浅谈金融在定价方面的应用——期权定价

1、 *学院数学与应用数学专业竞赛论文浅谈金融在定价方面的应用期权定价作者： 、学校： *学院年级： 学号： 指导教师：。职称：。目录一、背景及意义二、离散型欧式期权定价 1、单期 （1）看涨期权 （2）看跌期权 2、二期 （1）看涨期权 （2）看跌期权 3、多期（n期） （1）看涨期权 （2）看跌期权三、离散型美式期权定价 1、二期 （1）看涨期权 （2）看跌期权四、连续型期权定价 1、CAPM模型（1）CML（2）SML (3)风险自行调节收益率定价公式 (4)确定等价定价公式 2、APT模型 (1)单因子模型 期权定价杨富富、关冬梅2013年3月摘要：我国经济发展迅速，像上海、深圳以及一些城

2、市早就有了一些证券公司，我国的股票市场越来越繁荣。随着许多新的政策的出台，我国的股票市场正在趋向正规、完善的阶段。从而相应生成了一些理论在指导着我国股票市场的发展，而这些理论就是股票的定价问题。现在，针对这一现象，我们来看一些期权定价的问题。关键词：二叉树模型、欧式期权定价、美式期权定价、看涨期权、看跌期权正文：一、背景及意义 期权是一种选择权，是给予期权持有者在约定的时间可以按事先约定的价格交易一定数量某种金融资产的权利的法律合同。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。70

3、年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。期权定价模型基于对冲证券组合的思想。研究西方期权定价理论，不仅有助于深化我们对期权及其他金融创新工具的研究，且对中国实业界在条件成熟时进入国际期权市场具有一定指导意义。由于当今西方主要期权理论均是从股票期权的定价发展而成，本文亦将结合股票期权进行讨论。二、离散型欧式期权定价 欧式期权(European options)是指仅允许期权的持有人在期权的有效期最后一天方可履行合约的期权。 美式期权(American options)是指允许期权的持有人在期

4、权的有效期的到期日之前任何一天均可履行合约的期权。 看涨期权又称买进期权，买方期权,买权，延买期权，或“敲进”，是指给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任意时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。期权购买者购进这种买进期权，是因为他对股票价格看涨，将来可获利。购进期权后，当股票市价高于协议价格加期权费用之和时(未含佣金)，期权购买者可按协议规定的价格和数量购买股票，然后按市价出售，或转让买进期权，获取利润；当股票市价在协议价格加期权费用之和之间波动时，期权购买者将受一定损失；当股票市价低于协议价格时，期权购买者的期权费用将全部消失，并将放弃买进期权。因此，期权购买者的最大损

5、失不过是期权费用加佣金。即期权持有者如果估计这个股票会涨，可以在未来以一定的价格买进。看跌期权又称卖权选择权、卖方期权、卖权、延卖期权或敲出。给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任意时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。如果现行市场价值远远低于你的看跌期权敲定价格，你有权在较高的敲定价格卖出你的100股票。如果你持有股票，并且购买了看跌期权防范下跌的风险，看跌期权履约可以作为一种明智的退出策略。例如，如果你认为某股票初看起来像一个长线潜力股，因此，你购买了一些股票，但是财务状况随后发生变化。如果每100股你有1手对应的看跌期权，那么看跌期权履约，并且卖出股票能使你保持账面

6、利润，从而解脱你的股票多头头寸。你能在到期日前任何一天卖出看跌期权 。如果标的股票市场价值下跌低于敲定价格，你买进的看跌期权价值在增长，卖出看跌期权将有利可图。如果你在期权到期前不采取任何措施，那么买进的看跌期权将会变得无价值，并且会损失你先前支付的全部权利金。当你购买看跌期权，当且仅当标的股票市场价值下跌时，你才获利，如果股票价值保持在敲定价格水平或之上，你的看跌期权无利可图。即期权持有者估计股票会跌，可以在未来以一定价格卖出。套利是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入，而在1期可获得无风险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。主要套利模式有：股指期货套利、商

