人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：三角函数的图像及性质

1、三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域： 3）值域：4）单调性：（）增函数 （）减函数5）奇偶性：奇函数6）最小正周期：7）对称性：对称轴；对称中心2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域： 3）值域：4）单调性：（）增函数 （）减函数5）奇偶性：偶函数6）最小正周期：7）对称性：对称轴；对称中心3.正切函数图像和性质1）定义域： 2）值域：3）单调性：在（）增函数4）奇偶性：奇函数5）最小正周期：6）对称性：对称中心二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数的图像可以看做将函数的图像上的所有的点向左（当时）或向右（当时

2、）平移个单位而得到2）周期变换：函数（且）的图像可以看做是把的图像上所有的点的横坐标缩短为（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到3）振幅变换：函数（且）的图像可以看做是将的图像上所有的点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到经典例题一选择题（共15小题）1已知函数f（x）=2cos2xsin2x+2，则（）af（x）的最小正周期为，最大值为3bf（x）的最小正周期为，最大值为4cf（x）的最小正周期为2，最大值为3df（x）的最小正周期为2，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2xsin2x+2，=2cos2xsin2x+2sin2x+2cos2

3、x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=3cos2x+12+1，=3cos2x2+52，故函数的最小正周期为，函数的最大值为32+52=4，故选：b2已知函数f（x）=cos（x-3）（0）且f（23）=f（56），若f（x）在区间（23，56）上有最大值，无最小值，则的最大值为（）a49b289c529d1009【解答】解：函数f（x）=cos（x-3）（0）且f（23）=f（56），直线x=12×（23+56）=34为f（x）=cos（x3）（0）的一条对称轴，343=k，kz，=43k+49，kz，又0，且f（x）在区间（23，56）上有最大值，无最小值，t562

4、3=6，即26，12，当k=8时，=323+49=1009为最大值故选：d3已知函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)的最小正周期为4，其图象关于直线x=23对称给出下面四个结论：函数f（x）在区间0，43上先增后减；将函数f（x）的图象向右平移6个单位后得到的图象关于原点对称；点(-3，0)是函数f（x）图象的一个对称中心；函数f（x）在，2上的最大值为1其中正确的是（）abcd【解答】解：函数f(x)=2sin(x+)(0，|2)的最小正周期为4，可得2=4=12其图象关于直线x=23对称即12×23+=2+k，可得：=k+6，kz|2=6f（x）的解析式为f（x）=2sin

5、（12x+6）；对于：令2k-212x+62k+2，kz可得：4k-43x4k+230，23是单调递增，令2k+212x+62k+32，kz可得：4k+23x176+4k23，176是单调递减，函数f（x）在区间0，43上先增后减；对于：将函数f（x）的图象向右平移6个单位后得到：y=2sin（12(x-6)+6）=2sin（12x6）没有关于原点对称；对于：令x=3，可得f（-3）=2sin（-12×3+6）=0，点(-3，0)是函数f（x）图象的一个对称中心；对于：由x，2上，12x+623，76，所以当x=时取得最大值为：3正确的是：故选：c4已知函数f（x）=atan（x+）

6、（0，|2）的部分图象如图所示，下列关于函数g（x）=acos（x+）（xr）的表述正确的是（）a函数g（x）的图象关于点（4，0）对称b函数g（x）在-8，38递减c函数g（x）的图象关于直线x=8对称d函数h（x）=cos2x的图象上所有点向左平移4个单位得到函数g（x）的图象【解答】解：根据函数f（x）=atan（x+）（0，|2）的部分图象知，最小正周期为t=2×（388）=2，=t=2；又8+=2+k，kz，=4+k，kz；=4，f（0）=atan4=a=1，函数g（x）=cos（2x+4）；x=4时，g（4）=cos（2+4）=220，g（x）的图象不关于点（4，0）对称

