指数对数概念及运算公式_2683

1、指数函数及对数函数重难点根式的概念：定义：若一个数的n 次方等于 a( n1, 且 nN) ，则这个数称 a 的 n 次方根 .即，若xna ，则 x 称 a 的 n 次方根 n1且 n N) ，1）当 n 为奇数时， a的 n 次方根记作 na ；2）当 n 为偶数时，负数a 没有 n 次方根，而正数a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作na(a0) .性质： 1） (n a ) na ；2）当 n 为奇数时， n a na ；3）当 n 为偶数时， n a| a |a( a0)a(a0)幂的有关概念：规定： 1） a na aa( nN* ， 2 ） a 01(a0) ，n 个1 ( p

2、m3） a pQ， 4） a nn a m(a 0, m 、 nN *且 n 1)a p性质： 1） a ra sa r s (a0, r 、 s Q），2） (a r ) sa r s (a0, r 、 sQ），3） (a b) rarbr (a0,b0, rQ）（注）上述性质对r、 sR 均适用 .例 求值（1） 82115163（2） 252（3） 2（4） 8134例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1) 3 a 4a（） aaa（） 3( ab)2（） 4( a b) 3（） 3ab 2a 2 b（6） 4(a 3b3 ) 2例.化简求值272110（）3（）2（5

3、（2）（1 ）80.0021023123152560. 1250.1 12（2） (0.0273 ) 2.5(32)539a 33 a7 3 a13（3 ） a 2211115（4 ） 2a 3b26a2 b33a 6 b 6 =（5）2 33 1.56 12指数函数的定义：定义：函数yax (a0,且 a1) 称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为(0,) ，3）当 0a1时函数为减函数，当a1 时函数为增函数 .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（ 1） yx22（ 2）（ 4） yx（ 5）（ 7） yx x（8 ）yx（3 ） yx( 2)2yx2（ ）4x

4、26 yy (a 1)x（ a 1，且 a2 ）例： 比较下列各题中的个值的大小2.5与3（ 1） 1.71.7( 2 )0.8 0.1与 0.80.2( 3 )1.70.3与 0.93.1例：已知指数函数f (x)a x （ a 0 且 a 1 ）的图象过点（3，），求f (0), f (1), f (3)的值.思考：已知 a0.80.7 , b0.80.9 , c1.20.8 , 按大小顺序排列a, b, c .例 如 图 为 指 数 函 数 (1) ya x , (2) y b x ,(3) y c x , (4) y d x ， 则ya, b, c, d 与 1 的大小关系为a bc

5、dOx（ A） ab 1 c d（ B） b a 1 d c（ C） 1 a b c d（ D） a b 1 d c2x1）1、函数 y是（2x1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数2、函数 y1）的值域是（2x1A、,1B、,0U0,C、 1,D、( , 1)U 0,3、已知 0 a1,b1 ,则函数 yaxb 的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1例求函数y2x2x的值域和单调区间例 若不等式3x2 2ax>(1 x+1a 的取值围为 _.)对一切实数 x 恒成立，则实数33x 12x(,1，则 f(x)值域为 _.f(x)=2x1,3

6、1 x考查分段函数值域 .【解析】x ( ,1时 ,x 1 0,0<3 x 1 1, 2<( )1f xx (1,+ )时，1 x1 x<0,0<3 <1, 2< f(x)< 1 f(x)值域为 ( 2, 1【答案】 (2, 1例、 已知 f (exe x )e2 xe2x2 ，则函数f ( x) 的值域是 _例 点（ 2， 1）与（ 1， 2）在函数fx2axb 的图象上，求 fx 的解析式例.设函数 f (x)2 x 1x1，求使f (x)22 的 x 取值围例 已知定义域为2xbR 的函数 f ( x)是奇函数。2x 1a（）求 a,b 的值；（

7、）若对任意的tR ，不等式f (t 22t )f (2t 2k)0 恒成立，求k 的取值围；对数的概念：定义：如果a(a0, 且 a1) 的b 次幂等于N，就是a bN，那么数b 称以a 为底N的对数，记作logaNb,其中a 称对数的底，N称真数.1）以10 为底的对数称常用对数，log 10N 记作lg N，2）以无理数e(e2.71828) 为底的对数称自然对数，log eN 记作 ln N基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数），2） log a 10 ，3） log a a1，4）对数恒等式： alog a NN例 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.4（2） 2611

8、m5.73（ 1） 5 =64564（3）( )3（ 4） log 1 164（ 5） log10 0.012（ 6） log e 102.3032例：求下列各式中x 的值（ 1） log 64x2（ 2） log x 8 6（ 3） lg100x（ 4 ） ln e2x3分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.练习 ：将下列指数式与对数式互化，有x 的求出 x 的值 .114（ 3） 3x1（1）52（2 ） logx5227（4） (1) x64（ 5） lg 0.0001 x（ 6） ln e5x4例 利用对数恒等式 alog a NN ，求下列各式的值：1)log 4

