立体几何基本关系、基本量、分析探究类、只是交汇类

1、立体几何的基本关系、基本量、分析探究类.交汇点1. （河南省豫南九校2013屈高三上学期12月联考数学（理）试题）如图，在 &aabc中，ab = bc = 4, a'a e在线段ab上，过点e做ef / bc交ac于点f,将aaef沿ef折起到apef的位置（点a与点p重合），使得乙peb = 601（1）求证：ef丄pb （2）试问：当点e在线段ab上移动时，二而角p - fc - b的平 面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理rh.2. （华附、省实、广雅广州一模后适应考试）如图2,在四面体aboc 中,oc 丄 oa,oc 丄 ob2aob = 120&

2、#176;,且oa = ob = oc = .（1）设p为ac的屮点，证明:在ab上存在一点!2,使pq丄oa，并计算 的值；求二面角o - ac - 3的平面角的余弦值.3. （汕头三月测评文科数学）（图在右上角）如图所示的几何体为-简单组合体，其底 而 abcd 为矩形，pd 丄平而 abcd,ec/pd,且 pd = 2ec.（1）若n为线段pb的中点，求证：ne丄pd若矩形abcd的周长为10, pd二2,求该简单组合体的体积的最大值.4.（揭阳2013届高三三月模拟考试）如图（4）,在等腰梯形cdef屮，cb、da是梯形的 高，ae = bf = 2, ab = 2迈,现将梯形沿cb

3、、da折起，使ef/4b且ef =,得一简单组合体abcdef如图（5）示，已知分别为af,bd,ef的中点.(1)(2)(3)求证：mn/平而bcf； 求证：ap丄de； 当ad多长时，平iftl cdef与平面ade所成的锐二血角为60° ?图(4)图（5）5.（深圳宝安中学大题训练）在直三棱柱abc-a.b.c.中，a1a=ab=3a/2 , ac=3,zcab = 90°,p. q分别为棱bb】、cc|上的点，且bp = bbi,cq = ccl.（1）求平面apq与面abc所成的锐二面角的大小.（2）在线段a|b （不包括两端点）上是否存在一点m,使am+mc】最

4、小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.6.（北京市朝阳区高三年级第一次综合练习）如图，在四棱锥p-abcd中，平面pac丄平 jin abcd ,且 p4 丄 ac, pa = ad = 2 四丈形 abcd 满足 bc ad f ab 丄 ad ,pe pfab = bc = l-点时分别为侧棱昭pc上的点，且- = - = a .求证：ef 平面pad；(ii)(iii)当2 = g时，求异面直线bf与cd所成角的余弦值； 是否存在实数兄，使得平而afd丄平而pcd?若存在, 试求出兄的值；若不存在，请说明理由.dc7.如图，己知四棱锥p abcd，底面abcd为菱形，p4丄平面ab

5、cd , zabc = 60°,e、f分别是bc、pc的中点.(1)判定aepd是否垂直，并说明理由。7(2)设a3 = 2,若h为pd ±的动点，若aahe |fi|积的最小值为，求四棱锥2p - abcd的体积。c&如图，正方形abcd. abef的边长都是1,而且平面abcd. abef互相垂直。点m 在ac ±移动，点/v在bf ±移动，若cm =bn = a (0< a <2)o(i )求mn的长；(ii)当。为何值时，mn的 长最小；(iii)当mn长最小时，求mnb面mna与面所 成的二而角q的余弦。9. 平面efgh分

6、别平行空间四边形abcd中的cd与ab且交bd、ad、ac、bc于e、f、g、h.cd=a, ab=b, cd丄ab. (1)求证 efgh 为矩形；(2)点 e 在什么位置，sekjh最大?1（）如图，在胃四棱柱abcd-ac屮，底而是边长为1的菱形，侧棱长为27t 7t（1）b,d, aj a.d能否垂直？请证明你的判断；（2）当zajb.c,在一,一上变化时，求界3 2面直线ac a.b,所成角的取值范围。答案：1.解（1）在中，： ef mbc；ef 丄力 ef ieb、ef iep, 乂; ebcep = e,： ef 丄平面 peb.乂 '： pb u 平面 peb,. :

