第19章 矩形、菱形与正方形

1、第19章 矩形、菱形、正方形1911 矩形的性质专题一：矩形的定义1、如图所示，在四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD成为矩形，则还需要的条件是（ ）A、B=90° B、AD=BC C、ADBC D、ADBC且A=90°2、如图，O为直线MN上一点，P为射线OC上一点，OA、OB分别是MOC、NOC的平分线，PEOB，PFOA，那么四边形PEOF是矩形吗？说说你的理由.专题2：矩形对角线的性质3、如图所示，已知矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为86，矩形的对角线长为13，则矩形的周长是 .4、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，

2、对角线AC和BD相交于点O，CEDB交AB的延长线于点E，试说明AC=CE.专题3：矩形角的性质5、如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D1专题4：矩形性质的综合应用6、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得

3、到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) .A. 669 B. 670 C.671 D. 6727、如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）.A2 B22 C12 D18【知识要点】1、有一个内角为90°的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质：矩形既是轴对称图形（对称轴是经过对边中点的直线），又是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）.矩形是特殊的平行四边形，故具有平行四边形的所有性质；矩形的特性：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分.【温馨提示】矩形的定义包含两个条件，即平行四边形

4、+ 一个角是直角=矩形，两个条件缺一不可.矩形的定义既是矩形的特征，又是它的一个识别方法.1、答案：D2、解：因为PEOB，PFOA，所以四边形PEOF是平行四边形，又因为OA、OB分别平分MOC、NOC，所以AOC=MOC，BOC=NOC，AOB=BOC+AOC =MOC+NOC=（MOC+NOC）=90°，所以四边形PEOF是矩形.3、答案：344、解：因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，AC=BD，所以BEDC.又因为CEDB，所以四边形BECD是平行四边形，所以BD=CE，故AC=CE.5、答案：B 6、答案：B 7、答案：B1912 矩形的判定专题一 综合应用题1如图，

5、已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？解答：连接DE，EB，BF，FD.两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动AE=CF.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分），OAAE=OCCF或AEOA=CFOC，即OE=OF，四边形BEDF为平行四边形（对角线互

6、相平分的四边形是平行四边形）.（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形.运动时间为t，AE=CF=2t，EF=204t=12，t=2（s）.当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cm，EF=4t20=12，t=8（s）.因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形BEDF为矩形.2如图，以ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）对于任意ABC，四边形ADEF是否总存在？解：证明：（1）ABD，BCE都是等边三角形，D

7、BE=ABC=60°-ABE，AB=BD，BC=BEABCDBEDE=AC又AC=AF，DE=AF同理可得EF=AD四边形ADEF是平行四边形（2）四边形ADEF是平行四边形，当DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，FAD=90°BAC=360°DAFDABFAC=360°90°60°60°=150°.则当BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）不一定，当BAC=60°时不存在四边形ADEF专题二 探究创新题3如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随

8、身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）解：方案如下：（1）用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形（2）当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形4平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，小明分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，发现A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）小丽说：我发现四边形ABCD是平

9、行四边形；而小明却说：四边形ABCD 不仅是平行四边形，而且还是矩形呢！你觉得他们二人谁的说法更全面些？试说明理由.解：小明的说法较全面.理由：连接OE，四边形ABCD是平行四边形，DO=OB，四边形DEBF是菱形，DE=BE，EOBD，DOE=90°，即DAE=90°，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形5.如图，AB=CD=ED，AD=EB，BEDE，垂足为E只需添加一个条件，即_，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明. 解：添加ABCD，或添加AD=BC或BE=BC或A=ADC或ADC=90°或A=C或C=90°或ABD=BDC或A=

10、ABC或ADB=DBC或ABC=90°等.根据条件：AB/CD进行证明因为AB/CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以AD=BC因为DE=DC，BE=AD=BC，BD=BD，所以BEDBCD，所以E=C=90°，所以四边形ABCD为矩形【知识要点】1矩形的判定方法1定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形2矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形3矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形【温馨提示】用定义识别矩形应满足两个条件：这个四边形是平行四边形；这个四边形中有一个角是直角，两者缺一不可【方法技巧】我们知道，四边形的内角和为360°

11、，如果已知四边形中有三个角是直角，那么第四个角一定是直角，因此由概念的定义可判断该四边形是矩形所以，在用角来判定四边形是矩形时，只需要判定三个角是直角就行了，而不需要说明四个角都是直角1921 菱形的性质专题1：菱形的定义1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（ ）A20 B18 C16 D15专题2：菱形的边的性质2、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点专题3：菱形的对角线的性质3、如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC6，BD

12、8，则此菱形的边长为（ ）A5 B6 C8 D104、如图，已知菱形ABCD的一个内角，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且，则=度5、如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距离是_cm. 6、如图，已知菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，ABC=116°，AE平分CAD，分别交OD、CD于点F、E，求AFO的度数.7、为迎接“世博会”在上海召开，上海市园林局在解放广场举办了大型园艺会展，下图为某园艺公司将“郁金香”摆成的菱形图案（其中每个小黑点代表一盆郁金香），依照图中规律，第5个图中共摆放的郁金香有 盆. 【知识要点】

13、1、一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、菱形的性质：（1）对称性：菱形是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线；菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.（2）菱形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.（3）菱形的特性：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平一组对角.【温馨提示】【方法技巧】1、答案：C2、解析：由点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动一次，行走的路程是8cm，又2010÷8=2512，故停留在C点.3、答案：A4、答案：255、答案：46、答案：74°7、答案：61.1922 菱形的判定专题一 综合应用