9、3(1log 5 41log 3 5(1) ()()453log 1 410log 0. 01 2log 1 2(2) 3377(3) 25log 5 249log 7 3100lg6log1(4) 2 log 4 123log 9 27525 3运算性质：如果 a 0, a0, M0, N0, 则1） log a (MN )log a Mlog a N ；2） logaMlog aMlog aN ；N3） log a M nnlog a M ( nR）.换底公式： log aNlog mN0, m 0, m 1, N 0),( a 0, alog m a1） log a b log b a1

10、 ，2 ） log am b nn log a b.m对数函数的运算规律例 用 log a x ， log a y ， log a z 表示下列各式：（ 1 ） log a xy ；（ 2） logax2y z3z解：（ 1） log axy（ 2） loga x2yz3zlog a ( xy) log a zloga (x2y )loga3 zlog a x log aylogaz ；log a x2logayloga3 z2log ax1 loga y1 log a z 23例 求下列各式的值：（1 ） log 2 4725 ；（ 2） lg 5 100 解：（ 1）原式 = log 2

11、47log 2 25= 7log 2 4 5log 2 2 725119 ；（ 2）原式 =1 lg10 22 lg102555例计算：（ 1） lg14 21g7lg 18 ；lg 243lg 7（ 2）lg 9；3(3)(4)lg2 ·lg50+(lg5)2(5)lg25+lg2 ·lg50+(lg2)2解：（ 1） lg 142 lg 7lg 7lg 18lg(2 7)2(lg 7lg3) lg 7 lg(3 22)3lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20 ；lg 243lg 355lg 35；（ 2）lg 322lg 32lg 9例 计算：（ 1）

12、51log 0.2 3；（ 2） log 4 3 log9 2log2432解：（ 1）原式 =55515 ；log31150.2log5353115153（2） 原式 =2log 2 3 log 3 2log 2 244224例 求值： (1)；(2)；(3)(3).例 求值(1) log 89·log 27 32(2)(3)(4)(log2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)对数函数性质典型例题例比较下列各组数中两个值的大小：（ 1 ） log 2 3.4 ， log 2 8.5 ； （ 2 ） log 0.3 1.8 ， lo

13、g 0.3 2.7 ；解：（ 1）对数函数ylog 2x 在 (0,) 上是增函数，于是log 2 3.4log 2 8.5 ；（ 2）对数函数ylog 0.3x 在 (0,) 上是减函数，于是log 0.3 1.8log 0.3 2.7 ；2、比较大小（ 1）log 2 12 _log 2 (a 2a1)(2) log a_log ae, (a1)3 若 log a(a21)log a 2a0 ，则a 的取值围是（）（A）(0,1)（ B） (0, 1)2（C） (1 ,1)2（D）(1,)4 已知alog 0.70.8,blog 1.10.8,c1.10.7，则a, b,c的大小关系是（）

14、（A）abc（ B） bac（ C） cab（ D） bca例 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log 23.4，log 28.5(2)log0.31.8，log 0.32.7(3)loga5.1， loga 5.9(a 0 且 a1)例 如何确定图中各函数的底数a， b， c，d 与 1 的大小关系？提示 ：作一直线y1 ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数. 0 c d 1 a b例 求下列函数的定义域.x x(1) y= (2) y=ln(a -k ·2)(a 0 且 a1 ，k R).例求函数 ylog 1 ( x22x 3)的单调区间2解：设 ylog

15、1 u ， ux22x3 ，由 u0 得 x22x30 ，知定义域为2( ,1)(3,) 又 u( x1) 24，则当 x (,1)时，u 是减函数；当 x (3, )时， u 是增函数，而 ylog 1 u 在 R 上是减函数2ylog 1( x23 x3)的单调增区间为 (, 1) ，单调减区间为 (3, )2例 函数 ylog 0.52xlog0.5x 2的单调减区间是。2例 已知 y=log 4(2x+3 x ).（ 1）求定义域；（ 2）求 f(x)的单调区间；（ 3）求 y 的最大值，并求取最大值时x 值 .考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】 （1）由 2 +3 x2

16、解得 1< <3>0,xx f(x)定义域为 x| 1< x<3(2)令 u=2 x+3 x2，则 u>0, y=log 4u22由于 u=2 x+3 x = (x1) +4再考虑定义域可知，其增区间是（1 ，1），减区间是 1, 3又 y=log 4u 为 (0,+ )增函数，故该函数单调递增区间为（ 1，1，减区间为 1 ，3）22 4（ 3） u=2 x+3 x = (x1) +4 y=log 4u log 44=1故当 x=1 时， u 取最大值 4 时， y 取最大值1.例 求函数 ylog 3 ( x26x10)的最小值变式 求函数f ( x)

