2022年2022年数值分析试题及答案.

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料一.单项挑选题（每道题3 分,共 15 分）1. 3.142 和 3.141 分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字 .a4 和 3b3 和 2c3 和 4d 4 和42fx dx1f 1af 21f 22. 已知求积公式1636, 就a（ ）1a6b13c122d 33. 通过点x0、y0、x1、 y1的拉格朗日插值基函数l0 x 、l1x满意（）a l0 x00,l1x10bl0 x00,l1x11cl0 x01,l1x11d l0 x01,l1x114. 设求方程fx0的根的牛顿法收敛,就它具有（）敛速；a超线性b平方c线性d三次5. 用列

2、主元消元法解线性方程组x12x1x12x22x23x2x303x323作第一次消元后得到的第3 个方程（）.ax2x32b2x21.5x33.5c2x2x33d x20.5x31.5单项挑选题答案1.a2.d3.d4.c5.b得评卷分人二.填空题（每道题3 分,共 15 分）精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料cc2x2、3、4t| x | x |1. 设2. 一阶均差、 就1fx0、x1,2.31333、c123n33. 已知时,科茨系数88,那么34. 由于方程内有根；fxx420在区间1、2上满意,所以fx0在区间5. 取步长h0.1,用欧拉法解初值问题yyx2y 11y的运算

3、公式.填空题答案1.9 和292.fx0 x0fx1x113.84.f 1 f 20yk 1yk5.y011.10.110.1k、k0、1、2l得评卷分人y1. 已知函数11x2三.运算题（每题15 分,共 60 分）的一组数据：求分段线性插值函数,并运算f 1.5的近似值.运算题 1. 答案l%xx1x100.510.5x1.解x0、1,0110l%xx20.5x10.20.3x0.8x1、2,1221cx0精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料0mm11x1所以分段线性插值函数为l%x10.5xx0.80.3xx0、11、2l%1.50.80.3 1.50.352. 已知线性方程组

4、10 x1x1x1x210 x2x22x32x35x37.28.34.2（1）写出雅可比迭代公式.高斯塞德尔迭代公式；（2）对于初始值x0、0、0,应用雅可比迭代公式.高斯塞德尔迭代公式分别运算1x（保留小数点后五位数字）.运算题 2. 答案1.解 原方程组同解变形为x10.1x2x20.1x1x30.2x10.2x30.2x30.2x20.720.830.84雅可比迭代公式为xm 10.1xm0.2 xm0.72123xm 10.1xm0.2xm0.8321330.2x10.2x20.84m0、1.高斯塞德尔迭代法公式xm 10.1xm0.2 xm0.72123xm 10.1xm 10.2x

5、m0.83213m 1m 1x30.2x1m 10.2x20.84m0、1.用雅可比迭代公式得x0.720 00、0.830 00、0.840 00用高斯塞德尔迭代公式得x0.720 00、0.902 00、1.164 403. 用牛顿法求方程3x3x10在1、2之间的近似根m精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料（1）请指出为什么初值应取2？精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料32x3xx322（2）请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001.运算题 3. 答案3. 解fxx33x1,f130,f210fx3x23,fx12 x,f2240,故取x2作初始值迭代公式为fxn

6、1xxxxn 13xn 11或n 11nn 1n 1fxn 1n 13n 11,n1、2、.x1x02,233132211.88889x2,2 1.888893131.88889211.87945x2x10.009440.000121.8794531x321.8793931.879451,x3x20.000060.0001方程的根x1.879394. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别运算积分11dx01x.运算题 4.答案4 解梯形公式bbafx dxfaf ba211111应用梯形公式得dx01x0.752 101 1bbaabfx dx fa4ff b 辛卜生公式为a62111010d

7、x f04ff 1 应用辛卜生公式得01x62114113精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料6 10111 125236精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料11得评卷分人四.证明题（此题10 分）确定以下求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3 次代数精确度证明题答案hfx dxa1fha0f0a1fha 、 a 、 afx1、x、x2证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,将并令其左右相等,得分别代入求积公式,a1a0a12hha1a1 0h2aa2h33a1a1得1ha03,4h3 ；所求公式至少有两次代数精确度；又由于hx3dxh3h3hhh33x4d

8、xhh4hh4h33hh4hfx dxfhf0fh故h333具有三次代数精确度；一.填空（共20 分,每题2 分）hh精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料xx231. 设x2.3149541.,取 5 位有效数字,就所得的近似值x=.2.设一阶差商fx1、x2fx2x2fx1143x12 1,fx 、xfx3f x261532422就二阶差商fx1、x2、x3x2、3、 1t| x | x |3. 设、 就2,；4求方程x2x1.250的近似根, 用迭代公式xx1.25,取初始值x01,那么x1；yf x、y5解初始值问题11yx0y0近似解的梯形公式为yk 1；a6.51,就 a