14、题1阅读下述说明过程，讨论完成下列问题：已知：如图所示，在ABCD中，A的平分线与BC相交于点E，B的平分线与AD相交于点F，AE与BF相交于点O，试说明四边形ABEF是菱形证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，（2）ADBC（3）ABE+BAF=180°（4）AE、BF分别平分BAF、ABE，（5）1=2= 12BAF，3=4= 12ABE（6）1+3= 12（BAF+ABE）= 12×180°=90°（7）AOB=90°（8）AEBF（9）四边形ABEF是菱形问：上述说明过程是否正确？答： .如果错误，指出在第 （8）步到第 （9）步推理

15、错误，应在第 （8）步后添加如下证明过程解：（1）不正确（2）、在ABCD中，ADBC，AEB=2，又1=2，1=AEB，AB=BE2已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O现给出四个条件：ACBD；AC平分对角线BD；ADBC；OAD=ODA请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论（1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明解：（1）如：若ACBD，AC平分线段BD，ADBC，则四边形ABCD是菱形证明：如图，设AC与BD交于上点OAC平分BD，BO=DO.ADBC，ADO=CBO.在AOD和COB中， ，AODCOB（ASA

16、），AO=CO，四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，四边形ABCD是菱形；（2）如：若AC平分BD，ADBC，OAD=ODA，则四边形ABCD是菱形反例：如图，四边形ABCD为矩形专题二 探究创新题3园林工人打算在人民公园里设计一个菱形的花坛，要求使菱形两条对角线的长分别为12m和16m，小明设计了下列方案，如图所示（1）小明首先在地上确定两个点A、C，使AC=16m；（2）再确定AC的中点O，然后过O点作EFAC，垂足为O点，分别在OE、OF上截取OD=6m，OB=6m；（3）分别连接AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD就是要确定的菱形花坛，你能说明其中的道理吗？解答：OA=OC，O

17、B=OD，四边形ABCD是平行四边形，又ACBD， ABCD是菱形4给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O在OC上截取OE=OA，连接BE、DE（1）求证AC垂直平分BD；（2）判断四边形ABED的形状证明：（1）AB=AD，点A在线段BD的垂直平分线上BC=CD，点C在线段BD的垂直平分线上AC垂直平分BD （2）AC垂直平分BD，OB=0D，OE=OA，四边形ABED是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又AB=AD，ABED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）5如图，一个直角三角形纸片的顶点A在M

18、ON的边OM上移动，移动过程中始终保持ABON于点B，ACOM于点AMON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想解：（1）AE=AD.理由：ADOC，ACOM，ABO=EAO=90°，AOD+DEA=DOB+ODB=90°，AOD=DOB，ODB=ADE，ADE=AED

19、，AD=AE. （2）菱形.连接DF、EF，点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，AE=FE，AD=FD由（1）得AE=AD，AE=FE=AD=FD，四边形ADFE是菱形.（3）OC=AC+AD.证明：连接EF点F与点A关于直线OP对称，AO=OF.ACOM，MON=45°，OAC=90°，ACO=MON=45°，OF=AO=AC.由（2）知四边形ADFE是菱形，EFABAD=EF，ABON，ABC=90°，EFC=ABC=90°，ACO=45°，ACO=CEF，FC=EF=AD，又OC=OF+FC，OC=AC+AD.6动手操作

20、：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出CAE=CAD，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（1）小颖的理由：ABCD是矩形，AB=CD，E是AB中点，G是CD中点，H是AD中点，AE=DG，AH=DH，又A=D=90°，AEHDGH，EH=GH.同理可证得EF=FG=GH=EH，四边形EFGH是菱形. 小明的理由：ABCD是矩形，ADBC，则DAC=

21、ACB，又CAE=CAD，ACF=ACB，CAE=CAD=ACF=ACB，AE=EC=CF=FA，四边形AECF是菱形（2） ；方案二：设BE=，则CE=12，AE=.由AECF是菱形，则，.比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大【知识要点】1菱形的判定方法1定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：这个判定方法的前提条件是“平行四边形”，绝不能错误地认为“对角线垂直的四边形是菱形”，所以用这个判定方法去判定一个四边形是菱形应先说明它是平行四边形，再说明它的对角线垂直，两者缺一不可3菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形4菱形的

22、判定定理3：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形【温馨提示】用定义识别菱形应满足两个条件：这个四边形是平行四边形；这个四边形中有一组邻边相等，两者缺一不可【方法技巧】结合平行四边形的判定方法，菱形判定定理1也可以改述为：对角线互相垂直平分的四边形是菱形193正方形专题1：正方形性质的应用1、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是（ ）A B C D2、如图，在正方形ABCD的外侧作等边ADE，则AEB的度数为（ ）A10° B12.5° C15° D20°3、如图，四边形ABCD是边长为9的正

23、方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是A1.5 B2 C2.25 D2.54、有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图）；再沿过点D的折痕将角A反折，使得点A落在EF的H上（如图），折痕交AE于点G，则EG的长度为（ ）A. B. C. D. 5、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A、当AB=BC时，它是菱形 B、当ACBD时，它是菱形C、当ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形专题2：正方形与拼图6、从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的

24、小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形如图，可以拼成一个平行四边形如图现有一平行四边形纸片ABCD如图，已知A45°，AB6，AD4若将该纸片按图方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图方式拼图，则得到的大正方形的面积为 7、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足为点M，AM交BD于点F.（1）试说明OE=OF；（2）如图，若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请进行说明，如果不成立，请说明理由.图 图1、解析：因为是边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，所以,过点做HMAB，所以HMCD，又因为AB=1，所以H=，所以，所以，所以它的周长是1+1+2（）=2、答案：C 3、答案：B解析：如图，连结MB，由轴对称性