数项级数求和方法的探究

1、数项级数求和方法的探究级数，重要的数学工具。一方面，它对于数学和其他学科及技术研究与发展 方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的 日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领 域，为日后的研究打下坚实的基础。目前在国内并没有系统全面的研究级数求和的方法，级数求和首先要考虑级 数的收敛性，并且有着比较繁多的方法和很强的技巧性。木文在借鉴国内外大量 资料的基础上，选取了一些常用的数项级数求和的方法，如等差求和，等比求和， 错位相减求和，原级数化为函数项级数、积分函数求和等，并且每种方法都选取 了典型题目加以分析，尽量使理论与应用相结合，化繁

2、为简。本文当中也特别介 绍了如裂项法求和，夹逼法求和，幕级数求和等方法，并举出例子，在实例中说 明方法，用实例体会这些方法在求和时的应用。木文对数项级数的有关概念，收敛的定义做出了简要的说明。级数的敛散性 是决定级数求和的先决条件，但是本文的重点在于讨论级数求和的方法，所以对 级数敛散性的讨论略过不谈，并且本文中所提到的有关级数都是收敛的。abstractseries, the important mathematical tools. on the one hand, it is for the mathematics and other science and technology res

3、earch and development has played a very important role and exert important influence. on the other hand, the series also is closely linked with our daily life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in the field, a solid foundation for the future research

4、.at present in domestic and no systematic research methods series comprehensive summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a comparison method and skills are very strong. in this paper, on the basis of numerous data home and abroad, some selected numeric

5、al series common summation method, such as the arithmetic sum, geometric sum, dislocation subtraction sum, positive numbers into the function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as far as possible, so that the combination of theory and application, s

6、implified.this paper also particularly introduces such as crack a summation, clamping force summation, and the method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example of the application of these methods in the sum ofin this paper, the related concepts of series, con

7、vergence definition and theorem gives proof, and give some typical examples to explain. the convergence of series is prerequisite to the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the series convergence discussion over does not talk, and the series is men

8、tioned in this article are convergent.key words: series convergence a number of series summation methods and skills seeking and split method summing a series of powers摘要iabstractii第一章绪论11. 1课题的研究背景及意义11.2 课题的发展概况及现状11. 3 全文研究内容及章节安排2第二章数项级数求和的常用方法32. 1数项级数的定义及收敛32.2等差级数求和32.3首尾相加求和32.4等比级数求和42.5错位和减

9、求和42. 6蕴含型级数相消法求和42.7有理化法求和52.8原级数转化为子序列求和52.9数项级数化为函数项级数求和62. 10数项级数化为积分函数求和62. 11裂项法求和62. 12夹逼法求和7第三章关于数项级数求和的几种特殊方法93. 1方程式法求和9空三角型数项级数化为复数系级数求和93.3幕级数求和103. 3. 1利用幕级数的性质求级数和103.3.2利用微分方程的转化求级数和113.4利用傅里叶系数求和12第四章小结14致谢15参考文献16原创性声明17论文使用授权声明 17第一章绪论1.1课题的研究背景及意义级数对于数学学科和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的 作

10、用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的h常生活息息相关，我 们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领域，为h后的研究打 下坚实的基础。首先，其原因是很多函数既可以用数项级数表示，又可以通过数项级数来研究函 数逼近的问题，利用其他多项式来逼近一般的函数。用级数的形式还可以表示很多有 用的非初等函数。其次，解微分方程。再次，可以应用于实数的近似计算，所以数项级数无论在分析数学问题上述是在 实际的应用中，都是我们研究函数问题的重要工具，此时数项级数求和的问题就显得 非常重要了，这也成为了实际应用中急需解决的课题。1.2课题的发展概况及现状17世纪的上半叶，自然科学在西方资木主义牛产

