人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：点线面的位置关系与平行关系

1、点线面的位置关系与平行关系知识讲解一、点线面的位置关系用集合表示：1）点在直线上，记作：；点不在直线上，记作；2）点在平面内，记作：；点不在平面内，记作；3）直线在平面内（即直线上每一个点都在平面内），记作；4）直线不在平面内（即直线上存在不在平面内的点），记作；5）直线和相交于点，记作，简记为；6）平面与平面相交于直线，记作二、平面的三个公理及推论1.三个公理：1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内图形语言表述：如右图：符号语言表述：2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面图形语言表述

2、：如右图，符号语言表述：三点不共线有且只有一个平面，使3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线图形语言表述：如右图： 符号语言表述：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线2.三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面3.共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面4.重要方法：1）证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线2）证明直线共面通常的方法：先由其中两条直线确定一个平面，再证

3、明其余的直线都在此平面内（纳入法）；分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；也可利用共面向量定理来证明3）公理是证明直线共点的依据，应该这样理解：如果、是交点，那么是交线；如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；如果，点是a、b的一个公共点，那么三、直线与直线位置关系1.直线与直线的位置关系：1）两直线共面：如果两条直线在同一平面内（即平行或相交），则两直线共面2）两直线异面：如果两直线不同在任何一个平面内，则两直线异面2.求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，

4、异面直线所成角的范围是；求异面直线所成角的方法：平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；补体法3.两条异面直线的公垂线：1）定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线；2）证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直4.两条异面直线的距离：1）定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度2）计算方法：公垂线法； 转化成线面距离(点面距离)； 转化成面面距离 空间向量法四、直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系：1）直线在平面内：直线上所有的

5、点都在平面内，记作，如图；2）直线与平面相交：直线与平面有一个公共点；记作，如图；3）直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作，如图2.平行线：在同一个平面内不相交的两条直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行公理（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3.空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线如下图中的空间四边形，它有四条边，两条对角线其中；是三对异面直

6、线五、平面与平面的位置关系两个平面平行：没有公共点，记为；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：两个平面相交，有一条交线，六、平行关系线面平行面面平行判定如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行符号语言图形语言性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言图形语言七、垂

7、直关系线面垂直面面垂直判定如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行其他性质：（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个

8、平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面定理可简记为：面面垂直线面垂直（2）定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面经典例题一选择题（共8小题）1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列说法错误的是（）amncc1bmn平面acc1a1cmnabdmn平面abcd【解答】解：在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体abcda1b1c1d1中，棱长为2，则b（2，2，0），c1（0，2，2），m（1，2，1），d

9、1（0，0，2），c（0，2，0），n（0，1，1），mn=（1，1，0），cc1=（0，0，2），mncc1=0，mncc1，故a正确；a（2，0，0），ac=（2，2，0），acmn=22+0=0，acmn，又mncc1，accc1=c，mn平面acc1a1，故b成立；ab=（0，2，0），mn=（1，1，0），mn和ab不平行，故c错误；平面abcd的法向量n=（0，0，1），mnn=0，又mn平面abcd，mn平面abcd，故d正确故选：c2如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为b1c1，c1d1的中点，点p是底面a1b1c1d1内一点，且ap平面efdb，则 tana

10、pa1的最大值是（）a22b1c2d22【解答】解：连结ac、bd，交于点o，连结a1c1，交ef于m，连结om，设正方形abcda1b1c1d1中棱长为1，在正方形abcda1b1c1d1中，e，f分别为b1c1，c1d1的中点，点p是底面a1b1c1d1内一点，且ap平面efdb，ao=pm，a1p=c1m=ac4=24，tanapa1=aa1a1p=124=22tanapa1的最大值是22故选：d3如图是某几何体的平面展开图，其中四边形abcd为正方形，e，f分别为pa，pd的中点在此几何体中，以下结论一定成立的是（）a直线 bepfb直线ef平面pbcc平面bce平面padd直线pb与

