高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.7 抛物线 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第七节抛物线1抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程2抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质知识点一抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)动点到定点f距离与到定直线l的距离相等(3)定点不在定直线上易误提醒抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线自测练习1若抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是()a.b.c. d0解析：m到准线的距离等于m到焦点的距离，又准线方程为y，设m(x，y)，则y1，y.答案：b知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2

2、2px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率,e1准线方程x,x,yy范围x0，yrx0，yr,y0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下焦半径(其中p(x0，y0)|pf|x0|pf|x0|pf|y0|pf|y0易误提醒抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点f到准线l的距离，否则无几何意义必记结论抛物线焦点弦的几个常用结论：设ab是过抛物线y22px(p>0)焦点f的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(

3、1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|ab|x1x2p(为弦ab的倾斜角)(3).(4)以弦ab为直径的圆与准线相切自测练习2以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点p(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是()ay4x2 by8x2cy24x dy28x解析：本题考查抛物线的标准方程设抛物线的方程为y22px，则由抛物线的定义知13，即p4，所以抛物线方程为y28x，故选d.答案：d3(2016·成都质检)已知过抛物线y24x的焦点f的直线l与抛物线相交于a，b两点，若线段ab的中点m的横坐标为3，则线段ab的长度为()a6 b8c10 d12解析：依题意，设点a(x1，y1)，

4、b(x2，y2)，则x1x22×36，|ab|af|bf|(x11)(x21)x1x228，故选b.答案：b4若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为_解析：双曲线1的右焦点f(3,0)是抛物线y22px的焦点，所以3，p6.答案：6考点一抛物线的标准方程及几何性质|1抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()a(0，a) b(a,0)c. d.解析：抛物线方程化标准方程为x2y，焦点在y轴上，焦点为.答案：c2(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点p(4，2)的抛物线的标准方程是()ay2x bx28ycy28x或x2y dy2x或x28

5、y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，将点p(4，2)的坐标代入，得a1，所以抛物线的标准方程为y2x；若焦点在y轴上，设方程为x2by，将点p(4，2)的坐标代入，得b8，所以抛物线的标准方程为x28y.故所求抛物线的标准方程是y2x或x28y.答案：d3过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于a，b两点，若|ab|10，则ab的中点到y轴的距离等于()a1 b2c3 d4解析：ab的中点到抛物线准线的距离为5，所以ab的中点到y轴的距离为514.答案：d求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴

6、、开口方向与方程之间的对应关系(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考点二抛物线的定义及应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1到焦点与动点的距离之和最小问题2到准线与动点的距离之和最小问题3到两定直线距离之和最小问题4到焦点与定点距离之和最小问题探究一到焦点与动点的距离之和最小问题1(2016·邢台模拟)已知m是抛物线x24y上一点，f为其焦点，点a在圆c：(x1)2(y5)21上，则|ma|mf|的最小值是_解析：抛物线x24y的焦点为f(0,1)，准线为y1，由抛物线的定义得

7、|mf|等于m到准线的距离d，所以|ma|mf|的最小值等于圆心c到准线的距离减去圆的半径，即5115.答案：5探究二到准线与动点的距离之和最小问题2已知圆c：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点p到直线l的距离为d，则d|pc|的最小值为()a.b7c6 d9解析：由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24，圆心c的坐标为(3，4)由抛物线定义知，当d|pc|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d|pc|.答案：a探究三到两定直线距离之和最小问题3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和l2的距离之和的最小值为()a. b

8、.c3 d2解析：直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为f(1,0)，则点p到直线l2：x1的距离等于pf，过点f作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点p，所以点p到直线l1：4x3y60的距离和到直线l2：x1的距离之和的最小值就是点f(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为2，故选d.答案：d探究四到焦点与定点距离之和最小问题4(2016·赣州模拟)若点a的坐标为(3,2)，f是抛物线y22x的焦点，点m在抛物线上移动时，使|mf|ma|取得最小值的m的坐标为()a(0,0) b.c(1，) d(2,2)解析：本题考查抛物线的定义

9、，过m点作左准线的垂线(图略)，垂足是n，则|mf|ma|mn|ma|，当a，m，n三点共线时，|mf|ma|取得最小值，此时m(2,2)答案：d求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决 考点三直线与抛物线的位置关系|(2016·保定模拟)已知：过抛物线x24y的焦点f的直线交抛物线于a，b两个不同的点，过点a，b分别作抛物线的切线，且二者相交于点c.(1)求证：·0；(2)求abc

10、的面积的最小值解(1)证明：设lab：ykx1，代入x24y得x24kx40，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，c(xc，yc)，则xaxb4k，xaxb4.yx2，yx，lac：yxxa(xxa)，lbc：yxxb(xxb)，xc2k，yc1.若k0，则kcf，kab·kcf1，·0.若k0，显然·0(或(2k,2)，(xbxa，k(xbxa)，·2k(xbxa)2k(xbxa)0.(2)由(1)知，点c到ab的距离d|cf|2.|ab|af|fb|yayb2k(xaxb)44k24，s|ab|d4(k21)，当k0时，abc的面积取最小值，为4.