11、力的刺激下快速发展壮大， 并且有了突破性的进展。而这个过程中所遇到的数学上的难题，使人们将目光的焦点 放在了微积分的基木问题上。这个时期里，开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、 沃利斯等箸名的数学大师都致力于先关问题的研究，取得了具有代表性的发展。尤其 是牛顿和莱布尼茨所认识到的微分和积分之间的互逆关系，对微积分的真正创立做出 了伟大的贡献。到了 18世纪，微积分的研究和发展和无穷级数的研究紧密交织在一 起，数学家们乂陆续得到了各种初等函数的级数展开，并将它们运用到了微积分的研 究当中。在这期间，雅各布，伯努利撰写了一系列关于无穷级数的文章，从而成为了 这一领域里的权威。而在18世纪先后出现

12、了莱布尼兹判别法，达朗贝尔级数绝对收 敛判别法等判断级数收敛的法则。到了 19世纪，柯西对无穷级数进行了更加严格化 的处理，明确定义了技术的收敛性，并研究了级数收敛的判别条件。数学作为最古老的学科之一，一直以来都有着众多的研究者。而关于级数的求和, 也吸引了许多专家学者对它的研究，他们将题目和解法分类具体化，分为定义法，解 微分方程法，裂项法，函数转化法，逐项微分积分法等等。级数求和的方法有很多, 并且有一定的技巧性，纵观国内目前的相关教材和书籍大多数都是对一些比较特殊的 数项级数进行求和，而一般的数项级数求和的方法问题则甚少提及，因此我们在这方 面有很大的研究空间。1.3全文研究内容及章节安

13、排第一章首先介绍了课题的研究背景及意义，然后简要介绍了课题的发展概况和 研究现状。第二章 木章介绍了几种常用的数项级数求和的方法并举出典型例题加以说明。第三章 本章介绍了儿种特殊的数项级数求和的方法以及在求和方面的儿点技巧, 并举例说明。第四章对研究课题进行了小结，提出对今后工作的展望。第二章数项级数求和的常用方法2.1数项级数的定义及收敛设有无穷实数列弘,弘2,，冷，则称亍冷=% +比2 u,i 是以 “为*/:=!般项(或通项)的数项级数，简记为£冷7?=1o v/7g n+,sfi称为数项级数£竝的前nn=l项部分和。若部分和数列sti的极限存在，lim= s则称级数

14、£血收敛，并称 ?j=1s为级数的和，记为工冷二s。若部分和数列s”的极限不存在，则称级数为冷发 w=ln=散。2. 2等差级数求和等差级数是最简单的级数类型，主要是通过比较前后各项得到级数的公差，然后 代入公式即可求和。例：$ =旳+巴严=呦严),其中q为首项，为公差。证 明：s=a +a2 +.+q“ ,s=q” +.+。2 +。+得：2s = (q + q“)+ ($ +。“.|) + +(q” +e)因为等差级数q +d“ = . = q“+d|所以*如如2. 3首尾相加求利这一类型的级数主要是将级数的各项前后倒置后与原级数经过基本四则运算, 由于首尾各项的运算的结果相同，就

15、可以转化为简单级数求和。例:求 £ + 3c： + 5c； +. + (2n + l)c；：.解:s = £ + 3c + 5c； +. + (2n + l)c： , s (2/? + l)c； + .5c; + 3c： + c：；,两式相加得：2s = (2n + 2)(c： + .c； + c + £) = (n +1) 2w+,即:£ + 3c： + 5c： +. + (2z? + l)c： = (n + 1)2"2. 4等比级数求和等比级数也是较为简单的级数类型，主耍通过比较前后各项得到级数的公比，然 后代入公式即可求和。例：当(7=1

16、, s = na；当qhl, s=,其中q为首项，q为公比.证明：当易得5 = nax,当qhl, s=a +aq +.+axqhx，=qi g+q q 2 +. +q g",-得(1 q)s a axqn.2. 5错位相减求和这个方法通常应用于等差级数与等比级数的混合型，主要方法是乘以等比级数 公比q ,再与原级数四则运算后转化为简单的等差或等比级数求和。例：计算工爭解:1 3 52n-s i h- + +2 22 23,-得:c (总2r 1 总2& 1 t=2+工-工 = 1 +k=2 乙k=2k2n-r2比=3r2n-llim5 =3.2. 6蕴含型级数相消法求和ii

