高考数列总复习 完整

1、nn1， 奇在数列高考知识点大扫描知识网络数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质， 依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；a= f ( n )数列通项：n2、等差数列1 、定义 当 n ÎN ,且 n ³2 时，总有a =a +( n -1)d2 、通项公式n 1an +1-a =d ,( d常) n，d 叫公差。3 、前 n 项和公式由S =a +a

2、 +L +a , S =a +a n 1 2 n n n n -1+L +a1，相加得a +a n ( n -1)S = 1 n n ， 还可表示为 S =na + d ,( d ¹0) 2 2，是 n 的二次函数。特别的，由a1+a2 n -1=2an可得S2 n -1=(2 n -1)an。4、由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则 A称为 a与b 的等差中项若b =a +c2，则称 b 为 a与 c的等差中项5、等差数列的性质：（1） m +n =p +q （ m 、 n、 p、 q ÎN*），则a +a =a +a m n p q；特别地，

3、若 2 n = p +q（ n、 p、 q ÎN* ），则2a =a +a n p q（2） S ， S -S ， S -S 成等比数列 n 2 n n 3 n 2 n（3）若项数为 2 n (nÎN*)，则S -S =nd 偶 奇（4）若项数为 2 n -1(nÎN*)，则S2 n -1=(2n-1)anS n=S n -1偶3、等比数列n1、 定义当 n ÎN ,且 n ³2 时，总有an =q ( q ¹0) an -1, q 叫公比。2、 通 项 公 式 ：a =a qn 1n -1=a qmn -m,在 等 比 数 列 中

4、， 若m +n = p +q =2r,则a ×a =a ×a =a m n p q r2.3、 、在 a与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，则 G 称为 a 与 b 的等比中项若G2=ab，则称 G 为 a与 b 的等比中项4、等比数列的前n项和的性质：（1 ） m +n =p +q （ m 、 n、 p、 q ÎN* ），则a ×a =a ×a m n pq；若 a是等比数 n列，且 2 n = p +q（ n、 p、 q ÎN*），则a 2 =a ×a n p q（2） S ， S -S ，

5、 S -S 成等比数列。 n 2 n n 3n 2 n5、 前 n 项和公式:由S =a +a +L +a , qS =a +a +L +a +a n 1 2 n n 2 3 nn +1， 两式相减，当q ¹1 时， S =a (1-q n ) a -a q1 = 1 n ,( q ¹1) 1 -q 1 -q；当q=1时 ，sn=na1。关于此公式可以从以下几方面认识： 不能忽视S=a (1-q n ) a -a q 1 = 1 n1 -q 1 -q成立的条件：q¹1。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。 公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得

6、式子能够求和的情形。如 ， 公 差 为 d的 等 差 数 列a n，S =a x +a x n 1 22+L +a x nn， 则xS =a xn 12+a x23L +an -1xn+a xnn +1，相减得S (1 -x ) =a x +dx n 12+L +dxn-a xnn +1，当x¹1时，Sn(1-x ) =a x +1dx (1-x n -1) 1 -x-a xnn +1，a x -a xn +1 dx 2 (1-x n -1) S = 1 n +1 -x (1-x ) 21当x=1时 ， ；第一节等差数列的概念、性质及前 n 项和题根一等差数列a 中， na6+a +

7、a +a =20 9 12 15，求 S20思路等差数列前 n 项和公式Sn=( a +a ) n n ( n -1) 1 n =na + d2 2：1、 由已知直接求 a ，公差 d.12、 利用性质m+n = p +q Þ a +a =a +am n pq请你试试 111、 等差数列a 满足na1+a +L +a 2 101=0，则有 （ ）A、a +a1 101>0B 、a +a2 100<0C、a +a =0 3 99D 、a =51512、 等差数列中,a +a -a =8,a -a =4,求3 7 10 11 4S13。第 1 变求和方法倒序相加法变题 1 等

8、差数列a 共 10 项，na1+a +a +a =20 2 3 4，an+an -1+an -2+an -3=60， 求 Sn.思路已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想 S 公式推导方法。n请你试试 121、 等差数列a 前 n 项和为 18 ，若nS =1 , a +a 3 nn -1+an -2=3,求项数 n .2、 求和S =nC1n+2C2n+L +nCnn。第 2 变已知前 n 项和及前 m 项和，如何求前 n+m 项和变题 2 在等差数列a 中，S =a,S =b,(m>n) ，求 S 的值。n n m n+m 思路 S , S , S n mm +n下标存在关系

