高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.8 函数与方程 Word版含答案_20210103224745

1、淘宝店铺：漫兮教育第八节函数与方程函数的零点与方程的根(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解知识点一函数的零点1函数的零点(1)定义对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0成立的实数x叫作函数yf(x)(xd)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那

2、么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a>0)的图象与零点的关系b24ac>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210易误提醒1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误为函数点2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示所以f(a)·f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的

3、函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号自测练习1函数y|log2x|x的零点个数是()a0b1c2 d4解析：令y|log2x|x0，即|log2x|x，在同一坐标系下作出y|log2x|和yx的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点答案：c2(2016·东城期末)函数f(x)exx2的零点所在的区间是()a. b.c(1,2) d(2,3)解析：f(x)ex0，f(x)在r上单调递增，又f0，f(1)e0，零点在区间上答案：b

4、知识点二二分法二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法必备方法用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断自测练习3根据下面表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345a.(1,2) b(0,1)c(1,0) d(2,3)解析：本题考查二分法的应用令f

5、(x)exx2，则由表中数据可得f(1)2.7230，f(2)7.3940，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上答案：a、考点一判定函数零点所在区间|1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()a(0,1)b(1,2)c(2,4) d(4，)解析：因为f(1)6log216>0，f(2)3log222>0，f(4)log24<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)答案c2(2015·上海二模)若函数f(x)ax1在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()a(1，) b(，1)c

6、(，1)(1，) d(1,1)解析：由题意知f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得a1或a1.答案：c3(2015·温州十校联考)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)解析：法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)·f(2)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)答案：b确定函数f

7、(x)的零点所在区间的两种常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考点二判断函数零点个数|(1)(2015·高考天津卷)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()a2b3c4 d5解析分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点，故选a.答案a(2)已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个

8、数为()a1 b2c3 d4解析本题考查新定义创新能力、函数零点的个数当ln x0，即x1时，f(x)1ln2 x，令1ln2 x0，得xe，即此时有一个零点；当ln x0，即x1时，f(x)ln2 x，令ln2 x0，得x1，此时也有一个零点；当ln x0，即0x1时，f(x)1ln2 x，令1ln2 x0，无解，即当0x1时，函数f(x)sgn(ln x)ln2 x没有零点综上，函数f(x)sgn(ln x)ln2 x的零点个数为2.故选b.答案b函数零点个数的三种判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a

9、，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 1(2015·辽宁三校联考)已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()aabc bcbaccab dbac解析：在同一坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y的图象，如图，观察它们与直线yx的交点情况可知abc.答案：a考点三函数零点的应用|(2015·高考北京卷)设函数f(x)(1)若a

10、1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解析(1)若a1，则f(x)作出函数f(x)的图象如图所示由图可得f(x)的最小值为1.(2)当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21a0，即a2，所以a2；当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足，解得a1.综上，实数a的取值范围为2，)答案(1)1(2)，1)2，)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直

11、角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解2已知f(x)|x21|x2kx，若关于x的方程f(x)0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k的取值范围是()a(1,0)b.c.(1，)d.解析：本题考查函数零点及函数与方程的关系当x(0,1时，f(x)1x2x2kxkx1，此时方程f(x)0有一个零点；当x(1,2)时，f(x)g(x)x21x2kx2x2kx1.g(x)2x2kx10必有一正根、一负根，正根一定位于区间(1,2)上，即解得k1，故选d.答案：d7.转化法求解二次方程根的分布问题【典例】(2015·烟台莱州一中月考)若方程x22mx40的两根满足一根大于2，一根小于1

12、，则m的取值范围是_思路点拨由条件知，构造f(x)x22mx4问题转化为二次函数f(x)的零点问题，数形结合写出条件可求解解析令函数f(x)x22mx4，由题意可知即所以即m.答案(，)方法点评二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证跟踪练习方程x22ax40的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是_解析：设f(x)x22ax4，则解得a.答案：a组考点能力演练1f(x)是r上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5 x|

13、的零点个数为()a4b5c8 d10解析：由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点答案：b2(2015·长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)内解析：本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选a.答案：a3设函数f(x)ex2

14、x4，g(x)ln x2x25，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()ag(a)0f(b) bf(b)0g(a)c0g(a)f(b) df(b)g(a)0解析：依题意，f(0)30，f(1)e20，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0a1.g(1)30，g(2)ln 230，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1b2，于是有f(b)f(1)0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0，g(a)0f(b)选a.答案：a4若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是()a(2，) b.c(1，) d(0

15、,1)解析：函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)与函数yxa(a>0且a1)的图象有两个交点，由图1知，当0a1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a1时，因为函数yax(a1)的图象与y轴交于点(0,1)，而直线yxa与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.答案：c5(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)的两个零点分别位于区间()a(，1)和(1，2)内b(1，2)和(2，3)内c(2，3)和(3，)内d(，1)和(3，)内解析：

16、本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x1，f(x)，x2，f(x)，所以函数f(x)在(1，2)上一定存在零点；同理当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，3)上一定存在零点，故选b.答案：b6若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_解析：求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.答案：1，17用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间为_解析：令f(x)x32x5，则f(2)10，f(2.5)2.531

17、00.从而下一个有根的区间为(2,2.5)答案：(2,2.5)8已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bn*，则ab_.解析：f(2)ln 268ln 220，f(3)ln 398ln 310，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02,3，即a2，b3.ab5.答案：59关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围解：令f(x)mx22(m3)x2m14，依题意得或即或解得<m<0，即实数m的取值范围是.10设函数f(x)x22bxc(cb1)的一个零点是1，且函数g(x)f(x)1也有零点(

18、1)证明：3c1，且b0；(2)若m是函数g(x)的一个零点，试判断f(m4)的正负并加以证明解：(1)证明：由f(1)0，得b.又cb1，故c1，3c.方程f(x)10有实根，即方程x22bxc10有实根，故4b24(c1)0，即c22c30.c3，或c1，又3c，所以3c1.又b，b0.(2)f(x)x22bxc(xc)(x1)，且m是函数g(x)f(x)1的一个零点，f(m)10，故cm1.c4m43c.f(m4)(m4c)(m41)0，所以f(m4)的符号为正b组高考题型专练1(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()aycos x bysin xcyln x dyx21解析：ycos x是偶函数，且存在零点；ysin x是奇函数；yln x既不是奇函数又不是偶函数；yx21是偶函数，但不存在零点故选a.答案：a2(2015·高考天津卷)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中br.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()a. b.c. d.解析：函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图