17、lg(x28x7) 的定义域及值域例 已知函数=f(2x)定义域为 1， 2 ,则=(log 2)的定义域为（）yy fxA.1，2B. 4， 16C.， 1D.（ ,0考查函数定义域的理解 .【解析】由 1 x 2 2 2x4, y= f(x)定义域为 2 ，4 由 2 log 2x 4,得 4 x 16【答案】B例 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg( x)，(2)y=log 2 |x 1|(3)y =|log 1 (x1)|，(4)ylog2 (1 x)2例 已知函数 f (t) =log 2t， t2, 8.（ 1）求()的值域；f tG（ 2）若对于G 的所有实数 x

18、，不等式 x2+2 mxm2+2 m 1 恒成立，数 m 的取值围 .例 已知函数f(x)=lg 1a2a 1,其中a为常数，若当x(, 1, f(x)有意义，数a2 x4 xa时的取值围 .分析 ：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难， 故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来， 重新认识a与其它变元 ( )的依存关x系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明” .12x4 xa2123解：2a>0, 且 a a+1=( a) +>0,a124 1+2x+4x·a>0, a>( 1x1x ) ,42当 x (

19、, 1时 , y=1与 y=14 x2 x 都是减函数，=11y(4x2x ) 在 ( , 1上是增函数， a> 3故 a 的取值围是 (3, +).,44例 已知 a>0且 a 1 ,f (log a x ) =a(x 2a1(11)max= 34x2x4,1)x(1)求 f(x)；(2)判断 f(x)的奇偶性与单调性；2(3)对于 f(x) ,当 x ( 1, 1)时 , 有 f( 1 m ) +f (1 m ) < 0 , 求 m 的集合 M .解： (1)令 t=log ax(t R)，则xat, f (t)a(a tat ),f ( x)a( a xa x ), (

20、 xR).aa 21a21a(2)f (x)1(axx)f ( x),且x R,为奇函数 当a时0,a 2af ( x).1 , a21u(x)axax为增函数,当a时类似可判断为增函数 综上无论a或0 a 1,01 ,f (x).,1f(x)在 R 上都是增函数 .(3)f (1m)f (1m2 )0, f ( x)是奇函数且在 R上是增函数 ,f (1m)f (m21).又x( 1,1)11m11m 2111m2.1m m21例 已知函数 f ( x)1log 2 1x ，求函数 f (x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性x1x例、已知函数f ( x)lgkx1 ,( k R且 k0)

21、 .x1（）求函数f ( x) 的定义域；（）若函数f ( x) 在10 ， + )上单调递增，求k 的取值围 .3x2（）1函数 f ( x)lg( 3x 1) 的定义域是1xA( 1,)B (1 ,1)C ( 1,1D( ,1 )33332 已知函数f（ ） =lg （ 2xb）（b为常数），若x 1，+ 时， （） 0恒成立，则xfx（）Ab 1B b 1C b 1D b=13函数 =x22x 3的单调递减区间为（）yA（， 3）B（， 1）C 1， + D 3， 14设 （）是定义在A上的减函数， 且 （ ） 0，则下列函数：=3 2（ ）, =1+ 22, =f xf xyf x y

22、f (x)y f（ x） ,y=1 f ( x)，其中增函数的个数为（）A1B 2C 3D 45、 .若集合 M=y|y=2 x, P=y|y=x1 , MP=（）A y|y>1B y|y 1C y|y>0 D y|y 06、设 y1 40.9 , y2 80.48 , y3121.5，则（）A、 y3y1 y2B、 y2y1 y3C、 y1 y3 y2D、 y1y2 y37、在 blog (a 2) (5a) 中，实数 a 的取值围是（）A、 a5或a 2B、 2a 3或 3 a 5C、 2 a 5D、 3 a 48、已知函数n3n10N ，则 f (8) 的值为（f (n)5)

23、n，其中 n）f f (n10(A) 2(B) 4(C)6(D)79、 函数 yxa x(0 a1)的图象的大致形状是（）x10当 a 0 且 a 1， x 0， y 0， n N* ，下列各式不恒等的是（）n1 log a xB log ax nlog a n xA log a xnC xlog a x xDlog axn log ayn n（ log axlog ay）log 8 911的值是()log 2 3A 2B1C 3D 232212 函数 f(x)=ln x 零点所在的大致区间是xA（1， 2）B（2，3）C （ e， +）D 1,1 和 3,4e13若关于 x 的不等式 x24xm 对任意 x 0,1 恒成立，