9、的谱半径；f x3x25、 xkh、k0、1、2、. 、fx 、x 、 x7.设fxn、xn1、xnk2、xn 3；,就nn 1n 2和8.如线性代数方程组ax=b的系数矩阵a 为严格对角占优阵,就雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都；9.解常微分方程初值问题的欧拉（euler）方法的局部截断误差为；y1012310.为了使运算x1x 12x13的乘除法运算次数尽量的少、应将表达式改写成；填空题答案1.2.3150精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料fx 、x 、 xfx2、x3fx1、x2532111232.x3x14163.6 和144.1.5yhfx 、 yfx、 ykkkk 1k

10、15.26.a 67.fxn、xn 1、xn 23、 fxn、xn1、xn2、xn 308 . 收敛9.h113y101210.x1x1x 1二.运算题（共 75 分,每题15 分）319f xx2、 x0、 x11、 x21设44（1）试求fx在1 9、4 4上的三次 hermite 插值多项式x使满意h x f x 、 j0、1、2、.hx f xjj11x以升幂形式给出；（2）写出余项rxfxh x的表达式运算题 1.答案xx1 95191 9r x2xx12x、 x 、（2）4.16444 42已知的满意,试问如何利用构造一个收敛的143xx263223311.（ 1）22545045

11、025精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料简洁迭代函数,使0,1 收敛？精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料运算题 2.答案2.由xx,可得x3xx3x,x1x3xx2因x1 x3,故x1（x）-311222故xx 1x 3x、 k=0、1、.收敛；k 1kkk23 试确定常数a, b,c 和 a,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度；试问所得的数值积分公式代数精度为多少？它为否为gauss型的？运算题 3.答案ac10、b16、a123.995,该数值求积公式具有5 次代数精确度,它为gauss型的yf x、 y4 推导常微分方程的初值问题yx0y0的数值解公式：yyhy

12、4yyn 1n 1n 13nn 1（提示：利用 simpson 求积公式；）运算题 4.答案4. 数值积分方法构造该数值解公式：对方程yf x在区间xn1、xn 1上积分,yxn1得yxn1xn 1xn 1f x、 yxdx,记步长为 h、对积分xn 1精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料xn 1fx、 yxdx用 simpson 求积公式得xn 12hhf x、 yxdxf xn 14 f xnf xn 1yn 14ynyn1xn 163精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料23yyh所以得数值解公式：n 1n 1 yn 134ynyn 15 利用矩阵的 lu 分解法解方程

13、组运算题 5.答案x12x13x12x25x2x23x3142x3185x32011235.解：alu231511424令 lyb 得 y14、10、72t、uxy 得 x1、2、3t.三.证明题（5 分）1设,证明解的 newton 迭代公式为线性收敛的；证明题答案1.证明：因f xx3a2、故f x 6 xxa、由newton迭达公式 :xxf xn、n0、1、. 得n 1nf xnx3a25xaxxnn、n 0、1、.n 1n6x2x3a66x2nnn因迭达函数x5xa、而x5ax3、66x263又3就35a33511xa、aa0、63632故此迭达公式为线性收敛的；一.填空题（ 20

14、分）精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料(1).设x*2.40315为真值x2.40194的近似值,就x*有位有效数字；(2).对fxx3x1、差商f 0、1、2、3；(3).设x2、3、7t、就| x |；(4).牛顿 柯特斯求积公式的系数和填空题答案nnkk0；（1）3（2）1（3）7（4）1二.运算题1.（15 分）用二次拉格朗日插值多项式l2x运算sin 0.34的值；插值节点和相应的函数值为（0,0）,（0.30,0.2955）,（ 0.40,0.3894）；运算题 1.答案lxx x1xx2fx x0 xx2fx x0 xx1f2012x0 x1x0 x2 x1x0 x1

15、x2x2x0 x2x11）=0.3333362.（15 分）用二分法求方程fxx3x10在 1.0、1.5区间内的一个根,误差限102运算题 2.答案n6x11.25x21.375x31.31252x41.34375x51.328125x61.32031254x1x12x24x2x3112x3183.（15 分）用高斯 -塞德尔方法解方程组2x1x25x3c；精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料22,取x00、0、0t,迭代三次 要求按五位有效数字运算 .；运算题 3.答案3）迭代公式精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料x23x31k 1111142xkxk k 12118

16、4k1 12xk k 1312252x k1k 124.（15 分）求系数a1、 a2和a3、使求积公式1f xdxaf 1a f 11对于次数2的一切多项式都精确成立12a3f 133；运算题 4.答案11112a1a2a32a1a2a30a1a2a33399313a1a20a34）225. 10 分对方程组3x110 x12x12x24x210 x210 x315x354x38试建立一种收敛的seidel迭代公式,说明理由运算题 5.答案5 解：调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优10 x12x14x210 x2x354x38xxx精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料3x12