7、品期货套利、统计和期权套利。套利的种类：跨期套利、跨市套利、跨商品套利、基金套利、套利交易。期货套利是指利用相关市场或者相关合约之间的价差变化，在相关市场或者相关合约上进行交易方向相反的交易，以期在价差发生有利变化而获利的交易行为如果发生利用期货市场与现货市场之间的价差进行的套利行为，那么就称为期现套利如果发生利用期货市场上不同合约之间的价差进行的套利行为，那么就称为价差交易无套利定价原理，金融市场上实施套利行为非常的方便和快速，这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中，因此，无套利均衡被用于对金融产

8、品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是无风险套利定价原理。投资组合（Portfolio）：由投资人或金融机构所持有的股票、债券、衍生金融产品等组成的集合。投资组合的目的在于分散风险。投资组合的原则：为了保障广大投资者的利益，基金投资都必须遵守组合投资的原则，即使是单一市场基金也不能只购买一两项证券。期望效用指的是消费者在不确定条件下可能获得的各种结果的效用的加权平均数。如果用P和1-P表示两种结果W和Q发生的概率，则期望效用函数可记作EU=PU(W)+(1-P)U(Q)，也可以写成EUP,(1-P);W,Q。期望效用越大意味着这个结果发生的概率越大，

9、它只用于判断不同人对风险的不同的偏好。但是人们在面临损失和赢得的时候，往往会因为反射效应而不遵守期望效用最大化的选择基准去做出判断。假设：证劵市场仅有一个投资周期，股票在时刻t的价格记为S，在时刻T的价格S只有两种可能的取值，或者以概率q从S增加至S，或者以概率1-q减少至S。股票到期的执行价格为K，市场无套利，其无风险收益率为r，单期时间为=T-t。表示看涨期权的价格表示看跌期权的价格表示股票在0期的价格q表示上涨的概率1-q表示下降的概率r表示无风险收益率表示上升时股票的内在价值表示下降时股票的内在价值 表示上涨时股票的价格表示下降时股票的价格表示一个单期的时间K表示到期后的执行价格股票的

10、价格二叉树模型为： q S S 1-q C 1、单期（1）看涨期权从股票二叉树图得到风险中性概率q由无套利原理知： eS=q*S+(1-q)*Sq= 1-q=时间T时执行价为K的欧式看涨期权单期的二叉树模型为： q C=S-K C 1-q C=0 看涨期权的价格为：C=eq*C+(1-q)*0（2）看跌期权 时间T时执行价为K的欧式看涨期权单期的二叉树模型为： q C=0 P 1-q C=K-S 看跌期权的价格为： P =eq*0+(1-q)*C2、二期 假设：股票S在0期的价格为 S，在1期的价格S只有两种可能的取值，或者以概率q从S增加至S，或者以概率1-q减少至S。在 2期的价格有三种可

11、能的取值： S 、S 、S 。股票到期的执行价格为K，市场无套利，其无风险收益率为r，单期时间为=T-t。股票S的期权C在0期的价格为C。表示两次上涨时的股票价格表示第一次上涨第二次下降（或第一次下降第二次上升）时的股票价格表示两次下降时的股票价格表示两次上升时股票的内在价值表示第一次上涨第二次下降（或第一次下降第二次上升）时的股票内在价值表示两次下降时股票的内在价值 r表示无风险收益率股票价格的两期的二叉树模型为： q S q S S 1-q S 1-q S q 1-q S （1）看涨期权从股票二叉树图得到风险中性概率q由无套利原理知：q*S+(1-q)*S= Se 风险中性概率q= 1-q