11、dc所成角为60°【解答】解：如图所示，连接ef，bepf显然不正确，是异面直线；e、f分别为pa、pd的中点，efad，adbc，efbc，直线ef平面pbc，选项b正确；efbc，ef平面pbc，bc平面pbc，由于不能推出线面垂直，故平面bce平面pad不成立选项c不正确；直线pb与dc所成角就是pb与ab所成角，不确定为60°，选项d不正确；故选：b4有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料abca1b1c1，其各棱长都为2，已知q1，q2分别为上，下底面的中心，m为q1q2的中点，过a，b，m三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（）a7b1639c3194

12、d2【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；正三棱柱abca1b1c1中，各棱长都为2，m为q1q2的中点，过a，b，m三点的截面为等腰梯形abef，理由如下，取ef的中点p，连接dp，由对称性知dp交q1q2于点m，mdq2mpq1，由正三角形的中心性质知，ef=13a1b1=23，梯形的高为pd=22+(233)2=433，则截面面积为s=12×（23+2）×433=1639故选：b5棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为棱ad中点，过点b1，且与平面a1be平行的正方体的截面面积为（）a5b25c26d6【解答】解：取bc中点f，a1d1中点g，连结df、b

13、1f、db1、dg、gb1，gf，棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为棱ad中点，bedf，a1egd，又a1ebe=e，dgdf=d，a1e、be平面a1be，dg、df平面dfb1g，过点b1，且与平面a1be平行的正方体的截面为四边形dfb1g，df=fb1=b1g=dg=4+1=5，db1=4+4+4=23，gf=25-3=22，过点b1，且与平面a1be平行的正方体的截面面积为：s菱形fb1gd=12×db1×gf=12×23×22=26故选：c6已知两个平行平面，直线l，过l上一点p作与l所成角为40°的直线m，则直线m

14、与的交点m的轨迹是（）a椭圆b抛物线c双曲线d圆【解答】解：两个平行平面，直线l，过l上一点p作与l所成角为40°的直线m，l是旋转轴，m是母线，平面平面，截面平行于旋转轴，直线m与的交点m的轨迹是双曲线故选：c7如图，已知四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且md=nb=1，e为mc的中点，则下列结论不正确的是（）a平面bce平面abnbmcanc平面cmn平面amnd平面bde平面amn【解答】解：分别过a，c作平面abcd的垂线ap，cq，使得ap=cq=1，连接pm，pn，qm，qn，将几何体补成棱长为1的正方体bc平面abn，bc平面bce

15、，平面bce平面abn，故a正确；连接pb，则pbmc，显然pban，mcan，故b正确；取mn的中点f，连接af，cf，acamn和cmn都是边长为2的等边三角形，afmn，cfmn，afc为二面角amnc的平面角，af=cf=62，ac=2，af2+cf2ac2，即afc2，平面cmn与平面amn不垂直，故c错误；dean，mnbd，平面bde平面amn，故d正确故选：c8下列说法中错误的是（）如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；如果一条

16、直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线abcd【解答】解：在中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故错误；在中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故错误；在中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故错误；如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故正确故选：d二填空题（共2小题）9在几何体pabc中，pab是正三角形，平面pab平面abc，且ab=bc=2，abbc，则pabc外接球的表面积等于283【

17、解答】解：pab是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形pab的中心的垂线上，因为平面pab平面abc，所以作go平面pab，abbc，外接球的球心也在平面abc的重心的垂线上，作oe平面abc交ac于e，o为外接球的球心，由题意可知ec=1，gd=13×32×2=33，外接球的半径为：oc=(33)2+(2)2=73外接球的表面积为：4×(73)2=283故答案为：28310如图，已知球o的面上有四点a、b、c、d，da平面abc，abbc，da=ab=bc=2，则球o的体积等于6【解答】解：取cd的中点m，连接ma，mb，da平面abc，bc平面abc