17、x210 x315故对应的高斯 塞德尔迭代法收敛.迭代格式为精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料101010 x k11k4 xxk 5123x k11k1 2x4xk8213x k 113xk 12 x k115312取x00、0、0t、经 7 步迭代可得：x*x70.999 991 459、 0.999 950 326、 1.000010t.三.简答题1（5 分）在你学过的线性方程组的解法中 、你最喜爱那一种方法 、为什么.2（5 分）先表达 gauss求积公式 、再阐述为什么要引入它；一.填空题（ 20 分）1. 如 a=2.42315为 2.42247的近似值,就 a 有位有

18、效数字 .2.l0 x、l1 x、lnx为以0、1、n为插值节点的 lagrange插值基函数,就nilixi0.3.设 f x可微,就求方程xfx的牛顿迭代格式为 .4.迭代公式xk1bx kf收敛的充要条件为；5. 解线性方程组 ax=b 其中 a 非奇特,b不为 0的迭代格式精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料xk 1bxkf中的 b 称为. 给定方程组9x1x1x25x284,解此方程组的雅可比迭代格式为 ；填空题答案精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料x2n132.xxxxnf xnn 1n3.1f xn4.b1k 11xk 118914xk xk 215.迭代矩

19、阵,5得分评卷人二.判定题（共10 分）1.如f a f b 0,就f x 0在a、b内肯定有根；2.区间a、b上的三次样条函数为一个次数不超过三次的多项式； 3.如方阵 a 的谱半径a1,就解方程组 ax=b 的 jacobi迭代法收敛； 4.如 fx与gx都为 n 次多项式,且在n+1个互异点 xii0上f xig xi,就f xgx； 1x5.用1x22近似表示ex产生舍入误差； 判定题答案1. 2. 3. 4. 5. 得评卷精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料分人三.运算题（ 70 分）1.（10 分）已知 f01,f32.4,f45.2,求过这三点的精选学习资料 - - -

20、 欢迎下载精品学习资料xnn二次插值基函数 l1x=,f 0、3、4=、 插值多项式p2x=、用三点式求得运算题 1.答案f4.由插值公式可求得它们分别为：1xx4、7、17x7xx3、和2031312151262. （15 分） 已知一元方程x3x1.20；1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简洁迭代法公式判定收敛性 ；3）给出在有根区间的newton 迭代法公式；运算题 2.答案2.（1）f 0 1.20 、f 21.80又f x连续故在0、2内有一个正根 、（2）2x33x1.2、 x3x1.23、 maxx11、 x33x1.2收敛x 0 、221.23n 1nf x

21、3x23、x x33x1.2n 1n（3）3x233. （15分）确定求积公式1fxdx1af0.5bfx1cf0.5的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.运算题 3.答案3精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料11y3. 假设公式对 f x1、x、x2、x3精确成立就有abc0.5abx120.5c00.25abx20.125abx320.25c30.125c0解此方程组得42ac、 b33求积公式为11fxdx14 f 0.5 2f304f0.5、当fxx4时、左边2右边1左边右边代数精度为 3；564. （15 分）设初值问题y3x2yy010 x1.(1)写出用 e

22、uler 方法.步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的 euler 法（梯形法）.步长h=0.2 解上述初值问题数值解的公式,并求解运算题 4.答案y1、 y2,保留两位小数；4.1yn 1yn0.13xn2yn 0.3xn1.2yn2 yy0.23x2y 3x0.2 2yn 1n2nnnn 1=yn0.16xn2yn2 yn 10.6yn 133x32n4n40迭达得y331.575、y2.585124025. （15 分）取节点x00、x10.5、x21,求函数yx在区间 0、1上的二次插值多项式p2 x,并估量误差；e3 63332 4040.240精选学习资料

23、 - - - 欢迎下载精品学习资料x运算题 5.答案e0.51e1e0.5e0.51p2x e5x00.5010.510.500 x0 x0.5=1+2e0.51)x2e12e0.51xx0.5yex、mmaxy1、exp2xfxx0.5x1x0、13.0 x1时,ep2x1xx 3.0.5 x1一.填空题 每题 4 分,共 20 分1.数值运算中主要讨论的误差有和；2.设ljx j0、1、2n 为 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数,就lj xii、 j0、1、2n；nljxj0；3.设lj x j0、1、2n为区间 a、b 上的一组 n 次插值基函数；就插值型求积公式的代数精度为；插值型

24、求积公式中求积系数aj；且najj0；4.辛普生求积公式具有次代数精度,其余项表达式为；5.fxx21、就f1、2、303精选学习资料 - - - 欢迎下载、f1、2、3、4；填空题答案1.相对误差肯定误差精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料1、2.0、ij、ij13. 至少为 nblkxdxab-a4. 3baba41802f4、a、b5. 101.已知函数yf x的相关数据二.运算题由牛顿插值公式求三次插值多项式p3x,并运算3p12的近似值；运算题 1.答案解：差商表由牛顿插值公式：4328p3xn3xx2xx1、3314 133128 1p3212 23 223 2精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料2.（10 分）