昌明论文抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理

1、昌明论文（抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理）文2介绍了一个关于抛物线图形求积定理的证明，本文利用抛物线的一个性质来证明抛物线图形求积定理并对该定理的证明方法进行探究。一、抛物线的一个性质定理：如图1，AM是抛物线的一条弦， D、B在抛物线上，E、C在弦AM上，若DE、与BC都平行于抛物线的对称轴，则证明：如图2，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，建立直角坐标系设抛物线方程为（>0），弦AM所在的直线方程为x = my +n，A(x1 ，y1)，M(x2 ，y2)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)由得y2 2pmy 2pn =0， y1+ y

2、2=2pm，y1y2= 2pn ，x1+ x2=（my1+n）+（my2+n）= m(y1+ y2) +2n =2pm2 +2n，x1x2= n2，设，则xC =，yC =， BCx轴， yB = yC =， xB = = ，BC= xC - xB = - =，同理，DE=，=命题得证特别地，当C为AM的中点，E为AC的中点时，二、抛物线图形求积定理 早期的一些几何学家试图将一圆锥曲线和一直线所围成的图形化为方形，但问题一直未获解决，后来，古希腊数学家阿基米德成功地把一直线和一条抛物线所围成的弓形化为方形，得出了一个著名的阿基米德定理：由抛物线与弦所围成的弓形面积等于同底等高三角形面积的下面用

3、前面介绍的抛物线的性质给出一个证明 如图3，AM是抛物线的一条弦，C是弦AM的中点，BC平行于抛物线的对称轴与抛物线相交于点B，由文2可知AMB和抛物线与弦AM所围成的弓形同底等高 用下面的方法在由弦AB、BM截得的弓形内：分别过弦AB、BM的中点P、Q作抛物线对称轴的平行线交抛物线于点D、G，连结DA、DB、GB、GM得两个内接三角形ADB和BGM设DP、GQ与弦AM分别相交于点E、F，则E、F分别为线段AC、CM的中点，由前面介绍的抛物线的性质知，又PE=BC，所以DP=PE=BC，从而SADP=SADB=SAPE=SABC，则SADB=SABC同理，SBGM=SBMC，所以两个内接三角形

4、ADB、BGM的面积和是AMB面积的 按同样的方式，在由弦AD、DB、BG、GM截得的弓形内分别作出它们的内接三角形，同理可得，这四个内接三角形的面积和是前面两个内接三角形的面积和的 如此无限地继续下去，可得抛物线与弦AM所围成的弓形面积=SAMB +（SADB+SBGM）+= 命题得证三、抛物线图形求积定理证明方法探究 回顾抛物线图形求积定理证明的过程，我们会发现其证明方法实质上是取极限的方法。第一步：分割。将弦AM 2n（nN+）等分，然后过2n-1个分点分别作抛物线对称轴的平行线交抛物线于A1、A2、A2n-1，得到一个抛物线的内接2n+1边形，其面积记为Sn。第二步：求近似和。记B1=S1，Bn= Sn- Sn-1（n2，且nN+），由前面所介绍的抛物线的性质定理可知，数列 Bn 构成一个首项为S1，公比为的等比数列，求和Tn= B1+ B2+ Bn。第二步：取极限。抛物线与弦AM所围成的弓形面积=。参考