7、，a错误；x8，38时，2x+40，g（x）在-8，38上单调递减，b正确；x=8时，g（8）=cos（4+4）=0，g（x）的图象不关于直线x=8对称，c错误；h（x）=cos2x的图象上所有点向左平移4个单位，得h（x+4）=cos2（x+4）=cos（2x+2）的图象，不是函数g（x）的图象，d错误故选：b5在平面直角坐标系xoy中，函数y=2sin(x-6)的图象（）a关于直线x=6对称b关于点(6，0)对称c关于直线x=-6对称d关于点(-6，0)对称【解答】解：利用排除法和代入法求解，当x=6时，y=2sin（6-6）=0，故选：b6函数f（x）=sin（x3），则f（x）的图象的

8、对称轴方程为（）ax=56+k，kzbx=56+2k，kzcx=6+2k，kzdx=3+k，kz【解答】解：函数f（x）=sin（x3），则f（x）的图象的对称轴方程：x3=2+k，可得：x=56+k，kz故选：a7设函数y=6cosx与y=5tanx的图象在y轴右侧的第一个交点为a，过点a作y轴的平行线交函数y=sin2x的图象于点b，则线段ab的长度为（）a5b352c1459d25【解答】解：作出对应的图象如图，则线段p1p2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=5sinxcosx，化为6sin2x+5sinx6=0，解得sinx=23则cosx=1-

9、(23)2=53，则b点的纵坐标y=sin2x=2sinxcosx=2×23×53=459，a点的纵坐标y=6cosx=6×53=25，即线段ab的长为25459=1459，故选：c8函数y=sin（x+）与y=cos（x+）（其中0，|2）在x0，522的图象恰有三个不同的交点p，m，n，pmn为直角三角形，则的取值范围是（）a4，4b（2，4c4，2）d0，4【解答】解：图象恰有三个不同的交点p，m，n，pmn为直角三角形，可知直角三角形pmn的高为2，且是等腰直角三角形，可得斜边长为22，即周期t=222=22，那么=2x0，522上，x+，52+上，根据正

10、余弦函数的图象性质，可得：-344，且9452+134又，|2），-44故选：a9sin（2x+3）13=0在区间（0，）内的所有零点之和为（）a6b3c76d43【解答】解：y=sin（2x+3）的周期为：，对称轴为：x=712sin（2x+3）13=0在区间（0，）内的所有零点只有2个，关于x=712对称，sin（2x+3）13=0在区间（2，）内的所有零点之和为：76故选：c10已知函数f（x）=sin（x+）+3cos(x+)(0，|2)的最小正周期为，且f(3-x)=f(x)，则（）af（x）在(0，2)上单调递减bf（x）在(6，23)上单调递增cf（x）在(0，2)上单调递增df

11、（x）在(6，23)上单调递减【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+3cos(x+)=2sin（x+3）f（x）的最小正周期为，即2=2，则2sin（2x+3）又f(3-x)=f(x)，可知对称轴x=6，2sin（2×6+3）=±2即23+=2+kkz-22可得：=-6则f（x）=2sin（2x+6）求解单调递减区间：令2+2k2x+632+2k可得：k+6xk+23故选：d11如图，已知函数f（x）=3cos（x+）（0，20）的部分图象与x轴的一个交点为a（6，0），与y轴的交点为b（0，32），那么函数f（x）图象上的弧线ab与两坐标所围成图形的面积为（）a34b

12、32c334d3【解答】解：如图，根据函数f（x）=3cos（x+）（0，20）的部分图象与y轴的交点为b（0，32），可得 3cos=32，cos=32，=6根据函数的图象x轴的一个交点为a（6，0），结合五点法作图可得（6）6=2，=2，函数f（x）=3cos（2x6）弧线ab与两坐标所围成图形的面积为-60 3cos（2x6）dx=32sin（2x6）|-60=44（32）=34，故选：a12函数f（x）=asin（x+）（其中a0，|2）的图象如图所示，为了得到g(x)=cos(2x-2)的图象，只需将f（x）的图象（）a向左平移3个长度单位b向右平移3个长度单位c向左平移6个长度单位

