高中常见函数图像及基本性质

1、.常见函数性质汇总及简单评议对称变换xybOf(x)=b常数函数 f(x)=b (bR) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线xyOf(x)=kx+b一次函数 f(x)=kx+b (k0,bR)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式 点斜式 2）、对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b0时，函数f(x)没有奇偶性；反 函

2、 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。补充：反函数定义：R例题：定义在r上的函数y=f（x）; y=g（x）都有反函数，且f（x-1）和g-1(x)函数的图像关于y=x对称，若g（5）=2016，求f（4）= 周 期 性：无5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f(x)= (k0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远)xyOf(x)=图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四

3、象限；双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定 义 域： 值 域：单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）入手点常有两个直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较3）、f(x)= (c0且 d0)（补充一下

4、分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）xyOf(x)=二次函数一般式：顶点式：两根式：图象及其性质：图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 当时，开口向上，有最低点 当时。当 = >0时，函数图象与轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与轴没有交点。 关系 定 义 域：R 值 域：当时，值域为（ ）；当时，值域为（ ）单 调 性：当时；当时. 奇 偶 性：b=/0反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无补充： 1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的 ） 2、3、二次函数的对称问

5、题：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m，n）对称4、二次函数常见入题考法：交点（交点之间的距离） 值域、最值、极值、单调性 数形结合判断图形走势（选择题）指数函数xyOf(x)=f(x)= ，系数只能为1。图象及其性质：1、恒过，无限靠近轴；2、与关于轴对称；但均不具有奇偶性。 3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”靠近关系 定 义 域：R 值 域： 单 调 性：当时；当时。 奇 偶 性：无 反 函 数：对数函数 周 期 性：无补充： 1、 2、图形变换 Log21/x和Log2- x ln（x-1）和lnx - 1xyOf(x)=f(x)=对数函数（和指

6、数函数互为反函数）图象及其性质：恒过，无限靠近轴；与关于轴对称；x1时“底大图低”；0x1时“底大图高”（理解记忆）定 义 域：R 值 域： 单 调 性：当时；当时； 奇 偶 性：无反 函 数：指数函数 周 期 性：无补充： 1、双钩函数（变形式 ）图象及其性质：两条渐近线： 最值计算： 定 义 域： 值 域： 单 调 性： 奇 偶 性：奇函数反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法幂函数（考察时，一般不会太难）无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。不需要背记，只要能够快速画出n=

7、±1， ±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行注意：掌握y=x3 的图像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像(当a>0,当a<0时)；补充： 利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。 例：P393，例题10函数图象变换一平移变换 二对称变换yf（x）与yf（x）关于y轴对称；yf（x）与yf（x）关于x轴对称；yf（x）与yf（x）关于原点对称；yf1（x）与yf（x）关于直线yx对称；y|f（x）|的图象可将yf（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变yf（|x|）的图象：可将yf（x），x0的部分作出，再利用

8、偶函数关于y轴的对称性三、伸缩变换yAf（x）（A0）的图象，可将yf（x）图象上每一点的纵坐标伸（A1）缩（0A1）到原来的A倍，横坐标不变而得到yf（ax）（a0）的图象，可将yf（x）的图象上每一点的横坐标伸（0a1）缩（a1）到原来的，纵坐标不变而得到四、函数及图象(大致图象)典型例题精讲例1：已知yf（x）的图象如图27所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（A）A Bx22|x|1 C|x21| D解析：当f（x）时， 其图象恰好是上图例2：画出函数ylg|x1|的图象解析：ylg|x1|例3：要将函数y的图象通过平移变换得到y的图象，需经过怎样的变换？解析：y1，先沿x轴方向

9、向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得到y的图象例4：方程kx有两个不相等的实根，求实数k的取值范围解析：设y1kxy2方程表示过原点的直线，方程表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图29易知当OA与半圆相切时， ，故当0k时，直线与半圆有两个交点，即0k时，原方程有两个不相等的实根例5：作函数f（x）x的图象分析：f（x）x不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究解析：函数的定义域是（，0）（0，），f（x）f（x），f（x）是（，0）（0，）上的奇函数，又|f（x）|x|x|2，当且仅当|x|1时等号成立，当x>0时y2；当x<0时，y2

10、；当x（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x1，）时函数为增函数，且缓慢递增，又x0，y0，图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图210所示评述：（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用例6：f（x）是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如图所示令g（x）af（x）b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（B）A若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称B若a1

11、，2<b<0，则方程g（x）0有大于2的实根C若a0，b2，则方程g（x）0有两个实根D若a1，b<2，则方程g（x）0有三个实根解析：将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）af（x）b的图象例6：(全国)把函数yex的图象按向量(2，3)平移，得到yf(x)的图象，则f(x) ( C )(A) ex32 (B)ex32 (C)ex23 (D)ex23例7：(菏泽模拟)如图为函数ym的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是 ( D )(A)m<0，n>1 (B)

12、m>O，n>l (C)m>O，0<n<1 (D)m<0，0<n<1例8：(安庆模拟)函数ye x1的图象大致是( D )例9：在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x0，y0，2x3y30，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（B）A95 B91 C88 D75解析：画出图象，补形做出长方形AOBC，共有整点数11×16176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（1766）×91例10：将函数ylog

13、x的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线yx对称，那么C2对应的函数解析式是_解析：C:ylog（x1）；由ylog（x1）得C1:ylog2（x1）；求C1的反函数得y12x例11：若函数yx24x3的图象C与直线ykx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线有 个交点解析：（数形结合法）作yx24x3的图象，知其顶点在M（2，1）过原点与点M（2，1）作直线ykx，如图曲线C与直线ykx有四个交点例12：作函数y（）|x1|的图象解析:（1）y故它在区间1，）上的图象，可由y2x（x0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到在区间（，1）上的图象，可由y2x（x<0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到例13：已知函数yf（x）（xR）满足f（ax）f（ax），求证yf（x）的图象关于直线xa对称证明:设p（x0，y0）是yf（x）图象上的任一点，则有y0f（x0），设点P关于直线xa的对称点为p（x，y），则有，即 由y0f（x0）yfa（ax）f（x）即点p（x，y）也在