新华师大第十九章 矩形、菱形正方形教案

1、 第十九章 矩形、菱形与正方形1. 矩形（一）矩形的性质试一试：如图19.1.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?图19.1.1可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形(rectangle)，如图19.1.2所示图19.1.2平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的

2、直线这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：图19.1.3矩形的四个内角都是直角 矩形的对角线相等且互相平分例1如图19.1.3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?解 AOB、BOC、COD和AOD四个小三角形的周长和为86cm，又 ACBD13cm（矩形的对角线相等），AB+BC+CD+DA86-2(AC+BD) 86-4×（cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm练习1. 如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角 (第1题) (第2题)2. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且A

3、OD120°，你能说明 AC2AB 吗?例2如图19.1.4，在矩形ABCD中，AB3， BC4， BEAC于E试求出BE的长图19.1.4解在矩形ABCD中，ABC90°，AC5(勾股定理)又SABC1/2AB·BC1/2AC·BE，BEAB·BC/AC3·/2.4练习1. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系 (第1题) (第2题)2. 如图，在矩形ABCD中，AOB60°， AB3.6，试求AC与AD的长(精确到0.1)§19.1（2）矩形的判定一 知识点

4、：1.可以根据矩形的原始定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2.如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形。3. 如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。二学习过程：1按教材的思路讲解，由实例和同学一起推导判定方法，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三例题及习题：教材中的题目。矩形的判定习题一基础与巩固1下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）AABCD，AB=CD，AC=BD BA=B=D=90°CAB=BC，AD=CD，且C=90° DAB=CD，AD=BC，A=90°

5、;2已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：ABCD，AB=CD，BCAD，BC=AD，AC=BD，A=90°从这6个条件中选出（直接填写序号）_个，能使四边形ABCD是矩形3已知：如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且AOD=BOC求证：ABCD是矩形4已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点求证：四边形BMDN是矩形5已知：如图，AB=AC，AE=AF，且EAB=FAC，EF=BC求证：四边形EBCF是矩形拓展与延伸6已知：如图，在ABCD中，以AC为斜边作RtACE，且BED为直角求证：四边形ABCD是矩形7.

6、如图，以ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即ABD、BCE、ACF请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？参考答案:1C2（答案不唯一，只要写出一组即可），3由ABCD，可得ADBC，ABDC，A+B=190°，AOD=CDO，BOC=DCO又AOD=BOC，CDO=DCOOD=OC又AO=BO，ADOBCOA=B=90°，ABCD是矩形4由等边三角形的性质，可推出DMB=MBN=BND=90°，可得四边形BMDN是矩形5AE=AF，EAB=FAC，AB=AC，AEBAFCEB=

7、FC，ABE=ACF又AB=AC，ABC=ACBEBC=FCBEB=FC，EF=BC，四边形EBCF是平行四边形EBFC，EBC+FCB=190°EBC=FCB=90°，EBCF是矩形6证明：连接OE在ABCD中，OA=OC，OB=OD以AC为斜边的RtACE中，OE为斜边AC上的中线，OE=AC，即AC=2OE以BD为斜边的RtBDE中，OE为斜边BD上的中线，OE=BD，即BD=2OE，AC=BD，四边形ABCD是矩形智力操 （1）四边形ADEF是平行四边形理由：ABD、BCE是等边三角形，ABD=EBC=60°ABD-EBA=EBC-ABE，即DBE=ABC

8、又DB=AB，EB=CB，EDBCABDE=AC=AF同理CEFCBA，EF=AB=DA，四边形ADEF是平行四边形； （2） 当ABC中的BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3） 矩形的判定习题二一、选择题1下列命题中，真命题是（ ）A两组对角分别相等的四边形是矩形;B有两个角是直角的四边形是矩形;C有一个角是直角的平行四边形是矩形;D有一个角是直角，且一组对边相等的四边形是矩形2在矩形ABCD中，BC=2，AEBD，垂足为E，BAE=30°，那么ECD的面积是（ ）A2 B C3如图1所示，矩形ABCD中，AE平分BAD交BC于E，CAE=15°，则下面

9、的结论：ODC是等边三角形；BC=2AB；AOE=135°；SAOE=SCOE，其中正确的是结论有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 图1 图2 图3二、填空题1在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC=_2如图2，矩形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，若AE=1，EF=2，则AB=_，BC=_3矩形的两条对角线的夹角为119°，矩形的宽为3，则矩形的面积为_三、解答题1已知：如图3所示，ABC中，AB=AC，P是BC上一点，PEAB于E，PFAC于F，CGAB于G求证：PE+PF=CG2已知：四边形ABCD中，AB=CD，A+D=1

10、90°，AC、BD相交于点O，AOB是等边三角形 求证：四边形ABCD是矩形答案:一、1C 2C 3C二、115° 22 2 39三、1证明略 提示：过点P作PHCG于H，则四边形PEGH是矩形，再证CPHCPF，得CH=PF，PE+PF=GH+CH=CG 2证明略 提示：证BADCDA，得D=C，证D=90°，四边形ABCD是矩形19.2. 菱形(一）菱形的性质试一试将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus)如图19.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻

11、边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分 图19.2.5 图19.2.6如图19.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线这样，菱形具有以下的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角例3如图19.2.7，在菱形ABCD中，BAD2B，试求出B的度数，并说明ABC是等边三角形图19.2.7解(1) 在菱形ABCD中，B+BAD190°(两直线平行，同旁内角互补)又BAD2B，B60°(2) 在菱形中，（菱形的四条边都相等）， 在中，（等边对等角）又B+BAC+BCA190°(三角形内角和公式

