd 0,S180【解答】解: Q S9S8S10 ,a90, a9 a100, a100 , d 0S1717a90,S189(a9a10)0故选: D 第 15页(共18页)8
12、 ( 3 分)设实数a , b 满足 b 0 ,且 a12 则18|a|AB916C716a | 的最小值是(b1 D4解:由题意可知,a 0,a 0 时,1|a|8|a| baba16a b1 b a 1 ba 9 2g ,16 16a b 1616a b 16a 0 时,b a且 a b 2即 a16a b282 , b 8 时取等号,551|a|8|a| baba16a b1b()1616a()2 g( )b 1616a b716当且仅当b a 且 a b 2 时取等号,16a b综上可得,最小值7 16故选: C 9 ( 3 分)如图,在三棱台ABC A1B1C1 中,M 是棱A1 C
13、1 上的点,记直线AM 与直线 BC 所成的角为,直线 AM 与平面 ABC所成的角为,二面角M AC B的平面角为则 ()A , ,B , , ,C , D【解答】解: Q在三棱台ABC A1B1C1 中,M 是棱A1C1上的点,记直线 AM 与直线 BC 所成的角为,直线 AM 与平面 ABC所成的角为二面角 M AC B 的平面角为根据最小角定理得,根据最大角定理得,故选:A10 ( 3 分)若关于x 的不等式4x3 ax围是 ()A 4,3 B 3【解答】解:令 f(x) 4x3 ax 1, x1, 0 对任意 x 1 , 1都成立,则实数a的取值范C3D 3, 4 1, 1不等式4x
14、3ax 1, 0 对任意 x 1 , 1都成立,即f ( x), 0 对任意 1 , 1 都成立,311取 a 4,则 f(x) 4x 4x 1,此时f ()0 ,排除 A2231取 a 3,则 f(x) 4x3 3x 1 ,此时 f(1 ) 1 0,排除CD2故选: B 1i211 ( 3 分)已知a bi(a,b R) 是 z 1 i 的共轭复数,则a b 2, | z|1 2i5【解答】解: Qz 1 i (1 i)(1 2i)3 1 i,1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5且 a bi (a, b R) 是 z 1 i 的共轭复数,1 2i31a|z|, b ,则 a b5532
15、1 210()()555故答案为:2 ,10550 相交于 A , B 两点,若2212 ( 3 分)已知直线l : x y b 0 ,与圆 C : x y 2x 2yAOB 30 (O 为坐标原点),则 b 3, | AB |【解答】解:化圆C :x2 y2 2x 2y 0为 (x 1)2 (y 1)2 2,可知圆心坐标为(1,1),半径r 2 ,由题意,OA OB 2 ,由 AOB 30 ,得 ACB 60 ,得 | AB |2 ( 2)2 ( 2)2 222 cos60 2,即 | AB |2 ;则圆心 C 到直线 l 的距离 d|1 12b| (2)2 (22)232,即 |b |3,
16、即 b 3故答案为:3 ;2 13( 3分) 函数 f (x)4xm,x 0 为定义在R上的奇函数,则 mg (x), x解: 根据题意,f ( x)4x m,x 0为定义在R上的奇函数,则有g(x),x 01, f (1og 2 )30f(0) 4 m 0,解可得:m1,则 f (1og2 3)4log231log 41 8,1则 f (1og2 )3f ( 1og23)f (1og23)8;故答案为:1,814 ( 3 分)如图示,一个空间几何体的三视图如图所示(单位:cm) 则该几何体的体积为 1cm3 表面积为62 cm 第 19 页(共 18页)AC BC 1 , AC BC ,则
17、S PAB表面积 S故答案为:【解答】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥P ABC,底面三角形为等腰直角三角形,侧面 PAC 底面ABC,过P作底面垂线PO,则 PO 1111该几何体的体积V 1 1 1 1 1 1 ;326在 PAB 中,求得PA 2 , AB 2 , PB 6 ,3115532222221;53 162215( 3 分) 在 ABC 中, AB 5,BAC的平分线交边BC于 D 若 ADC 45 BD 5 ,则 sinC25【解答】解: ABD 中,由正弦定理可得,5sin BAD sin135所以 sin BAD ,1010Q AD 为 BAC 的平分线即B
18、AD CAD ,10102 3 1022 5sin C sin( DAC 45 )102102525故答案为:2 5 22xyb 0)的内接ABC的顶点B为短轴的一个端点,右焦uuur2FK ,则椭圆离心率的取值范围是(0, 3 )316 ( 3 分)已知椭圆221(aabuuur点 F ,线段AB 中点为K ,且 CF解:由题意可设B(0,b), F (c,0) ,uuur uuur线段 AB 中点为 K ,且 CF 2FK ,可得 F 为 ABC的重心,设A(x1, y1), C(x2, y2),由重心坐标公式可得,x1 x20 3c , y1 y2 b 0 ,即有AC 的中点坐标,可得故