18、，bcad，又bcab，abad=a，bc平面abd，又bd平面abd，bcbd，acd，abd都是直角三角形，ma=mb=mc=md，m为外接球的球心，ad=ab=bc=2，bd=2，cd=4+2=6，外接球半径为r=62外接球的体积v=43(62)3=6故答案为：6三解答题（共6小题）11如图，在直三棱柱abca1b1c中，已知acb=90°，bc=cc1，e，f分别为ab，aa1的中点（1）求证：直线ef平面bc1a1；（2）求证：efb1c【解答】证明：（1）由题知，ef是aa1b的中位线，所以efa1b（2分）由于ef平面bc1a1，a1b平面bc1a1，所以ef平面bc1

19、a1（6分）（2）由题知，四边形bcc1b1是正方形，所以b1cbc1（8分）又a1c1b1=acb=90°，所以a1c1c1b1在直三棱柱abca1b1c1中，cc1平面a1c1b1，a1c1平面a1c1b1，从而a1c1cc1，又cc1c1b1=c1，cc1，c1b1平面bcc1b1，所以a1c1平面bcc1b1，又b1c平面bcc1b1，所以a1c1b1c.（10分）因为a1c1bc1=c1，a1c1，bc1平面bc1a1，所以b1c平面bc1a1（12分）又a1b平面bc1a1，所以b1ca1b又由于efa1b，所以efb1c（14分）12如图，在四棱锥pabcd中，adb=

20、90°，cb=cd，点e为棱pb的中点（1）若pb=pd，求证：pcbd；（2）求证：ce平面pad【解答】证明：（1）取bd的中点o，连结co，po，因为cd=cb，所以cbd为等腰三角形，所以bdco因为pb=pd，所以pbd为等腰三角形，所以bdpo又poco=o，所以bd平面pco因为pc平面pco，所以pcbd解：（2）由e为pb中点，连eo，则eopd，又eo平面pad，所以eo平面pad由adb=90°，以及bdco，所以coad，又co平面pad，所以co平面pad又coeo=o，所以平面ceo平面pad，而ce平面ceo，所以ce平面pad13如图，已知p

21、a垂直于矩形abcd所在的平面，m，n分别是ab，pc的中点，若pda=45°，（1）求证：mn平面pad；（2）求证：mn平面pcd【解答】证明：（1）如图，取pd的中点e，连接ae，nee、n分别为pd，pc的中点，en=12cd，又m为ab的中点，am=12cd，en=am，四边形amne为平行四边形mnae，mn平面pad（5分）（2）pa平面abcd，pda=45°，pad为等腰直角三角形，aepd，又cdad，cdpa，adpa=a，cd平面pad，ae平面pad，cdae，又cdpd=d，ae平面pcd，mn平面pcd（10分）14如图，在三棱锥pabc中，p

22、a=pb=ab=2，bc=3，abc=90°，平面pab平面abc，d，e分别为ab，ac中点（1）求证：de平面pbc；（2）求证：abpe；（3）求三棱锥pbec的体积【解答】证明：（1）d，e分别为ab，ac的中点，debc，又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc（2）连接pd，debc，又abc=90°，deab，又pa=pb，d为ab中点，pdab，又pdde=d，pd平面pde，de平面pde，ab平面pde，又pe平面pde，abpe（3）平面pab平面abc，平面pab平面abc=ab，pdab，pd平面pab，pd平面abc，pab是边长为2的等

23、边三角形，pd=3，e是ac的中点，vp-bec=12vp-abc=12×13×12×2×3×3=3215如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adcb，adc=90°，平面pad底面abcd，q为ad的中点，bc=12ad，m是棱pc上的点（）求证：平面pqb平面pad；（）若pa=pd=2，bc=1，cd=3，异面直线ap与bm所成角的余弦值为277，求pmpc的值【解答】证明：（）adbc，bc=12ad，q为ad的中点四边形bcdq为平行四边形，cdbqadc=90°，aqb=90°，即qbad又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=adbq平面padbq平面pqb，平面pqb平面pad解：（）pa=pd，q为ad的中点，pqad平面pad平面abcd，且平面pad平面abcd=adpq平面abcd以q为原点分别以qa、qb、qp为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则q（0，0，0），a（1，0，0），p(0，0，3)，b(0，3，0)，c(-1，