11、解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 (2015·高考四川卷)设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点m，且m为线段ab的中点若这样的直线l恰有4条，则

12、r的取值范围是()a(1,3)b(1,4)c(2,3) d(2,4)解析：当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x5±r，所以0<r<5，所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l有2条即可设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，则又两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，kab.设圆心为c(5,0)，则kcm.因为直线l与圆相切，所以·1，解得x03，于是yr24，r>2，又y<4x0，即r24<12，所以0<r<4，又0<r<5，r>2，所以2<r<4，选d.答案：d

13、8.直线与圆锥曲线问题的答题模板【典例】(13分)已知抛物线c1：x24y的焦点f也是椭圆c2：1(a>b>0)的一个焦点，c1与c2的公共弦的长为2.过点f的直线l与c1相交于a，b两点，与c2相交于c，d两点，且与同向(1)求c2的方程；(2)若|ac|bd|，求直线l的斜率解题思路(1)由抛物线的焦点坐标可求c，又由两曲线的公共弦长为2得出a，b的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k的方程规范解答(1)由c1：x24y知其焦点f的坐标为(0,1)，因为f也是椭圆c2的一个焦点，所以a2b21，(2分)又c1与c2的公共弦的长

14、为2，c1与c2都关于y轴对称，由c1的方程为x24y，(4分)由此易知c1与c2的公共点的坐标为，所以1，(5分)联立得a29，b28，故c2的方程为1.(6分)(2)如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)因为与同向，且|ac|bd|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.(8分)设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.(9分)由得x24kx40，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24，由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x

15、3x4，(10分)将代入，得16(k21)，即16(k21)，(12分)所以(98k2)216×9，解得k±，即直线l的斜率为±.(13分)模板形成跟踪练习(2016·唐山模拟)已知抛物线y22px(p>0)，过点c(2,0)的直线l交抛物线于a，b两点，坐标原点为o，·12.(1)求抛物线的方程；(2)当以ab为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解：(1)设直线l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为·12，所以x1x2

16、y1y212，即44p12，得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)将(*)化为y24my80.则y1y24m，y1y28.设ab的中点为m(xm，ym)，则|ab|2xmx1x2m(y1y2)44m24，又|ab|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m±.所以直线l的方程为xy20或xy20.a组考点能力演练1若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a()a1b.c2 d.解析：因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为，则有1，a，故选d.答案：d2(2016·襄阳调研)抛物线y22px的焦点为f，m为抛物线上一点，若ofm的外

17、接圆与抛物线的准线相切(o为坐标原点)，且外接圆的面积为9，则p()a2 b4c6 d8解析：ofm的外接圆与抛物线的准线相切，ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径外接圆的面积为9，圆的半径为3.又圆心在of的垂直平分线上，|of|，3，p4.答案：b3(2016·新余模拟)从抛物线y24x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|5，设抛物线的焦点为f，则pmf的面积为()a5 b10c20 d.解析：根据题意得点p的坐标为(4，±4)，所以spmf|yp|·|pm|×4×510，故选b.答案：b4(2016·九江一模

18、)已知抛物线的方程为y22px(p>0)，过抛物线上一点m(p，p)和抛物线的焦点f作直线l交抛物线于另一点n，则|nf|fm|()a1 b1c12 d13解析：由题意得，直线l：y2，联立方程组得n，|nf|p，|mf|pp，|nf|fm|12，故选c.答案：c5(2015·铜川一模)已知抛物线y22x的弦ab的中点的横坐标为，则|ab|的最大值为()a1 b2c3 d4解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x23，利用抛物线的定义可知，|af|bf|x1x214，由图可知|af|bf|ab|ab|4，当直线ab过焦点f时，|ab|取得最大值4.答案：d6抛物线y

19、2x的焦点到准线的距离为_解析：由抛物线y2x，得2p1，p，抛物线y2x的焦点到准线的距离为p.答案：7顶点在原点，经过圆c：x2y22x2y0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为_解析：圆的圆心坐标为(1，)设抛物线方程为y2ax，将圆心坐标代入得a2，所以所求抛物线的方程为y22x.答案：y22x8动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x9.已知直线l：yxm，mr.(1)若以点m(2，1)为圆心的圆与直线l相切于

20、点p，且点p在x轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线l与抛物线c：x2y相切，求直线l的方程和抛物线c的方程解：(1)依题意得点p的坐标为(m,0)以点m(2，1)为圆心的圆与直线l相切于点p，mpl.kmp·kl·11，解得m1.点p的坐标为(1,0)设所求圆的半径为r，则r2|pm|2112，所求圆的方程为(x2)2(y1)22.(2)将直线l的方程yxm中的y换成y，可得直线l的方程为yxm.由得mx2xm0(m0)，14m2，直线l与抛物线c：x2y相切，0，解得m±.当m时，直线l的方程为yx，抛物线c的方程为x22y；当m时，直线l的方

21、程为yx，抛物线c的方程为x22y.10(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线c：y22px(p>0)于a，b两点，直线l2：x2交x轴于点q.(1)设直线qa，qb的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(2)点p为抛物线c上异于a，b的任意一点，直线pa，pb交直线l2于m，n两点，·2，求抛物线c的方程解：(1)设直线l1的方程为：xmy2，点a(x1，y1)，b(x2，y2)联立方程得y22pmy4p0，y1y22pm，y1·y24p.k1k20.(2)设点p(x0，y0)，直线pa：yy1(xx1)，当x2时，ym，同理yn.因为·2，所以4ynym2，·2.2，2，p，抛物线c的方程为y2x.b组高考题型专练1(2015·高考全国卷)已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|()a3 b6c9 d12解析：因为抛物线c：y28x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x2，设椭圆e的方程为1(a>b>0)，所以椭圆e的半焦距c2，又椭圆e的离心率为，所以a4，b2，椭圆e的方程为1，联立，解得a(2,3)，b(2，3)，或