19、答案为:2 ,5 第 21页(共 18页)x1x23cy1y2由题意可得中点在椭圆内,2可得 9c21 1 ,4a2 4由 e ,可得 e ,即有 0 e a333故答案为:(0, 3) 3rr rr rrr17( 3 分) 已知向量ar , b 满足| ar b | 1 , | ar b | 2 , 则 | ar |r|b |的取值范围为2 ,5解:Q| arr rrb | 1 , |ar b | 2,r2r rr2 r2 r rr2ar22argbb21 , ar22argbb24 ,r2 r2(a b ) 5 ,r r 2 r2 r2r r则 (|a | |b |) , 2(a b )
20、5,则 | a | |b |, 5 r r rr rr又 |a| |b| |a b|, |a b| 22剟 | ar br |5 18 ( 14 分)已知角的顶点在坐标原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,将时针方向旋转后得到角的终边,且经过点( 2 ,1 ) 255()求cos 的值;2f (x) cos (x2) sin (x ) 的值域第 29 页(共 18页)解: (I) 的终边经过点( 2 ,1 ) ,551 ,故 cos2, 5,sin15,2所以 cos cos( ) sin15;55;22(II ) f (x) cos (x ) sin (x )22cos (x ) sin (
21、x )22cos ( x ) cos (x )(cos x cos2sin xsin )(cos x cos2 sin xsin )22222(cos xcos sin xsin )2282 cos x sin x5519 ( 15 分)如图,三棱柱ABCAlBlCl 所有的棱长为2,AlBAlC2M 是棱 BC 的AlM 平面 ABC;BlC 与平面ABBl Al所成角的正弦值uuuur uuur uuur uuur uuur所以B1CBC BB1BC AA1 (0 ,2, 0) (3, 0, 1) ( 3,2,1),【解答】解: ()三棱柱ABC AlBlCl 所有的棱长为2, AlB A
22、lC2, M 是棱 BC的中点;所以AMBC ,所以 A1M A1B2BM2( 2)2 121 ;又AM3 AB3 23 , AA12 ,22所以AM 2 A1M 2 AA12,所以A1 M AM ,且 AM I BC M ,所以Al M 平面 ABC;()分别以MA、 MB、 MA1为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系,如图所示;1 , 0) , A1(0, 0, 1),则 M (0, 0, 0) , A( 3 , 0, 0) , B(0 , 1, 0), C(0 ,uuuruuur又 AB (3 , 1 , 0) ,AA1 (3 , 0, 1),r设平面ABB1A1的法向量为n (x,y
23、, z),3x y 03x z 0r uuurn gAB 0则 r uuur ,即n gAA1 0令 x 1 ,则 y z 3 ,所以nr(1 ,3 ,3) ;r uuuurr uuuurnr gB1C3 2 3342所以 cos n ,B1Cr1uuuur,4214| nr | | B1C |1 3 33 4 114所以直线BlC 与平面ABBl Al所成角的正弦值为20 (15分) 已知等差数列an的公差不为零,且a33,al ,a2,a4成等比数列,数列bn满足b1 2b2nbn 2an (n N *)()求数列 an , bn 的通项公式;()求证:b2b3bn 1an 1 an 1
24、(n N *) 【解答】解: ()等差数列an 的公差 d不为零,a3 3,可得a1 2d 3,22al , a2, a 4成等比数列,可得a1a4 a2 ,即a1 (a1 3d) (a1 d) ,解方程可得a1 d 1 ,则 ann ;数列 bn 满足b1 2b2nbn 2an,可得b1 2a1 2,将 n 换为 n 1 可得b1 2b2(n 1)bn 1 2an 1 ,联立b1 2b2nbn 2an,2相减可得nbn 2an 2an 1 2 ,则bn,对 n 1 也成立,n2则 bn, n N * ;nb2b3bn 1 an 1an 1 (n N*) 即为1 )当 n 1 时,不等式的左边
25、为12 ,右边为22 ,左边222)假设n k 时不等式k 1 k 1 ,右边,不等式成立;1 时,k12 k 2,12要证0,即证 k 2 k 1 1 k 1 ,即证 ( k 2 k 1)(11)k2k2由 k N * ,可得上式成立,可得n k 1 时,不等式也成立综上可得,对一切n N * ,12n n 1 n 1 ,221 ( 15 分)如图,抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为F (1,0) ,过点 T (2,0) 的直线与抛物线C 交于点A, B ,直线 AF , BF 分别与抛物线C 交于点A1, B1C 的标准方程;FAl B1 与FAB 的面积之和的最小值【解答】解: ()由题意可知,p 1 ,则 p 2 ,2所以抛物线C 的标准方程y2 4x ;()由题意可知,设直线AB 的方程:x my 2,设A(x1 , y1), A1(x2, y2),联立方程组y2 4x ,消去 x,整理得y2 4my 8 0,x my 2则 y1 y2 4 m , y1 y28 ,设A1( x3
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