12、=2期时执行价为K的欧式看涨期权单期的二叉树模型为： q C=S-K q C 1-q C q C=S-K，0 1-q C 1-q C=0 假设S>K看涨期权的价格为：C=q* C+q*(1-q)*C+（1-q）*0假设S<K看涨期权的价格为：C=q* C+q*(1-q)*0+（1-q）*0（2）看跌期权 q C=0 q C 1-q C q C=K-S，0 1-q C 1-q C=K-S 假设S>K看跌期权的价格为：P=q*0+q*(1-q)*0+* C假设S<K看跌期权的价格为：P=q* C+q*(1-q)*（K-S）+（1-q）* C3、多期 假设：先不考虑红利的问题

13、。假定股票的价格每隔一定的短期便会上升为原来的u倍，或下降为原来的d倍。上升一次的概率为q下降一次的概率为1-q。一个该股票之上的欧式期权约定价格为K，其到期极限将跨越n个这样的短期。在跨越的n期中，股票价格不是上升就是下降，没有其他情况。S代表股票当前的价格，则任意一个到期可能价格可以表示为 (j为整数，n>j)，从而任意期权到期可能的内在价值可以表示为上升j次下降n-j次的概率为,又除了n次全部为上升n次全部为下降的情况，其他情况发生的路径都不止一条，其路径的条数等于n次中选取j次上升的排列数，即。表示欧式看涨期权的价格表示欧式看跌期权的价格 q表示上涨的概率1-q表示下降的概率n表

14、示n期的期权j表示上升第j次表示n次上涨时股票的内在价值表示n次下降时股票的内在价值r表示无风险收益率表示上升第j次的内在价值表示一个单期的时间 n期时执行价为K的欧式看涨期权单期的二叉树模型为： q q . q C 1-q 1-q C q C. 1-q C 1-q C . （1）看涨期权 任意看涨期权到期可能的内在价值可以表示为=max*S-K,0,看涨期权到期价值出现的概率，即上升j次下降n-j次的总概率为*所以，看涨期权到期期望价值为因此，看涨期权估价的任意多期（n期）模型已是轻而易举：=（2）看跌期权任意看跌期权到期可能的内在价值可以表示为=maxK-*S,0,同理可以退出看跌期权估价

15、的任意多期（n期）模型：=三、离散型美式期权定价1、二期假设：股票S在0期的价格为 S，在1期的价格S只有两种可能的取值，或者以概率q从S增加至S，或者以概率1-q减少至S。在 2期的价格有三种可能的取值： S 、S 、S 。股票到期的执行价格为K，市场无套利，其无风险收益率为r，单期时间为=T-t。股票S的期权C在0期的价格为C。表示看涨期权的价格表示看跌期权的价格表示股票在0期的价格q表示上涨的概率1-q表示下降的概率r表示无风险收益率表示上升时股票的内在价值表示下降时股票的内在价值 表示上涨时股票的价格表示下降时股票的价格表示一个单期的时间K表示到期后的执行价格表示第一期的看涨期权在二期

16、的期望价值表示第一期的看跌期权在二期的期望价值表示两次上涨时的股票价格表示第一次上涨第二次下降（或第一次下降第二次上升）时的股票价格表示两次下降时的股票价格表示两次上升时股票的内在价值表示第一次上涨第二次下降（或第一次下降第二次上升）时的股票内在价值表示两次下降时股票的内在价值（1）看涨期权=max,*E()=max,*E()假设>K则=max,*q*+(1-q)* =max,*q*+(1-q)*(-K) =max,*q*+(1-q)* =max0,*q*（-K）+(1-q)*0 =max0,*q*（-K）假设<K则=max,*q*+(1-q)* =max,*q*+(1-q)*0

17、=max,*q* =max,*q*+(1-q)* =max0,*q*0+(1-q)*0 =0 q 1-q t=0 t=1=*q*+(1-q)*（2）看跌期权=max,*E()=max,*E()假设>K则=max,*q*+(1-q)* =max0,*q*0+(1-q)*0 =0 =max,*q*+(1-q)* =max,*q*0+(1-q)* =max,*(1-q)*假设<K则=max,*q*+(1-q)* =max0,*q*0+(1-q)*(K-) =max0,*(1-q)*(K-) =max,*q*+(1-q)* =max,*q*(K-)+(1-q)* q 1-q t=0 t=1

