2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　正弦定理和余弦定理

1、第 6 讲正弦定理和余弦定理一、知识梳理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin absinbcsin c2r(r 为abc 外接圆半径)a2b2c22bccos_a；b2c2a22cacos_b；c2a2b22abcos_c变形(1)a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_c；(2)abcsin_asin_bsin_c；(3)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin acos ab2c2a22bc；cos bc2a2b22ca；cos ca2b2c22ab2.abc 的面积公式(1)sabc12ah(h 表示边 a 上的高)(2)sabc

2、12absin c12acsin b12bcsin a(3)sabc12r(abc)(r 为内切圆半径).3三角形解的判断a 为锐角a 为钝角或直角图形关系式absin absin aab解的个数一解两解一解一解注意上表中 a 为锐角时，absin a，无解a 为钝角或直角时，ab，ab 均无解常用结论1三角形内角和定理在abc 中，abc；变形：ab22c2.2三角形中的三角函数关系(1)sin(ab)sin c(2)cos(ab)cos c(3)sinab2cosc2.(4)cosab2sinc2.3三角形中的射影定理在abc 中，abcos cccos b；bacos cccos a；c

3、bcos aacos b二、教材衍化1在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c 若 cbcos a，则abc 为()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形答案：a2在abc 中，ab5，ac3，bc7，则bac()a6b3c23d56解析：选 c因为在abc 中，设 abc5，acb3，bca7，所以由余弦定理得 cosbacb2c2a22bc925493012， 因为bac 为abc 的内角， 所以bac23.故选 c3在abc 中，a60，ac4，bc2 3，则abc 的面积等于_解析：设abc 中，角 a，b，c 对应的边分别为 a，b，c，由题意及余弦定理得

4、cos ab2c2a22bcc2161224c12，解得 c2.所以 s12bcsin a1242sin 602 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在abc 中，若 sin asin b，则 ab()(3)在abc 中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏常见误区|(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；(2)不会灵活运用正弦、余弦定理1abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.已知 c60，b 6，c3，则 a_解析：由题意：bsin bcsin

5、 c，即 sin bbsin cc632322，结合 bc 可得 b45，则 a180bc75.答案：752设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos c14，3sin a2sin b，则 c_解析：由 3sin a2sin b 及正弦定理，得 3a2b，所以 b32a3.由余弦定理 cos ca2b2c22ab，得142232c2223，解得 c4.答案：4考点一利用正、余弦定理解三角形(基础型)复习指导|通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题核心素养：数学运算(1)(2019高考全国卷)abc 的内角 a，b，c 的对边

6、分别为 a，b，c.已知 asin absin b4csin c，cos a14，则bc()a6b5c4d3(2)(2020济南市学习质量评估)已知abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且2ca2bcos a求角 b 的大小；若 a5，c3，边 ac 的中点为 d，求 bd 的长【解】(1)选 a由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos ab2c2a22bc3c22bc14，得bc6.故选 a(2)由 2ca2bcos a 及正弦定理，得 2sin csin a2sin bcos a，又 sin csin(ab)sin acos bcos asin b，所以

7、 2sin acos bsin a0，因为 sin a0，所以 cos b12，因为 0b，所以 b23.由余弦定理得 b2a2c22accosabc52325349，所以 b7，所以 ad72.因为 cosbacb2c2a22bc499252731114，所以 bd2ab2ad22abadcosbac949423721114194，所以 bd192.(1)正、余弦定理的选用利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的

8、三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断1(一题多解)(2020广西五市联考)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，b 3，a30，b 为锐角，那么 abc 为()a113b123c132d141解析：选 b法一：由正弦定理asin absin b，得 sin bbsin aa32.因为 b 为锐角，所以 b60，则 c90，故 abc123，选 b法二：由 a2b2c22bccos a，得 c23

9、c20，解得 c1 或 c2.当 c1 时，abc 为等腰三角形，b120，与已知矛盾，当 c2 时，abc，则 abc2，则abc 中角 c 为锐角；若 a2b2c2，则abc 为以 c 为钝角的钝角三角形4若(a2b2)(a2b2c2)0，则abc 为等腰三角形或直角三角形；5若 ab 且 a2b2c2，则abc 为等腰直角三角形；6若 sin 2asin 2b，即 ab 或 ab2，则abc 为等腰三角形或直角三角形(1)(一题多解)设abc 的内角 a， b， c 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcos cccosbasin a，则abc 的形状为()a直角三角形b锐角三角形c

