考点51 古典概型-备战2020年高考数学（理）考点一遍过_20210103224732

1、考点51 古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式.四、必记结论（1）古典概型中的基本事件都是互斥的（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的考向一 古典概型的概率

2、求解1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件a包含的所有基本事件数m.(3)代入公式，求出p(a)2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择.3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后

3、利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1 一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为a bc d【答案】b【解析】因为从集合中取出三个不相同的数共有个,由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243，共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率为.选b典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人.(1)求样本容量的值和从高二抽取的人

4、数；(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.【解析】(1)由题意可得,解得,从高二抽取人.(2)由(1)知,从高二抽取7人,其中2位女生记为,5位男生记为,则从这7位同学中任选2人,不同的结果有,，共21种.从这7位同学中任选2人,有女生的有:,共 11 种,故至少有1名女同学被选中的概率为.1先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，则满足的概率为abcd2智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直

5、方图(如图所示)，其分组是： ，.（1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长，求这名组长分别选自和的概率是多少？考向二 用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.典例3 袋子中有四个

6、小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为abcd【答案】c【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：，共

7、4个基本事件，根据古典概型的概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选c3若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数:7327  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  46980371  6233  2616  8045&#

8、160; 6011  3661  9597  7424  7610  4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为_1甲、乙两人有三个不同的学习小组a,b,c可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为a bc d2现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为a bc d3从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了套卷，即：全国i卷，全国ii卷，全国iii卷.小明同学马上进入高三了，打算从这套题中选出套体验一下，则

9、选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为abcd4袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为abcd5某商场对某一商品搞活动,已知该商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天

10、这种商品的销售量,如图所示,则从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为abcd6如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为，现从、中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为abcd7运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为a bc d8在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为_.9某单位要在5名工人中安排2名分别到两地出差(每人被安

11、排是等可能的),则甲、乙两人中恰巧有一人被安排的概率为_. 10已知集合a=-2,3,5,7,从a中随机抽取两个不同的元素a,b,作为复数z=a+bi(i为虚数单位)的实部和虚部.则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为_. 11某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).具有“宅”属性不具有“宅”属性男生2050女生1040采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则

12、选取的3人中至少有1名女生的概率为_.12有编号为a1,a2,a10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:编号a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品.(1)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;(2)从一等品零件中,随机抽取2个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这个零件直径相等的概率.13某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球a1,a2 和1个白球b的甲箱与

13、装有2个红球a1,a2 和2个白球b1,b2 的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为这种说法正确吗?请说明理由.14某科研单位积极推进科学创新，在解决某一技术难题的过程中，需要组建在结构设计和系统程序两方面强的人才小队，相关研究小组所有人员分别进行结构设计和系统程序两项综合考核，构成的频率分布直方图如图所示，单项综合成绩在90,100内的评为“优a”，且结构设计综合成绩在80,90)内的人员有10人.(1)求系统程序综合成绩为“优a”的人数;(

14、2)在两项综合考核中,恰有2人的两项综合考核成绩均为“优a”,在至少一项成绩为“优a”的人员中,随机抽取2人进行组队(项目负责人),求这2人的两项综合成绩均为“优a”的概率.15某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的a，b两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中b组一同学的分数已被污损，但知道b组学生的平均分比a组学生的平均分高一分（1）若在b组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；（2）现从a、b两组学生中分别随机抽取1名学生，设其分数分别为m、n，求的概率16某种零件

15、的质量指标值以分数(满分100分)衡量，并根据分数的高低划分三个等级，如下表：为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员随机抽取了100件零件，进行质量指标值检查，将检查结果进行整理得到如下的频率分布直方图：(1)若该生产线的质量指标值要求为:第一条:生产线的质量指标值合格和优秀的零件至少要占全部零件的75；第二条:生产线的质量指标值平均分不低于95分；如果同时满足以上两条就认定生产线的质量指标值合格，否则为不合格，请根据以上抽样调查数据，判断该生产线的质量指标值是否合格?(2)在样本中，按质量指标值的等级用分层抽样的方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件，再从这5件中随机抽取2件，

16、求这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率.17甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标85,9090,9595,100100,105105,110机床甲81240328机床乙71840296（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元.假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产

17、的零件指标在90,95内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.182020年将在日本东京举办第届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在岁之间的人进行调查，经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为.关注不关注合计年轻人中老年人合计(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取人进行问卷调查.若再从这人中选取人进行面对面询问，求事件“选取的人中至少有人关注奥运会”的概率.附参考公式:，

18、其中临界值表:1（2018新课标全国理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 abcd2（2017山东理科）从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是a bc d3（2019年高考全国卷理数）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_4

19、（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 变式拓展1【答案】b【解析】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，易知基本事件的总数为36，由，有，得或，则满足条件的为，共9个，故所求概率为故选b2【解析】（1）设中位数为，则，解得：（分钟）.这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟.（2）平均每天使用手机时间为：（分钟），即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟.（3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为，则从五人中选出两人共有以下种情况：，2名组长分别选自和的共有以下种情况：，所求概率.3【答案】【解析】由随机