13、d向右平移6个长度单位【解答】解：由函数图象可得：a的值为1，周期t=4×（7123）=，=2t=2=2，又函数的图象的第二个点是（3，0），2×3+=，于是=3，则f（x）=sin（2x+3）=sin2（x+6），g（x）=cos（2x2）=sin2x，为了得到g（x）=cos（2x2）的图象，只需将f（x）的图象向右平移6个单位即可故选：d13已知曲线e：y=sin（2x+） （0，0）的一条对称轴为x=512曲线c的方程为y=cosx，以下哪个坐标变换可以将曲线c变换成曲线e（）a将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移6个单位b向左平移12个单位，再

14、把所得曲线的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变c将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移12个单位d向左平移3个单位，再把所得曲线的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变【解答】解：曲线e：y=sin（2x+） （0，0）的一条对称轴为x=512则：2512+=k+2，解得：=k-3，当k=1时，=23，所以：y=sin（2x+23），曲线c的方程为y=cosx将横坐标变为原来的12倍，得到y=cos2x，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移12个单位得到：y=sin（2x+23）故选：c14已知函数f（x）=4sin2（x28）+2sin（x4）2（0）的图象关于点（34，0）对称，

15、且f（x）在区间（0，23）上单调，则的值为（）a2b103c23d38【解答】解：f（x）=4sin2（x28）+2sin（x4）2=22cos（x4）+2sin（x4）2=2sin（x4）2cos（x4）=22sin（x44）=22sin（x2）=22cosx，f（x）的图象关于点（34，0）对称，34=2+2k，得=23+83k，kz，f（x）在区间（0，23）上单调，t223，即2223，则032，则当k=0时，=23，故选：c15将函数f(x)=sin(2x+3)的图象向右平移6个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）ag（x）的周期为bg(6)=32cx=3是g(x

16、)的一条对称轴dg（x）为奇函数【解答】解：函数f(x)=sin(2x+3)的图象向右平移6个单位，得到函数g（x）=sin（2x3+3）=sin2x的图象，所以：对于a：函数的最小正周期为t=22=，对于b：，对于d：g（x）=g（x）故函数为奇函数当x=3时，g（3）=32不是对称轴故选：c二填空题（共10小题）16若曲线y=3sin2x+cos2x关于直线x=t（t）对称，则t的最小值为76【解答】解：曲线y=3sin2x+cos2x=2（32sin2x+12cos2x）=2sin（2x+6），令2x+6=k+2，kz，求得x=k2+6，故函数的图象的对称轴为x=k2+6，kz再根据函数

17、的图象还关于直线x=t（t）对称，令k=2，可得t的最小值为76，故答案为：7617如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=sin（x+）（0，0）的图象与x轴的焦点a，b，c满足oa+oc=2ob，则=34【解答】解：设函数y=sin（x+）（0，0）的图象与x轴的焦点a（x1，0），b（x3，0），c（x2，0），故：x1+x2=-2x3x2+x3=2x1，得：x3=3x1，又：x1+x2=2（2x1x2），所以：x2=5x1，t=，则：=2t=4x1，f（x）=sin（4x1+），由于：f（x1）=0，所以：sin(4+)=0，解得：=34故答案为：3418函数f(x)=1-3sin(2

18、x+6)的值域为2，4【解答】解：函数f(x)=1-3sin(2x+6)，33sin（2x+6）32f（x）4故答案为2，419先将函数f（x）=sinx的图象上的各点向左平移6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1倍（其中n*），得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间6，4上单调递增，则的最大值为9【解答】解：函数f（x）=sinx的图象上的各点向左平移6个单位，得y=sin（x+6）的图象；再将函数图象各点的横坐标变为原来的1倍（其中n*），得y=sin（x+6）的图象，函数g（x）=sin（x+6），若g（x）在区间6，4上单调递增，则&6+62k-2&4+62k+2，解