7、.ef lpe.4 分（2）在平面peb内，经p点作pd丄be于d,由（1）矢1ef丄面peb,.ef丄pd./.pd丄面bcef.在面peb内过点b作直线bh/pd,则bh丄面bcfe以b点为 坐标原点，眈，厉，丽的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标 系.6分设 pe=x （0<x<4）又： ab = bc = 4、：. be = 4 x,ef = x、f 在 rtped 中，aped = 60°,. pd = x,de=丄x,2 2.加= 4_x丄 x二 4 丄 x,2 2c（4,00）, f（x,4x,0）,p 04-|x,xl22从而季= （x 4

8、,4厂为,0）占=-4 4-x,xi 2 2,设n1=（x0,y0, z°）是平面pcf的一个法向量,由n（ cf = 0,比 cp = 0, 丸（/一4）+ 儿（4一初=0一4心+（4討儿+a/3_n,/,xzo =010分” = （1,1,73）是平而pfc的一个法向量.乂平面bcf的一个法向量为/ =（0,0,1）.设二面角p - fc - b的平面角为a ,贝'j cos a = cos®,2因此当点e在线段ab上移动时，.面角-fc-b的平面角的余弦值为定值芈2解法一：（1）在平idiodb内作cw丄04交4b于n ,连接nc.又0a丄0c ,0a丄平面c

9、wcnc u平面0nc ,04丄nc °取q为如v的中点，则pqiincpq 丄 0a 在等腰aob 中，za0b = 2q在rtmon中,“anwonan-aqa z0ab = z0ba = 3(t在 n0nb 中，乙nob = 120°- 90° = 30° =乙nb0 ,nb = 0n = aq.5 分 = 38 分(2) 连接 pnp0 ,由0c丄oa, 0c丄03知：0c丄平面oab.又on u平面oab ,. 0c丄on乂lon 丄 04, on 1 平而aoc.又 ac u平面aoc,. on丄ac又p是ac的小点,oa=oc.ac 丄op

10、,opcon=o,ac 丄平面pon , pn u 平面pon ,.ac 丄 pn10分.乙opn为二面角o ac b的平面角在等腰 rtcoa 屮，0c = o4 = l,opv22在 rtaon 中,on = oa 耳.在 rt'pon 申,pn = yopr + on2v30612分:.cos 乙opn =pn2v3014分3. 125x24 (答案是图片)4. (1)证明：连ac,四边形abcd是矩形，n为bd中点、,n为4c中点，1分在aacf中，m为af +点，故mn/cf3分cfu平面bcf , mn0平面bcf , :.mn 平面bcf ；4分 (其它证法，请参照给分)

11、(2)依题意知d4丄ab,da丄ae且ab ae = a:.ad丄平面abfev ap cz 平面 abfe , :. ap 丄 aq ,tp为ef中点，:fp = ab = 2迈结合人b/ef,知四边形abfp是平行四边形: apiibf , ap = bf = 2而 ae = 2,pe = 2近,:.ap2 + ae2 = pe2 :. zeap = 90°,即 ap1aes又ad ae=a de u平面ade ,:.ap丄平面ade,ap丄de .(3) 解法一：如图，分别以ap.ae.ad所在的直线为x,y,z轴建立空间肓饬坐标系设 ad = mm > 0),则 a(0

12、,0,0), d(0,0,m), e(0,2,0), p(2,0,0)、c*uuu易知平面ade的一个法向量为ap = (2,0,0), ( uu,1n pe =设平® def的一个法向量为=(兀jz),贝叽r uun n de =故严+ 2y"i 2y-mz = 011分ilh rcos < ap.n >=令 x = l,则 y = l,z=-,故 n = (l,l,-) mmuuu ipnuud rapn依题意,213分14分即ad = yfi时，平面cdef与平血ade所成的锐二而角为6(t .【解法二：过点a作am丄qe交de于m点，连结pm,则de丄p

13、m,zamp为二面角a-de-f的平面角,由 zamp =60°, ap=bf=2 得 am =tan 60°23"t"11分12分乂 ad ae = am de 得 =血 + 少,3解得ad = y/2f即ad = v2平面cdef与平面ade所成的锐二面角为60j. -145.解(1)建立如图所示空间直角坐标系a(;c,y,z)a (0, 0, 0), p (3v2 , 0, vi), q (0, 3, 2v2 ).设平面apq的一个法向量为® = (x, y, z)乔=()=>3岳 +妊= ()./?! aq = 0 => 3