17、i这一类型的级数各项之间木身就有紧密的联系，通过仔细观察可以得知前后多项 展开之后可以相互之间部分项相消，从而转化为简单级数求和。例：计算 £(v? 一 2ji +1 + ji + 2) r=l解：将各项展开可得：s = (1 - 2/2 +- 2a/3 + a/4 j + + (j 兄-2 2 j it +1 + v/2 j +(j m -1 - 2a/h + j” + 1) +- 2 >/ n + 1 + 2)=1 -y/2.-j71+1+ v71 + 2 = 1 >/2 h/,丁兄+1+j+2所以lim5 = 1-v2 .ht82. 7有理化法求和对于一些通项含有分

18、式根式的级数，我们可以模仿数学中经常使用的“有理化” 方法进行处理，使级数的通项得以化简，进而求出级数的和。.例：计算£.,；=1 丁斤（斤 + 1）（5/ +>/ + 1）解：有题目可以看出原级数含有较多的根式，因此可以运用有理化的方法进行处理，即通项吹e（2e对其分母有理化得：1分母有理化+ l乔 11jn+ 1）（乔 + j + l）jn（n + v）y/n jn + 1则原级数可以采用木文中的2.6"蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级 数和的极限为1.2. 8原级数转化为子序列求和若下列条件成立：（1）当n t8时级数的通项q”t0（2）级数各项没有破坏次序

19、的情况而得新序列工亿收敛于原级数.71=1伽计算l+*+中）+出+ （肘）+黑+ （歸）+.的军：*.* limci =0 f应用欧拉公工弋1 + i = c + ln/2 + a ,flc"f2 3 n其中c为欧拉常数，j t 0(/1 t oo) s = 1 +丄 +-12 33/t2 n=ln3n-inn + e3n -en,iim5 = in 3 f1t82. 9数项级数化为函数项级数求和这种方法主要是将原来的数项级数转化为相类似的函数项级数，然后通过对函数 项级数求和得出原级数的和。8 1例：求级数和気35.51)8 1解：建立函数项级数s=y 兀沖由函数敛散性知识可得其力

20、=11 3 5( 2n1)收敛域为(-oo,+oo),将函数项级数逐项求导可得：oos （兀）=1 +工”=1丄无22135（2旷3）oo1 + xy 兀2_1135.（2旷1）=1 + xs（x）,由此可知s(x)满足微分方程s（x）-xs（x） = 1 ,且易知 5（0） = 0 ,解此常微分方程得：丄“ _1,21 -） 1,25（x） = e2 £ e 2 dt ,令x = l则可以求出原级数和：s = e2£e2 dt.2. 10数项级数化为积分函数求和这种方法通过把原级数化简，变换成积分极限的形式，从而求出原级数的和。 其中，关键是要变换构造积分式子。8 1例：

21、计算£，其中( too).a=)* + k5>.r 吕 1吕11分子分母同时除以"构造分割、仰羊：i己 £= lim > :<三1 k n建立级数与积分的桥梁k- " 1 dr=1 1 i"n2. 11裂项法求利这种方法主要针对于级数是分数形式，而且这个分数的分母是多项乘积的形式, 并口级数的各项之间相差的整数是相同的，通过裂项之后，级数的各项就分离出来, 而分离后的新级数相当于求解另外一个级数，以此类推，原级数的和就可以很容易 的求出了。裂项一般形式： =-(), 此处加>斤(x + /?z)(x+n) n-m x +

22、 m x + n例：计算 £=+.+.1-2-32-3-47? (7? + 1) (/7 + 2)解:记 a =, a = "7?-(/? + 1)-(h + 2)”2 n(n+)(川 + 1)( + 2)” 1针对£ 同理采用裂项法 k= r 伙+1)记仇=i = -72(h + 1) n 77 + 1则 ew：+i）八 1、 j 1、 j 1、 i 1、 j 1、z 11、 裂项后后面项可以消去前面项部分、这就足裂项法的好处!（二）+（厂尹（3盲）+（厂尹（乔計川丁荷）>1n111, limy= liml = 1,7? + 1 s = k 伙+1)28

