(完整word版)2003-2004(二)高等代数期末试题B

1、系_ 班_姓名_题号一二三四总分得分2003 年-2004 年第二学期数学系 2003 （本）高等代数期末试题（A）一、填空题：（1515 分，每小题 3 3 分）1 1、 若是 W Wi，W W2是 V V 的两个有限维子空间，则 dimWdimWi+dimW+dimW2_dimdim（ W W1+W+W2），当且仅当_ 时，等号成立。2 2、 设 ：1, ：2：n是 V V 的一个基，（二打,J） = = （1,：2n） A A，则当 A A 是矩阵时， 5 5 2 27 7也是 V V 的基3 3、在 R R3中，线性变换二（X Xi, X X2，X X3） = =（X Xi, 0 0，

2、X X3）只有特征根_4 4、n n 维欧氏空间 V V 中向量匕在标准正交基%57%57n下的坐标是（X Xi, X X2，X Xn）,那么（，i） = =_,1 1| |= =_。5 5、如果 W W 是域 F F 上有限维线性空间 V V 的一个子空间，则 W W 在 V V 中的余维数为_。二、选择题：（1515 分，每小题 3 3 分）6 6、一个实二次型可以分解成两个不成比例的实系数一次齐次式，则它必有（）A A 秩为 2 2 且符号差为 2 2; B B 秩为 0 0; C C 秩为 2 2 且符号差为 0 0; D D 秩为 1 1。7 7、若把同构的子空间称作一类，则 n n

3、 维向量空间的子空间共分成（）a b cda b9 9、n n 维欧氏空间 V V 的一个线性变换二关于任意标准正交基的矩阵为实对称矩阵是 二为对称变换的（）A A 充分而不必要条件；B B 什么条件都不是；C C 必要而不充分条件；D D 充分必要条件- 密- 封-线-8 8、A A 1 1 类；B B 2 2 类；C C n n 类;D D (n+1n+1)类。设线性变换二在基1/ 2下的矩阵是,在 2 1下的矩阵是（a +b a2 +d cc + dg _c +b _d1010、正确的断语是（A A 线性变换二在一个基下可以对角化，则 二在任何基下可以对角化；B B 线性变换;在一个基下

4、不可以对角化，则c在任何基下都不可以对角化；C C 线性变换匚在一个基下可以对角化，则二在无限多个基下可以对角化；D D 线性变换匚在无限多个基下不可以对角化，则 匚在任何基下不可以对角化。三、计算题：（共 5050 分）11111、在RX3中；给定一个内积为（f（x）,g（x）=匚f （x）g（x）dx，求Rxb的一个标准正交基。（7 7分）0 0、0 1，（ 1 1）证明：当k兰3时，有AA+A2-I；（ 7 7 分）。（2 2）求A200。（ 7 7 分）1r 21212、求矩阵A= 1-23282的若当标准形14 3,（7 71313、设A= 11414、设数域 K K 上的 n n

5、级矩阵 A A 满足A3=3A2 A-3I，判断 A A 是否可以对角化。（7 7 分）1515、设二是 R R3的线性变换,；（x, y,z） =（x 2y _z, y z,x y _2z）。求:（1 1） 二的值域匚 V V 的一组基和维数；（7 7 分）（2 2） 二的核匚（0）的一组基和维数。（8 8 分）四、证明题：（共 2020 分，其中 1717 小题（2 2）选作，不计入总分）1616、设二是 n n 维欧氏空间 V V 的一个线性变换，证明二为对称变换的充要条件为二有 n n 个两两 正交的特征向量。（1010 分）1717、设数域 F F 上 n n 维向量空间 V V 的线性变换匚在基1,2，n下的矩阵为*01000、0010000001000001,2,，k都属于 V Vo； （1010 分）（选作）（2 2） 00，L（j,