12、)，BACBCAB60°ABBCAC(等角对等边)，即ABC是等边三角形菱形的应用非常广泛现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用 可伸缩的衣帽架练习练习1. 如图，在菱形ABCD中，AB5， OA4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度(第1题)2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半例4如图1928，已知菱形ABCD的边长为2cm，BAD120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长 图19.2.8解(1) 在菱形ABCD中，BAO12BAD12×°60

13、76;(菱形的每一条对角线平分一组对角)又在ABC中，ABBC，BCABAC60°(等边对等角)，ABC190°-BCA-BAC60°，ABC为等边三角形，ACAB2(cm)(2) 在菱形中，（菱形的对角线互相垂直）， 为直角三角形， BOAB2-AO222-123cm(勾股定理)，BD2BO23(cm)练习1. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线长6cm，求这个菱形的周长和它的面积 (第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数§19.2（2）菱形的判定一 知识点：1

14、.可以根据定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱形。3.四条边都相等的四边形是菱形。4. 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。二学习过程：1按教材的思路讲解，由实例和同学一起推导判定方法，并归纳相关的知识点。2. 和学生一起完成课后习题。三例题及习题：教材中的题目。菱形的判定习题一一、选择题1下列性质中，为菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（ ）A对角线互相平分 B对角线相等 C邻角相等 D邻边相等2菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条3若菱形的周长等于它的高的8倍，则菱形一定互补角度数分别为

15、（ ）A30°，150° B45°，135° C60°，118° D80°，100°4在菱形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，且E、F分别是BC、CD的中点，那么EAF等于（ ）A75° B55° C45° D60°二、填空题1有一组_的平行四边形叫做菱形，菱形的_都相等2菱形的对角线_，并且_3如果菱形的高是5cm，相邻两个内角的度数之比为1：5，那么它的边长为_cm4菱形较短的对角线长为4，两邻角的比为1：2，则菱形的面积为_，另一条对角线的长为_三、解答题1菱形的

16、周长为12cm，一条对角线长为3cm，求菱形各角的度数2如下图，在ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点（1）求证：四边形BDEF是菱形（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长答案:一、1D 2B 3A 4D二、1邻边相等 四边 2互相垂直 平分一组对角 310 48 4三、1解：菱形各角度数分别为60°，118°，60°，118° 2（1）证明：D、E、F分别是BC、AC、AB边中点，DEAB，EFBC，BDEF为平行四边形又AB=BC，BF=BD，BDEF是菱形 （2）AB=12cm，BF=6cm，菱形BDEF的周长为2

17、4cm菱形的判定习题二一、选择题1下面性质中，菱形具有而矩形没有的是（ ）A对角相等 B对角互补 C内角和为360° D对角线平分对角2下列图形中，不一定为菱形的是（ ）A两对角线互相垂直平分的四边形 B有一条对角线平分一个内角的平行四边形C四条边都相等的四边形 D用两个全等的等边三角形拼成的图形3如图1，在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F为垂足，且E、F分别是BC、CD的中点，则EAF的度数为（ ）A75° B60° C45° D30° (1) (2)二、填空题1四边都相等的_形是菱形2对角线_的四边形是菱形3菱形周长是40，它的一

18、条对角线是10，则菱形相邻两角度数是_4延长等腰ABC顶角平分线AD到E，使AD=DE，连结BE、CE，则ABEC是_形三、解答题1已知：如图2，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形2如图，ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形3如图，已知在ABC中，AB=AC，B、C的平分线BD、CE相交于点M，DFCE，EGBD，DF与EG交于N求证：四边形MDNE是菱形答案:一、1D 2D 3B二、1四边 2互相平分且垂直 360° 118° 4菱三、1证明：DEAC DF

19、AB，AEDF为平行四边形，AD平分BACBAD=CAD，DEAC，ADE=CAD，BAD=ADE，AE=DE，四边形AEDF为菱形 2证明：易证AOECOF，AE=CF又ADBC，四边形AFCE为平行四边形，又ACEF，四边形AFCE是菱形 3证明：DFCE，EGBD，四边形DMEN为平行四边形，ABC=ACB，DBC=ECB，MB=MC，易证BCDCBE，BD=CE，EM=DM，四边形DMEN为菱形19.3 正方形（一）正方形的性质正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图19.3.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角所以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有

20、一组邻边相等的矩形正方形是中心对称图形，也是轴对称图形 图19.3.9 图19.3.10例5如图19.3.10，在正方形 ABCD 中，求ABD、DAC、DOC的度数解 由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分， ABDDAC90°×1/245°，DOC90°正方形还有许多有趣的性质例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形练习1. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形? （）（）2. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积习题1

21、9.31. 如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角AOB60°求这个矩形的周长(精确到0.1cm) (第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积(第3题)3. 利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半阅读材料黄金矩形看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那么可以发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形 将一个正方形分成 在一个矩形中 用圆规以A点为圆心、两个相等的矩形 引一条对角线 AB为半径画一圆弧延长底边与弧相交于一点，过交点画底边的垂线，与顶边延长线交于一点，这样我们就画成了黄金矩形§19.3（3）正方形的判定一 知识点：1.有一个角是直角的菱形或有一组邻边相等的矩形是正方形。二学习过程：1按教材的思路讲解，由实例和同学一起推导判定方法，并归