19、得12k48k+43，kz；由12k48k+43，解得k43；当k=1时，8，283，正整数的最大值为9故答案为：920函数f（x）=sin（x+6）+sinxsin（x+6）sinx的最小正周期为，最大值为12【解答】解：函数f（x）=sin（x+6）+sinxsin（x+6）sinx=sin2(x+6)sin2x=1-cos(2x+3)21-cos2x2=cos(2x+3)2+cos2x2=12cos2x-32sin2x2+cos2x2=14cos2x+34sin2x=12（12cos2x+32sin2x）=12cos（2x3）故它的最小正周期为22=，最大值为12，故答案为：；1221已

20、知函数f(x)=2sin2x+2cos2(x-6)，xr，则函数y=f（x）的一个对称中心为（12，2）【解答】解：函数f(x)=2sin2x+2cos2(x-6)=21-cos2x2+21+cos(2x-3)2=2+cos（2x3）cos2x=2+12cos2x+32sin2xcos2x=2+32sin2x12cos2x=2+sin（2x6），xr，令2x6=k，求得 x=k2+12，kz，则函数y=f（x）的对称中心为（k2+12，2），kz，故答案为：（12，2）22已知函数f（x）=sin（2x+） （其中是实数），若f（x）|f（12）|对xr恒成立，且f（2）f（0），则f（x）的

21、单调递减区间是k-512，k+12，kz【解答】解：由题意，f（x）|f（12）|对xr恒成立，可得x=12时函数f（x）的对称轴即6+=2+k，可得=k+3kz令k=1，可得=43，那么f（2）=sin（+43）=sin3f（0）=sin（43），故得f（x）的其中一个解析式为：f（x）=sin（2x+43）令2+2k2x+4332+2k，得：k-512xk+12，f（x）的单调递减区间是k-512，k+12，kz，故答案为：k-512，k+12，kz23已知函数f（x）=sinx-3cosx（0），若=3，则方程f（x）=1在（0，）的实数根个数是3【解答】解：函数f（x）=sinx-3c

22、osx（0）=2sin（x3），=3时，f（x）=2sin（3x3）；令f（x）=1，得2sin（3x3）=1，sin（3x3）=12，解得3x3=2k6或3x3=2k+76，kz；即x=2k3+18或x=2k3+2，kz；当k=0时，x=18，x=2；当k=1时，x=1318；方程f（x）=1在（0，）的实数根有3个故答案为：324已知a=201xdx，函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|2）的部分图象如图所示，则函数f（x+4）+a图象的对称中心可以是（k2512，1），k【解答】解：由图象值a=2，周期t=4×（312）=4×312=，即2=，则=2，则f（x

23、）=2sin（2x+），f（12）=2sin（2×12+）=2，sin（6+）=1，即6+=2k+2，则=2k+3，|2，当k=0时，=3，则f（x）=2sin（2x+3），a=201xdx=2×12x2|01=1，则y=f（x+4）+a=f（x+4）+1=2sin2（x+4）+3+1=2sin（2x+56）+1，由2x+56=k得x=k2512，kz，即函数的对称中心为（k2512，1），kz，故答案为：（k2512，1），kz25设函数y=f（x）的定义域为d，若对于任意x1，x2d，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（

24、x）图象的对称中心研究函数f(x)=2x+3cos(2x)-3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(12018)+f(22018)+f(40342018)+f(40352018)的值为4035【解答】解：函数f(x)=2x+3cos(2x)-3，f（1）=23=1，当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=2x1+2x2+3cos（2x1）+3cos（2x2）6=2×2+06=2，f（x）的对称中心为（1，1），f(12018)+f(22018)+f(40342018)+f(40352018)=f（12018）+f（40352018）+f（22018）+f（4034

25、2018）+f（20182018）=2×（2017）1=4035故答案为：4035三解答题（共9小题）26已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x，xr（1）若函数f（x）在区间a，16上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点q（x1，y1）对称，且x14，4，求点q的坐标【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+sin2x=12sin2x12cos2x+12=22sin（2x4）+12令-22x-42，得-8a38上是单调递增；函数f（x）在区间a，16上递增，-8a16即实数a的取值范围是-8，16）；（2）函数f（x）的图象关于点q（x1，y1）对称

