人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：空间向量

1、空间向量知识讲解一、向量的基本概念与运算1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为或3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如，4.模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作5.方向：有向线段的方向表示向量的方向6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记为8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理1.共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，

2、使2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量3.共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，使4.空间向量分解定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使表达式，叫做向量，的线性表示式或线性组合注：上述定理中，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底三、向量的数量积1.两个向量的夹角已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作通常规定在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且如果，则称与互相垂直，记作2.两个向量的数量

3、积已知空间两个向量，定义它们的数量积（或内积）为：空间两个向量的数量积具有如下性质：1）；（2）；（3）；（4）空间两个向量的数量积满足如下运算律：1）；（2）；（3）四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底空间直角坐标系，也常说成空间直角坐标系1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一数组，使，分别叫做向量在方向上的分量，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标上式可以简记作若，则：；注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的

4、终点的坐标减去起点的坐标2. 空间向量的平行和垂直的条件：设，（）；两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：，五、位置向量定义：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就被向量所唯一确定了这时，我们称这个向量为位置向量由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质1.给定一个定点和一个向量，为空间中任一确定的点，为直线上的点，则在为过点且平行于向量的直线上 这三个式子都称为直线的向量参数方程向量称为该直线的方向向量2.设直线和的方向向量分别为和，（或与重合）；若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线的一个方向向量为，则或在内存在两

5、个实数，使六、异面直线所成的角1.定义：过空间任意一点分别做异面直线与的平行线与，那么直线与所成的不大于的角，叫做异面直线与所成的角2.异面直线所成角的向量公式：两条异面直线与的方向向量与，当与的夹角不大于，异面直线所成的角与和的夹角相等；当与的夹角大于，异面直线所成的角与和的夹角互补所以直线所成的角的余弦值为七、直线和平面所成的角1.定义：平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角2.直线与平面所成角的向量公式：直线的方向向量与平面的法向量分别为和，若与的夹角不大于，直线与平面所成的角等于与夹角的余角，若与的夹角大于，直线与平面所成的角等于与夹角的补角的余角，所以直线与平

6、面所成的角的正弦值为八、平面和平面所成的角1.定义：过二面角棱上任意一点做垂直于棱的夹角与平面的交线分别为，那么叫做二面角的平面角2.平面与平面所成角的向量公式：平面与的法向量分别为和，则二面角与的夹角相等或互补当二面角大于时，则二面角；当二面角不大于时，则二面角；经典例题一选择题（共11小题）1在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，ac1与平面bb1c1c所成的角为30°，则该长方体的体积为（）a8b62c82d83【解答】解：长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，ac1与平面bb1c1c所成的角为30°，即ac1b=30°，可得bc1

7、=abtan30°=23可得bb1=(23)2-22=22所以该长方体的体积为：2×2×22=82故选：c2在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac=120°，ab=ac=1，pa=2，则直线pa与平面pbc所成角的正弦值为（）a255b223c55d13【解答】解：pa底面abc，ab=ac=1，pa=2，pabpac，pb=pc取bc中点d，连接ad，pd，pdbc，adbc，bc面pad面pad面pbc，过a作aopd于o，可得ao面pbc，apd就是直线pa与平面pbc所成角，在rtpad中，ad=32，pa=2，pd=pa2+ad2=32，s

8、inapd=adpd=13故选：d3点p为棱长是2的正方体abcda1b1c1d1的内切球o球面上的动点，点m为b1c1的中点，若满足dpbm，则b1p与面cdp所成角的正切值的最小值是（）a16b55c14-25d147【解答】解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=1，由题意，取bb1的中点n，连接cn，则cnbm，正方体abcda1b1c1d1，cn为dp在平面b1c1cb中的射影，点p的轨迹为过d，c，n的平面与内切球的交线，正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，o到过d，c，n的平面的距离为oe=55，再由等积法求得b1到过d，c，n的平面的距离为b1f=255，可得ef=og=

9、3-(55)2=705b1 到平面dcn的距离为定值b1f=255，要使b1p与面cdp所成角的正切值最小，则需pf最大为ef+1-(55)2=255b1p与面cdp所成角的正切值的最小值是255705+255=14-25故选：c4已知菱形abcd的边长为23，bad=60°，沿对角线bd将菱形abcd折起，使得二面角abdc的余弦值为-13，则该四面体abcd外接球的体积为（）a2873b86c2053d36【解答】解：如图所示，取bd中点f，连结af、cf，则afbd，cfbd，afc是二面角abdc的平面角，过a作ae平面bcd，交cf延长线于e，cosafc=13，cosaf

10、e=13，af=cf=(23)2-(3)2=3，ae=22，ef=1，设o为球，过o作oocf，交f于o，作ogae，交ae于g，设oo=x，ob=23cf=2，of=13cf=1，由勾股定理得r2=ob2+oo'2=4+x2=og2+ag2=（1+1）2+（22x）2，解得x=2，r2=6，即r=6，四面体的外接球的体积为v=43r3=43×66=86故选：b5在正方体abcda1b1c1d1中，be=3ea，以e为球心，|ec|为半径的球与棱a1d1，dd1分别交于f，g两点，则二面角afge的正切值为（）a2-22b2-12c3-12d5-22【解答】解：设正方体棱长为