10、钝角三角形d不确定(2)在abc 中，若 cacos b(2ab)cos a，则abc 的形状为_【解析】(1)法一：因为 bcos cccos bba2b2c22abca2c2b22ac2a22aa，所以asin aa 即 sin a1，故 a2，因此abc 是直角三角形法二：因为 bcos cccos basin a，所以 sin bcos csin ccos bsin2a，即 sin(bc)sin2a，所以 sin asin2a，故 sin a1，即 a2，因此abc 是直角三角形(2)因为 cacos b(2ab)cos a，所以由正弦定理得 sin csin acos b2sin a

11、cos asin bcos a，所以 sin(ab)sin acos b2sin acos asin bcos a，故 cos a(sin bsin a)0，所以 cos a0 或 sin asin b，即 a2或 ab，故abc 为等腰或直角三角形【答案】(1)a(2)等腰或直角三角形【迁移探究】(变条件)若将本例(1)条件改为“2sin acos bsin c” ，试判断abc 的形状解：法一：由已知得 2sin acos bsin csin(ab)sin acos bcos asin b，即 sin(ab)0，因为ab0，所以 cos c12，又 c(0，)所以 c3.由余弦定理得 c2

12、a2b22abcos ca2b2abab.所以 sabc12absin c12c23234c2.当且仅当 ab 时，取等号由题意得34c23 38.所以 c62.此时，abc62.若选，b 2sin b 由余弦定理得 b2a2c22accos b2sin2ba2c22accos b2ac(1cos b)，所以 acsin2b1cos b1cos b所以 sabc12acsin b12(1cos b)sin b当且仅当 ac 时取等号由题意得12(1cos b)sin b3 38.(1cos b)sin b3 340令 f(b)sin bsin bcos b3 34，b(0，)f(b)cos b

13、cos2bsin2b2cos2bcos b1(cos b1)(2cos b1)，f(b)0 时，b3.f(b)0 时，3b0 时，0b3.即 f(b)sin bsin bcos b3 34在0，3 上单调递增在3，上单调递减，所以 f(b)maxf3 0.即 f(b)仅有一个零点 b3.即方程(1cos b)sin b3 340，有 b3.所以 b 2sin362，ac1cos362.若选，c62.由余弦定理得 c2a2b22abcos c所以322ab(1cos c)所以 ab34（1cos c）.当且仅当 ab 时取等号，sabc12absin c3sin c8（1cos c）.由题意得，

14、3sin c8（1cos c）3 38.即 sin c 3cos c 3.所以 sinc3 32，由于3c343.所以 c323.所以 c3.所以 ab341cos362.已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解注意正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用1(2020济南市模拟考试)在abc 中，ac 5，bc 10，cos a2 55，则abc 的面积为()a52b5c10d102解析：选 a由 ac 5，bc 10，bc2ab2ac2

15、2acabcos a，得 ab24ab50，解得 ab5，而 sin a 1cos2a55，故 sabc125 55552.选 a2(2020长沙市统一模拟考试)已知abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且asin(ab)csinbc2.(1)求 a；(2)若abc 的面积为 3，周长为 8，求 a.解：(1)由题设得 asin cccosa2，由正弦定理得 sin asin csin ccosa2，所以 sin acosa2，所以 2sina2cosa2cosa2，所以 sina212，所以 a60.(2)由题设得12bcsin a 3，从而 bc4.由余弦定理 a2b2c2

16、2bccos a，得 a2(bc)212.又 abc8，所以 a2(8a)212，解得 a134.基础题组练1设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos a32且 bc，则 b()a3b2 2c2d 3解析：选 c由余弦定理 b2c22bccos aa2，得 b26b80，解得 b2 或 b4，因为 bb，则 sin asin bb在锐角三角形 abc 中，不等式 sin acos b 恒成立c在abc 中，若 acos abcos b，则abc 必是等腰直角三角形d在abc 中，若 b60，b2ac，则abc 必是等边三角形解析：选 abd对于 a，在

17、abc 中，由正弦定理可得asin absin b，所以 sin asin babab， 故 a 正确； 对于 b， 在锐角三角形 abc 中， a， b0，2 ， 且 ab2， 则2a2b0，所以 sin asin2bcos b，故 b 正确；对于 c，在abc 中，由 acos abcos b，利用正弦定理可得 sin 2asin 2b，得到 2a2b 或 2a2b，故 ab 或 a2b，即abc 是等腰三角形或直角三角形，故 c 错误；对于 d，在abc 中，若 b60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos b，所以 aca2c2ac，即(ac)20，解得 ac.又 b60