26、，且x14，4，则2x4-34，4q在函数图象上，且是一个零点可得2x4=0，即x=8点q的坐标为（8，12）27已知函数f(x)=2sinxcosx-23cos2x+3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若x3，1124，且锐角abc的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，abc的外接圆半径是342，求abc的面积【解答】解：（1）函数f(x)=2sinxcosx-23cos2x+3=sin2x3cos2x，=2sin（2x3），令：-2+2k2x-32k+2（kz），解得：-12+kxk+512（kz），故函数的单调递增区间为：-12+k，k+512（kz）（2）由于：3x1124，

27、故：32x-3712，所以：3f(x)2，锐角abc的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，abc的外接圆半径是342，所以：令b=2，c=3，则利用正弦定理：解得：sinb=223，sinc=63，故：cosb=13，cosc=33则：sina=sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc=63所以：sabc=12bcsina=228已知f（x）=3sin（x+3）cosx（）写出f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；（）已知 a、b、c 分别为abc的内角a、b、c的对边，b=53，cosa=35且 f（b）=1，求边a的长【解答】解：f（x）=3sin（x+3）cosx

28、=3sinxcos3+3cosxsin3cosx=32sinx+12cosx=sin（x+6）；（）f（x）的最小正周期t=2=2，当x+6=2+2k，kz，即x=23+2k，kz时，f（x）取得最小值1；（）abc中，b=53，cosa=35，sina=1-cos2a=45；又 f（b）=1，sin（b+6）=1，b+6=2，解得b=3，asina=bsinb，a45=53sin3，解得a=829已知函数f（x）=sinx（cosx+3sinx)（）求f（x）的最小正周期；（）若关于x的方程f（x）=t在区间0，2内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围【解答】解：（）f(x)=12sin

29、2x+32(1-cos2x)，=sin(2x-3)+32所以f（x）的最小正周期为t=22=（）因为x0，2，所以2x-3-3，23因为y=sinz在-3，2上是增函数，在2，23上是减函数，所以f（x）在0，3上是增函数，在3，2上是减函数又因为f（0）=0，f(3)=1+32，f(2)=3，所以要使得关于x的方程f（x）=t在区间0，2内有两个不相等的实数解，只需满足3t1+3230已知函数f（x）=3sinxcosx+3cos2x（）求函数f（x）的最小正周期；（）把函数y=f（x）的图象向下平移32个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在4，3的值域【解答】解：（）函数

30、f（x）=3sinxcosx+3cos2x=32sin2x+31+cos2x2=3（32sin2x+12cos2x）+32=3sin（2x+6）+32，故函数f（x）的最小正周期为22=（）把函数y=f（x）的图象向下平移32个单位长度，得到g（x）=3sin（2x+6）的图象，x4，3，2x+63，56，故当2x+4=3时，函数g（x）取得最小值为 3（32）=32；当2x+4=2时，函数g（x）取得最大值为 3，故函数y=g（x）在4，3的值域为32，331函数f（x）=3sin（x+）（0，|2）的部分图象如图所示，其中x0是函数f（x）的一个零点（i）写出，及x0的值；（）求函数f（x

31、）在区间-2，0上的最大值和最小值【解答】解：（）由图可知周期t=，故=2，由图象过（0，32）32=3sinsin=12-22，=6，故得f（x）=3sin（2x+6），令f（x）=3sin（2x+6）=0，即2x+6=k，可得x0=1112故得：=2，=6，x0=1112（）由（）可知，f(x)=3sin(2x+6)因为x-2，0，所以2x+6-56，6，当2x+6=-2，即 x=-3时，f（x）的最小值为3当2x+6=6，即 x=0时，f（x）的最大值为3232已知函数f(x)=3sinxcosx-12cos(2x-3)（）求函数f（x）图象的对称轴方程；（）将函数f（x）图象向右平移4个单位，所得图象对应的函数为g（x）当x0，2时，求函数g（x）的值域