18、=*q*+(1-q)*多期的美式期权过于复杂，在此不进行讨论。综上所述，美式期权提前按执行要比欧式期权要好。四、连续型期权定价（一）CAPM模型资本资产定价模型（capital asset pricing model，简称CAPM）是在风险资产期望收益均衡基础上的预测模型，它的功能是预测资产风险与预期收益率之间的关系。这一模型在现代投资理论中占有十分重要的地位，可以说，它是现代金融学的基石。CAPM模型的假设条件：1、投资者依赖考察一段时间内的证券组合的预期收益率和标准差来评价证券组合。2、当给定两个其他方面等同的证券组合时，投资者将选择具有较高收益率的一种证券组合。3、当给定两个其他方面等同

19、的证券组合时，投资者将选择具有较小标准差的一种证券组合。4、单一一种资产无限可分，意味着投资者能按任意数量比例购买他所期望的资产。5、投资者可以以同样的无风险利率贷出或借入货币。6、税收和交易成本不予考虑。7、所有投资者都处在同一水平阶段。8、对所有投资者来讲，无风险利率是等同的。9、对所有投资者来讲，可以免费和不断地获取有关信息。10、投资者具有齐次预期，即他们对证券的预期收益率、标准差和协方差看法一致。（1）CML资本市场线（capital market line，简称CML）理论是资本资产定价模型的核心内容。这一模型在1965年由威廉·夏普（William Sharpe）、约翰

20、·林特纳（John Lintner）和简·莫辛（Jan Mossin）分别独立地提出。从马柯威茨的开创性的工作到提出资本资产定价模型，其间相隔长达12年，足见现代金融学发展道路的艰难与曲折。资本市场线方程在资本资产定价模型假设下，当市场达到均衡时，市场组合M就成为一个有效组合，并且最优风险证券组合T就等于市场组合M，因此，所有有效组合都可视为无风险证券与市场组合M的再组合是一条连接与M的射线，这条射线被称为资本市场线，如图所示：资本市场线揭示了有效组合的收益和风险之间的均衡关系。由于Rf与M点的坐标分别为：（0，），（，）,因此，资本市场线的方程为：其中， 和分别表示有效组

21、合P的期望收益率和标准差，和分别表示市场组合M的期望收益率和标准差，表示无风险证券收益率。（2）SML资本市场线只是揭示了有效组合的收益风险均衡关系，而没有给出任意证券或组合的收益风险关系。证券市场线（security market line，简称SML）则揭示了任意证券或组合的收益风险关系。证券市场线方程对于任意一个单个证券i，构建其与市场组合M的组合线。由于M是有效组合，因此，该组合线在M点一定与资本市场线相切，即在M点的斜率一定是，如下图所示：设组合线上任意一点Z的权重分别为、，则有：故有：由于在M点，代入上式，得：化简得：，即：，也就是证劵市场方程。因此，我们可以得到CAPM定理：定理

22、：（Sharpe-Lintner-Mossin CAPM）假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成比例，即有关系式 E(X) -=(E() - r)，其中 = cov(X, ) / var(，).在关系式中，表示证券的风险量，称为证券的系数。由于证券i的系统风险是，因此，系数计量的是单个证券的系统风险，是一个有别于方差的风险计量指标。代表了对单位风险的补偿，表示市场风险价格。表示市场风险溢价（risk of premium）。（3）风险自行调节收益率定价公式设市场上第j种资产期终风险收益为，当前价格为，其收益率=（1）满足资本资产定价模型，E（）-r=(E()-r)（2）记=，它表示每单位风险的市场资产组合超额收益率，则式（2）可以写为E（）-r=cov（，）（3）将式（1）代入式（3）得=r+cov（，）（4）其中可以将解释为风险资产的均衡价格，从而得到风险自行调节收益率定价公式（risk-adjusted rate of return valua