18、，所以abc 必是等边三角形，故 d 正确故选 abd6在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 acos bcb20，a272bc，bc，则bc_解析：由 acos bcb20 及正弦定理可得sin acosbsin csin b20.因为 sin csin(ab)sin acos bcos asin b，所以sin b2cos asin b0，所以 cos a12，即 a23.由余弦定理得 a272bcb2c2bc，即 2b25bc2c20，又 bc，所以bc2.答案：27 (2020河南期末改编)在abc 中， b3， ac 3， 且 cos2ccos2asin2b

19、2sinbsin c，则 c_，bc_解析：由 cos2ccos2asin2b 2sin bsin c，可得 1sin2c(1sin2a)sin2b2sin bsin c，即 sin2asin2csin2b 2sin bsinc结合正弦定理得 bc2ab2ac2 2acab，所以 cos a22，a4，则 cab512.由acsin bbcsin a，解得 bc 2.答案：51228(2020兰州模拟)已知在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 asin bbcos a0.(1)求角 a 的大小；(2)若 a2 5，b2，求边 c 的长解：(1)因为 asin bbcos

20、a0，所以 sin asin bsin bcos a0，即 sin b(sin acos a)0，由于 b 为三角形的内角，所以 sin acos a0，所以2sina4 0，而 a 为三角形的内角，所以 a34.(2)在abc 中，a2c2b22cbcos a，即 20c244c22 ，解得 c4 2(舍去)或 c2 2.9 (2020福建五校第二次联考)在abc 中， 角 a， b， c 的对边分别是 a， b， c， 且3acosc(2b 3c)cos a(1)求角 a 的大小；(2)若 a2，求abc 面积的最大值解：(1)由正弦定理可得， 3sin acos c2sin bcos a

21、 3sin ccos a，从而3sin(ac)2sin bcos a，即3sin b2sin bcos a又 b 为三角形的内角，所以 sin b0，于是 cos a32，又 a 为三角形的内角，所以 a6.(2)由余弦定理 a2b2c22bccos a，得 4b2c22bc322bc 3bc，所以 bc4(2 3)，所以 sabc12bcsin a2 3，故abc 面积的最大值为 2 3.综合题组练1(2020长春市质量监测(一)在abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若bacos c12c，则角 a 等于()a60b120c45d135解析：选 a法一：由 bacos c

22、12c 及正弦定理，可得 sin bsin acos c12sin c，即sin(ac)sin acos c12sin c， 即 sin acos ccos asin csin acos c12sin c， 所以 cos asinc12sin c，又在abc 中，sin c0，所以 cos a12，所以 a60，故选 a法二：由 bacos c12c 及余弦定理，可得 bab2a2c22ab12c，即 2b2b2a2c2bc，整理得 b2c2a2bc，于是 cos ab2c2a22bc12，所以 a60，故选 a2(2020福建漳州二模)abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已

23、知 3acos abcos cccos b，bc3，则 a 的最小值为()a1b 3c2d3解析：选 b在abc 中，因为 3acos abcos cccos b，所以 3sin acos asin bcos csin ccos bsin(bc)sin a，即 3sin acos asin a，又 a(0，)，所以 sin a0，所以 cos a13.因为 bc3，所以两边平方可得 b2c22bc9，由 b2c22bc，可得 92bc2bc4bc，解得 bc94，当且仅当 bc 时等号成立，所以由 a2b2c22bccos a，可得 a2b2c223bc(bc)28bc3983943，当且仅当

24、 bc 时等号成立，所以 a 的最小值为 3.故选 b3(2020湖北恩施 2 月质检)在锐角abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若 cos b13，b4，sabc4 2，则abc 的周长为_解析：由 cos b13，得 sin b2 23，由三角形面积公式可得12acsin b12ac2 234 2，则 ac12，由 b2a2c22accos b，可得 16a2c221213，则 a2c224，联立可得 ac2 3，所以abc 的周长为 4 34.答案：4 344在abc 中，角 a，b，c 的对边分别是 a，b，c，asin absin bcsin csin bsin c2 33a，a2 3.若 b1，3，则 c 的最小值为_解析：由asin absin bcsin csin bsin c2 33a，得a2b2