11、4，则ae=1，eb=3，ef=eg=ec=eb2+bc2=5，af=ef2-ae2=26，de=ad2+ae2=17，a1f=af2-aa12=22，dg=eg2-de2=22d1f=d1g=422，fg=2d1f=424，fm=12fg=222，取fg的中点m，连接am，em，afg和efg均为等腰三角形amfg，emfg，ame为二面角afge的平面角，am=af2-fm2=22+2，taname=aeam=122+2=2-12故选：b6在平面内，已知abbc，过直线ab，bc分别作平面，使锐二面角ab为3，锐二面角bc为3，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）a14b34c12d3

12、4【解答】解：在平面内，abbc，过直线ab，bc分别作平面，使锐二面角ab为3，锐二面角bc为3，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：cos=cos3×cos3=14故选：a7平行四边形abcd中，ac，bd在ab上投影的数量分别为3，1，则bd在bc上的投影的取值范围是（）a（l，+）b（1，3）c（0，+）d（0，3）【解答】解：建立直角坐标系：设b（a，0），则：c（3，b），d（a1，b），则：3（a1）=a，解得：a=2所以：d（1，b）c（3，b）bd在bc上的摄影bm=|bd|cos=1+b2cos当b0时，cos1，得到：mb=1当b+时，0，当0时，bm+故选：a

13、8已知底面是正方形的直四棱柱abcda1b1c1d1的外接球的表面积为40，且ab=2，则ac1与底面abcd所成角的正切值为（）a2b22c3d4【解答】解：底面是正方形的直四棱柱abcda1b1c1d1的外接球的表面积为40，且ab=2，直四棱柱abcda1b1c1d1的外接球的半径r=404=10，(2)2+(2)2+aa122=10，解得aa1=6，ac=ab2+bc2=2+2=2，cc1平面abcd，c1ac是ac1与底面abcd所成角，tanc1ac=cc1ac=62=3ac1与底面abcd所成角的正切值为3故选：c9在abc中，ab=ac，d，e分别在ab、ac上，debcad=

14、3bd，将ade沿de折起，连接ab，ac，当四棱锥abced体积最大时，二面角abcd的大小为（）a6b4c3d2【解答】解：如图，ab=ac，abc为等腰三角形，过a作bc的垂线ah，垂足为h，交de于g，当ade平面bced时，四棱锥abced体积最大由deag，degh，aggh=g，可得de平面agh，又bcde，则bc平面agh，ahg为二面角abcd的平面角，在rtagh中，由aggh=addb=3，tanahg=aggh=3，则二面角abcd的大小为3故选：c10过正方形abcd的顶点a，作pa平面abcd，若pa=ba，则平面abp和平面cdp所成的锐二面角的大小是（）a30

15、°b45°c60°d90°【解答】解：以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ad为z轴，建立空间直角坐标系，设pa=ba=1，则c（1，1，0），d（0，1，0），p（0，0，1），pc=（1，1，1），pd=（0，1，1），设平面pcd的法向量n=（x，y，z），则&pcn=x+y-z=0&pdn=y-z=0，取y=1，得n=（0，1，1），平面abp的法向量m=（0，1，0），设平面abp和平面cdp所成的锐二面角的大小为，则cos=|nm|n|m|=12=22，=45°，平面abp和平面cdp所成的锐二面角的大小为45

16、76;故选：b11将正方形abcd沿对角线ac折起成直二面角，则直线bd和平面abc所成的角的大小为（）a30°b45°c60°d90°【解答】解：如图，当平面bac平面dac时，取ac的中点e，则be平面dac，故直线bd和平面abc所成的角为dbe，cosdbe=bebd=22，dbe=45°故选：b二填空题（共4小题）12已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb互相垂直，sa与圆锥底面所成角为30°若sab的面积为8，则该圆锥的体积为8【解答】解：圆锥的顶点为s，母线sa，sb互相垂直，sab的面积为8，可得：12sa2=8，解得sa

17、=4，sa与圆锥底面所成角为30°可得圆锥的底面半径为：23，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：v=13××(23)2×2=8故答案为：813已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为78，sa与圆锥底面所成角为45°，若sab的面积为515，则该圆锥的侧面积为402【解答】解：圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为78，可得sinasb=1-(78)2=158sab的面积为515，可得12sa2sinasb=515，即12sa2×158=515，即sa=45sa与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：22×45=210则该圆锥的侧面积：12×410×45=402故答案为：40214已知三棱锥sabc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc=2，ab=2，设s、a、b、c四点均在以o为球心的某个球面上，则点o到平面abc的距离为33【解答】解：三棱锥sabc的底面是以ab为斜边的等腰直角三角形，sa=sb=sc，s在面abc上的射影为ab中点h，s