23、刃 + 1n11n1所丿?：->«» 着 k(k +1)伙 + 2) 右嫂 £ l伙+ 1) +仗+ 1)伙+ 2丿1心+ 1)1a伙+ 1)1、12 22. 12夹逼法求和我们曾在极限的求解屮学习过夹逼法德应用，级数的求和也可以仿照这个方法, 用两个相近级数逼近原级数，然后这两个逼近的级数和就是所求的原级数的和。g1例：设加为一给定的正整数，求 £ 丿=“1冲初2 -n解:$ m+nm+ni加一 iim+niv = vh v/79/ /991/99心"初盯一 bn=l府一 t n=l+m府一 ”丄丄+丄+丄+丄+丄+ y (丄+亠 2m

24、 m- m + 1 m-2 m + 21 2m-1 “無.】m-n m + n)丄(i+丄+.+!i丄一一一一-) 2m 22m + n 2 n m 2m1 1 11f +n + 2 加n + l n + 22m"崩且n*时,lim- = 0,n* 7v+1且 lim 2"=(),n* n+2moo即eh=l"初m1 一 n234m2第三章关于数项级数求和的几种特殊方法3. 1方程式法求和这种类型的级数通过建立级数和的方程式，再通过解方程求出原级数的和。其屮, 最关键的是建立起准确的方程式。例：计算 qcos0 + cj2 cos20 +. + q cosno，其

25、中 |g| < 1 .仰乍: 记 s=q cos 0 + q1 cos 20 +. + qn cos no - iv cos k0"1两边同时乘以2qcos0得2gcos& 工 cos&cos kcos(r+l) &+cos(kl) 0 k=1即：2gcos0尸 (qn+l cos(h+1 ) 0 + s qcos0) + (q2 + q2s qn2 cosnff)解此方程得:cos no 一 q"" cos(h +1)& + q cos o-cfa1 + q- - 2q cos 0lim s q cos e - q，l +

26、g? - 2qcos&3. 2三角型数项级数化为复数系级数求和这类级数是通过将原级数转化为复数域上的级数，再通过求复数系级数进而求 出原级数的和。例：设 s= q cos & + / cos 2& +. + q cos no ,求 $ .解：由于s=qk cosko ,令 z = qd° =g(cos& + isin&)为复数, k=其中£ = 0,1,2z*=qu°=y(cos朋+ isin朋)，其中 k = ,2,得:_ z"+l n=v = 1+z + z2 +. + z" = l + g(cos

27、& + isin&) + g2(cos2& + isin20)+1 一 z boq3(cos 3 & + jsin 3 &)+/ (cos 刃& + isin no) = l + q cos 0 + q2 cos 2& + q cos 3& +g" cos & + i(q sin 8 + q? sin2& +sin no)而另-方而三_ 1-q卄' (cos(+1)& + i sin(/7+1)&) _11-q(cos & + i sin &)1 -2q cos 0

28、 + cf 1 - q cos 0 -cos(n + 1)0 + qn+2 cos(n +1)0 cos 0 + q,+2 sin( +1)0 sin & +iqsin 0 一 qn+2 cos(n +1)处in 0一 q""' sin(n +1)& + q,l+2 sin(/? + l)tcos & 将实部取出再与原级数和对应可得：1 + 5 =7 (1 一 q cos 0 一 qn+ cos(n +1)& + q,l+2 cos no)即：1-2 cos & +7(1 一qcos0一q"*' cos(z?

29、 +1)0 + qn cosno一 1 + 2qcos0-q2) 12qcos& + q当 n t oolims =“t8q cos 0 - q?1 + q，-2qcos&3. 3幕级数求和3. 3.1利用幕级数的性质求级数和我们可以根据幕级数的相关性质，对一个幕级数经过逐项的微分或积分，从而转 化为等比级数，通过对等比级数的求和后再进行必要的微分或积分就可求出幕级数的 和。用这种方法求级数的和时，只需要将级数构造成幕级数的形式就可以求原级数的 和。例1:求x + 3兀' + 4兀° +(| x vl)的和。解：可令f(x)=兀+2兀彳+3# + 4兀