20、数表可知,共有20个随机事件,其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件,因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.考点冲关1【答案】a【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含个基本事件,其中两人参加同一个小组包含个基本事件,则所求概率为.故选a2【答案】c【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为.3【答案】d【解析】通过题意，可知从这套题中选出套试卷共有种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有种可能，于是所求概率为.选d4【答案】b【解析】随机模拟产

21、生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p故选b5【答案】a【解析】由题意得当日销售量不少于20个时,日利润不少于96元，其中当日销售量为20个时,日利润为96元,当日销售量为21个时,日利润为97元.从条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天,故从这10天中随机抽取一天,其日利润不少于96元的概率为.6【答案】b【解析】由题意可知

22、，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从、中任取两个数字的所有情况有、，共种，而其中数字之和为的情况有、，共种，因此，该图形为“和谐图形”的概率为，故选b7【答案】c【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出,输出,输出,输出y=15,程序结束,故a=3,0,-1,8,15,其中有3个元素可使得函数是增函数,故所求概率为.8【答案】【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为，共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为，共4种，故选出的2本书编号相连的概率为.9【答案】【解析】记5名工人中除甲、乙两人以外的工人为a,b,c,则从5名工人中随机选2

23、名的情况如下:(甲,乙),(甲,a),(甲,b),(甲,c),(乙,a),(乙,b),(乙,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,其中“甲、乙两人中恰巧有一人被安排”包含的基本事件有6种,故所求的概率为.10【答案】【解析】从集合a=-2,3,5,7中随机抽取两个不同的元素a,b,组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12种，其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6种.所以复数z在复

24、平面内的对应点位于第一象限的概率为p=.故填.11【答案】【解析】记事件m为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件为“选取的3人都是男生”.采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为a,b从6人中随机选取3人的基本事件有a,b,c,a,b,d,a,b,a,a,b,b,a,c,d,a,c,a,a,c,b,a,d,a,a,d,b,a,a,b,b,c,d,b,c,a,b,c,b,b,d,a,b,d,b,b,a,b,c,d,a,c,d,b,c,a,b,d,a,b,共20个.事件所含的基本事件分别为a,b,c,a,b,d

25、,a,c,d,b,c,d,共4个,所以事件的概率为p()=,所以事件m的概率为p(m)=1-p()=1-.12【解析】(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件a,则.(2) (i)一等品零件的编号为a1,a2,a3,a4,a5,a6,从这6个一等品零件随机抽取2个,所有可能的结果有:a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,a6,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,a6,a3,a4,a3,a5,a3,a6,a4,a5,a4,a6,a5,a6,共有15种.(ii)“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件b)的所有

26、可能结果有:a1,a4,a1,a6,a2,a3,a2,a5,a3,a5,a4,a6,共有6种.所以.13【解析】(1)所有可能的摸出结果是:a1,a1,a1,a2,a1,b1,a1,b2 ,a2,a1,a2,a2,a2,b1,a2,b2 ,b,a1,b,a2,b,b1,b,b2 .(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为a1,a1,a1,a2,a2,a2,a2,a1,共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故这种说法不正确.14【解析】(1)该单位相关研究小组所有人员的人数为10÷0.25=40.则系统程序综合成绩为“优a”的

27、人数为40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3.(2)结构设计、系统程序综合成绩为“优a”的各有3人,其中有2人的两项综合成绩为“优a”,所以还有2人只有一项综合成绩为“优a”.设这4人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的两项综合成绩均为“优a”,则在至少一项综合成绩为“优a”的人员中,随机抽取2人进行组队(项目负责人),其基本事件为甲,乙,甲,丙,甲,丁,乙,丙,乙,丁, 丙,丁,共6个,设“随机抽取2人,这2人的两项综合成绩均为优a”为事件m,则事件m包含的基本事件为甲,乙,共1个

28、,故p(m)=.15【解析】（1）a组学生的平均分为，所以b组学生的平均分为86分.设被污损的分数为，则，解得.所以b组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分，在b组学生中随机挑选1人，其得分超过86分的概率为.（2）a组学生的分数分别是94、80、86、88、77，b组学生的分数为91、93、83、88、75，在a、b两组学生中随机抽取1名学生，其分数组成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83），（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93

29、），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个，随机各抽取1名学生的分数，满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个，的概率为.16【解析】(1)根据抽样调查数据，生产线的质量指标值合格和优秀的零件所占比例的估计值为:(0.100+0.150+0.125+0.025)×2=

30、0.80,因为0.800.75，所以满足生产线质量指标值要求的第一条;生产线的质量指标值平均分约为:(89×0.025+91×0.075+93×0.100+95×0.150+97×0.125+99×0.025)×2=94.4,因为94.495，所以不满足生产线质量指标值要求的第二条.综上，可以判断该生产线的质量指标值是不合格的.(2)由频率分布直方图可知，不合格、优秀的频率分别为0.2，0.3，故在样本中用分层抽样方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5件零件，质量指标值不合格的有2件，设为甲、乙，优秀的有3件，设为a，b，c，从这5件零件中随机抽取2件，有:甲乙，甲a，甲b，甲c，乙a，乙b，乙c，ab，ac，bc，共10种，其中恰好一个不合格一个优秀的有:甲a，甲b，甲c，乙a，乙b，乙c，共6种，所以这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率