9、： m+n=m+n, 这与通项性质m +n = p +q Þ a +a =a +am n pq是否有关？请你试试 131、 在等差数列a 中，nS =156，S =559，求S15。2、在等差数列a 中，nS3=1 ， S =3 ，求 S 9 12。第 3 变已知已知前 n 项和及前 2n 项和，如何求前 3n 项和变题 3 在等差数列a 中，nS10=20 ， S =40 ，求 S2030思路由S10, S , S2030寻找S10, S20-S , S -S10 3020之间的关系。请你试试 141、在等差数列a 中，na1+a =3 ， a +a =6 ，求 a +a 2 3

10、4 7 8第二节等比数列的概念、性质及前 n 项和题根二等比数列a ， na =4, a =6 5 7,求 a 。9思路 1、由已知条件联立，求，从而得2、由等比数列性质，知成等比数列。 请你试试 2 1等比数列a ， na >0, q =2 1，若 ，则 _ 。变题 2 等比数列a ，na1第 1 变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 +a +a =2, a +a +a =6 ，求 a +a +a2 3 4 5 6 10 11 12。思路 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 请你试试 221、等比数列a ，nq ¹-1时，S2=2, S =6 ，求 S 46。2、等比数

11、列a ，nq ¹-1时，S2=1, S =21 ，求 S 64。第三节常见数列的通项求法一、公式法例 1已知数列 a 满足 nan +1=2 a +3 ´2 nn， a =2 ，求数列 a 的通项公式。 1 n二、累加法例 2已知数列 a 满足 a n n +1=a +2n +1，a =1 ，求数列a 的通项公式。 n 1 n例 3已知数列 a 满足 nan +1=a +2 ´3 nn+1， a =3 1，求数列 a 的通项公式。 n三、累乘法例 4已知数列 a 满足 a nn +1=2( n +1)5n´a ， a =3n 1，求数列 a 的通项公式。

12、 n四、作差法例 5 （数列 a 的前 nn式项和为 S ，且满足 a =1 ，2 S =( n +1)a . 求 a 的通项公n 1 n n n ann11ïïî五，构造法例 6数列 a 中，若 a =2 n 1， an +1= n ，求数列 a的通项公式 a 。 1 +an例 7第四节数列 a中,a =1, an 1常见数列求和方法n +1=2a +1, 求通项a 。 n n1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： S =nn( a +a ) n ( n -1) 1 n =na + d2 2ìna ( q =1)（2

13、 ）等比数列的求和公式 S =ía (1 -q n )n 11 -q论）( q ¹1)（切记：公比含字母时一定要讨2公式法：nåk =1k2=12+22+32+L +n2=n( n +1)(2n +1)63错位相减法：比如 a等差,b等比,求a b +a b +L +a b 的和.n n 1 1 2 2 n n4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常 见 拆 项 公 式 ：1 1 1 1 1 1 1 = - ； = ( - )n ( n +1) n n +1 n( n +2) 2 n n +21 1 1 1= ( - )(2 n -1)(

14、2 n +1) 2 2 n -1 2n +1n ×n!=( n +1)!-n!5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求 和。6合并求和法：如求 1002-992+982-972+L+22-12 的和。7 倒序相加法：8 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用；nn3转化思想的运用； （三）例题分析：例 12错位相减法求和例 2已知3. 裂项相消法求和，求数列a 的前 n 项和 S .例 3.求和 Sn=2 2 4 2+ 1 ×3 3 ×

15、5+L+(2 n) 2(2n -1)(2n +1)4. 倒序相加法求和例 4 求证：C0n+3C1n+5C2n+L +(2 n +1) Cnn=( n +1)2n求值：1 1 1n1 1 1 111nbnSn1n45其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例 5已知数列a,a =-2 n -( -1) n nn, 求 Sn。第四节递推数列的通项公式及前 n 项和综合例 1数列 a 的前 n 项和为 S ，且满足 a =1 ， 2S =( n +1)a .n n 1 n n（1）求 an的通项公式； （2）求和 T = + +L +2a 3a ( n +1)a 1 2 n.例2 已知数列

16、 an，a =1，点 P ( a ,2a 1 nn +1)( n Î N *) 在直线 x -12y +1 =0上.（1）求数列 a 的通项公式；n（2）函数 f ( n ) =最小值.+ + +L+ ( n Î N *, 且n ³2) ，求函数 f ( n ) n +a n +a n +a n +a1 2 3 n例3 设数列 an的前 n 项和为 S ，且 S =c +1 -ca ，其中c 是不等于 -1 和 0 的实常n n n数.（1）求证:an为等比数列；（2）设数列 an的公比q = f(c)，数列bn满足 b = , b = f3(bn -1)(nÎN,n³2)，试写出ì1 üí ýî þ的通项公式，并求 b b +b b +L +b b 的结果.1 2 2 3 n -1 n例4已知数列a的前n n项