30、6; +,已知它的收敛域为(-1,1).而原函数在这个收敛域内是可以逐项积分的，所以可得：加皿=非+討+討+.=(1)兀2 + ()牙3 +()兀4 + 2 34(x 4 x" + 兀彳 + 兀4 +.)_ (兀兀2 + .)234x=f ln(l x) 1 x其中x <1 ,故：x(1 一尢)2x < 1 (-1 <%<!)8y1f(x) = x 处"二 i+ ln(l - x)jn=l1 一 x8 .例2：求+ 的和。?=|oo-解：因为2>(/7 + 2)*t的收敛区间为(-1,1),故：/1=11 22 3 3 4_兀 +-r +-x

31、+ 2 34比2>5 + 2)严t 力=工 j脚5 + 2)严t 力5 + 2)x"=工(/? +1)* =* , jzl ( 1 v x v 1),丫2又因为总工5 + 1)严力=工总 + 1)广力=*+1 =，(-1<x<1),i - x8 ( 所以 2>s + 2)*tn=2x-x2<(l-x)2x+1-x3-x(1一兀尸3. 3. 2利用微分方程的转化求级数和对于有些级数，我们可以通过求解微分方程的方法求出原级数的和，但是运用这 种方法时，最主要的是要掌握好关于微分方程的相关知识，并r要有较好的解方程的 能力。例:oo 丫2“+1解：首先通过初步

32、计算可以得出此级数的收敛区间是(yo, + oo)oo 丫2+135令睑)孚0711亍+孑+xh,4!00 xn兀2两边求导则s'(劝二z = l + «=o(2m)!2!%2兀3 所以 s(x) + sx) = 1 + 兀 + + + 2!3!即可得s(x)+ sx) = ex是一阶线性微分方程.通解：s (x) = *夕 + cex,乂因为s（0） = 0,所以c =oo r2w+l所以六3.4利用傅里叶系数求和如果三角级数也+ £（陽cosnx + bn sin处）于-;r, tc上一致收敛于/（兀），则任2 w=i取 xe -7t,龙,均 /(%) = +

33、x (/7 cos nx + bn sin nx)成立，并且此时有 27?=1an =f(x)cos nxdx (n = 0,1,2,- - ), btj =f(x) sin nxdx (n = 1,2,- - ),我们就称陽,7u兀bft是函数/（x）的傅里叶系数，称三角级数也+cos处+乞sinnx）是函数/（x）的271=1傅里叶级数，它的和函数为/（x），一兀 < x < 7ts（劝二 /（兀 + 0） + /（兀0）丄一. ,x 二 土兀2例:求占旷解：首先要先写出f（x） = x2的傅里叶级数的相关项,71x dxan -丄化x'cosmzh =丄 x71 兀

34、i(7 sin nx兀1ai 皿 sin alt ,4一一©2 兀dx = (-)nr兀1仃obn = cnx2 sin nxdx = 0 (n = 1,2,)， 兀i（）n所以 f =兀2 +4_ cos nx （一兀 5 x 5 兀）. 3n1因为/（对在x = 0处连续，即/（0） = 0,所以0显疋+4工卑亠2-4工斗.3 矿 3n所以工(1严12利用傅里叶系数求级数和必须先构造一个函数/(%),且/(兀)的傅里叶级数中含 有与通项冷相似的部分.第四章小结以上介绍的等差法，等比法，错位相减法，裂项法，方程式求解法，转化法，利 用幕级数、傅里叶系数法等等只是在级数求和的众多方法中的一些，其中既有最普通 常用的方法，也有需要较强的技巧性的方法。本文尝试在这些常用方法及几种特殊方 法的基础上设立专门针对级数求和的相关板块，而在级数求和时我们首先要注意要的 是判断该级数是否收敛，因为只有在级数收敛时才能求它的和。当然，知识的世界是 永远没有尽头的，在数项级数求和的方法方面，我们还有许多未知的东西没有发现, 而级数在一些其他领域的应用方面也需要我们继续发掘，并将它应用到生活和其他学 科中去，以实现它的价值。在人类文明、科技创新不断进步的今天，我们在对数项级 数求和方法的探究上也在不断进步，未来无限可能，展望明天，关于数项级数求和方 法的探究也将有更加广阔的进步空间，我们