14、y + 2-/2z = 0.令 z = 3,则 x = -l,j = -2v2,. n, =(-l-2v2,3)平血abc的一个法向罐® = (0,0,1)./. cos(/lph2)=3a/1 + 8 + 9v|2平面apq与面abc所成的锐角大小为45° .(1)i mj也用传统方法求解.(并参照计分)(2)沿a.b将面aibci 面a,ba展开，连结ac1与a)b交于点m,此吋am+mc|有最 小值. za/3 = 90°, aa = ab.：. zaab = 45°,又 c】a】丄面 abb】a, ac1a）±a）b.a aaa|cj

15、'i', zaa|c1=135°aci= jaaj + 41c： - 2aa a© cos 135。= j18 + 9 + 18 = 3后 存在点m,使am+ac）取最小值为3頁.pe pf6证明：（i ）由已知，= =z ,pb pc所以ef bc.因为bc ad,所以ef ad.而ef0平面pad, 4du平而p4q,所以ef 平而pad.（ii）【天1为平面abcd丄平面pac ,平面abcdc平面pac = ac ,且p4丄ac, 所以pa丄平而abcd.所以p4丄abf pa丄ad乂因为43丄4d ,所以pa.ab.ad两两垂直.如图所示，建立空间

16、直角坐标系，因为 ab = bc = , pa = ad = 2, 所以 a（0,0,0）,b（l,0,0）,c（1 丄 0）,d（0,2,0）,p（0,（）,2）当几=丄时，f为pc中点，2所以丄），2 2所以丽=（一丄丄,1）,页二（一1,1,0）.2 2设弄面直线bf与cd所成的角为0,所以 cos e =1 cosbf,cd） 1=1（-討,1）（-1丄0）1出+1m°所以异佛线貯与3所成角的余弦值为宁（iii）设fgjozo），则丽=（心,旳,-2）,疋=（1 丄-2）.由已知 pf = a pc,所以（兀°,九,5-2）= 2（1,1,-2）,血=a,所以儿=入

17、 所以af = （2,2,2-22）. z（）= 2 2/1.设平e afd的一个法向量为n, = （xpjpzj）,因为ad =（0,2,0）,n. - af = 0,fax. + ay, +（2-22）z. = 0,所以彳1 _即 i c ciij ad = 0. i2/= 0.令z=2,得ii】=（22 2,0,2） 设平ffipcd 的一个法向量为 n2=（x2,y2,z2）,因为 pd =（0,2,-2）,cd = （-1,1,0）,所以i>2 而=0, 即严2-2才0, n2-cd = 0.一兀2 + 旳=°令兀2 = 1，则址=（1丄1） 2 若平而丄平而pcd,

18、则n rn2=0,所以（22 2） +2 = 0 ,解得a =-所以当z =-时，平面afd丄平面pcd. 14分3【解析】(i) 四边形是邸，z4bc =60°,/. ±ibc为等边三角形.i e 是的 中 点，:.ae ±bc:又 bc/ads:. ae _ad2 分 pa_平面abcd,.匹u平面曲cd,/. pa _ae3分pa c ad = a，且pa u平面rq一辺u平面rqae 平面pjd又pd u平面rq5分/. ae _ pd6 分(u)由(1),平面pad,.el ah;meh为直角三角形，7分rtx4h 中，ae=忑, 当ah最短时，即丄pd

19、时，aahe面积的最小 此时，s 凹= eaah=nah=>/i xa£> = 2,所以 zadh = 45°,4j3所以 pa = 2. vr_abcd = &在最后面gf mx加二兰，g民纟sr) mrn9解：(1)易证e/ch为矩形.(2) ag=x, ac”， = a, gh= x ,a mm bsepgh=gh <3f= x (7? x) =-m mmcmxx1)=abm12 2? m m(x+mx+ 44nrab厂 z加、2 加2 1xiz w h_l cab (x"i)_+tf巧时s410. 解析：菱形a0cq中，ag丄bq于q ,设acqbd = o,分别以0百,o©,oq 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设b2,o,o)，g(o,b,ox/+b2=l),则 £> (-。, 0,0), £ (0, -0), d(-a,0,2)(1) *.* dbx = (2a,0,0), a】£)= (a,b,2)，: dxb* axd = 2a2:.bq与aq不能垂直。(2) *.* zabc g , / 5 51, * a(0, b9 2)3