人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线的范围问题_20210103224734

1、圆锥曲线的范围问题知识讲解一、求范围常用方法圆锥曲线中的确定参变量（参数）的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。要想求出圆锥曲线中的参数的取值范围，就必须寻找确定参数的取值范围的不等量关系，这可以说是解决这类问题的难点和关键所在。有以下几种形式：1.利用判别式，建立起含参数的不等式；圆锥曲线中的含参数问题往往都转化为直线和圆锥曲线的相交问题有两个交点，因此，这类问题可首先考虑。2.利用题设中的不等关系，建立起含参的不等式；有些题目中含有已知量的不等关系，可以借助它去确定题目中所要求的参数的取值范围。3.根据圆锥曲线的变化范围，借助点的位置，建立含参数的不等式；根据曲线的范围，借助

2、点的位置比如在椭圆上，则等建立含参数的不等式。4.借助图形直观挖掘不等关系，建立含参数的不等式。常用到的有三角形中的边的关系，多与圆锥曲线的定义相结合。二、双曲线经典结论1.双曲线（）的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时交点的轨迹方程是.2.过双曲线（）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）.3.若为双曲线（）右（或左）支上除顶点外的任一点, 是焦点, , ，则（或）.4.为双曲线（）上任一点, 为二焦点，为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.5.双曲线（）与直线有公共点的充要条件是.6.已知双曲线（），为坐标原点，为双曲线上两

3、动点，且.1）;2）的最小值为;3）的最小值是.7.过双曲线（）的右焦点f作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.8.已知双曲线（）, 是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则或.9.设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点, 为其焦点记，则(1).(2) .经典例题一选择题（共4小题）1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|，则双曲线离心率的取值范围是（）a(53，2b(1，53c（1，2d53，+)【解答】解：根据题意，双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，点p在双曲线的

4、右支上，则|pf1|pf2|=2a，又由|pf1|=4|pf2|，则|pf2|=2a3，则有2a3c-a，变形可得：23e1，即可得：e53，则双曲线的离心率取值范围为(1，53故选：b2设双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为f，右顶点为a，过f作af的垂线与双曲线交于b，c两点，过b，c分别作ab，ac的垂线交于d，若d到直线bc的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（）a（1，2b（1，2c2，+）d2，+）【解答】解：由题意，a（a，0），b（c，b2a），c（c，b2a），由双曲线的对称性知d在x轴上，设d（x，0），则由bdac得-b2ac-xb2ac-a

5、=1，cx=b4a2(a-c)，d到直线bc的距离不小于a+c，cx=|b4a2(a-c)|a+c，b4a2c2a2=b2，b2a21c2-a2a21，c2a22，e2，双曲线的离心率的取值范围是2，+），故选：c3已知f是抛物线c：y2=px（p0）的焦点，a，b是抛物线上的两个动点，满足afb=60°，过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则使不等式|mn|m|ab|恒成立的m的取值范围是（）am33b0m233cm1d0m2【解答】解：设|af|=a，|bf|=b，由抛物线定义，得af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=

6、a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos60°=a2+b2ab配方得，|ab|2=（a+b）23ab，又ab（a+b2） 2，（a+b）23ab（a+b）234（a+b）2=14（a+b）2得到|ab|12（a+b）|mn|ab|1，由|mn|m|ab|，得m|mn|ab|，m1，故选：c4已知f是抛物线x2=4y的焦点，p为抛物线上的动点，且a的坐标为（0，1），则|pf|pa|的最小值是（）a14b12c22d32【解答】解：由题意可得，抛物线x2=4y的焦点f（0，1），准线方程为y=1过点p作pm垂直于准线，m为垂足，则由抛物线的定义可得|pf|=|pm|，则|

7、pf|pa|=|pm|pa|=sinpam，pam为锐角故当pam最小时，|pf|pa|最小，故当pa和抛物线相切时，|pf|pa|最小设切点p（2a，a），由y=14x2的导数为y=12x，则pa的斜率为122a=a=a+12a，求得a=1，可得p（2，1），|pm|=2，|pa|=22，sinpam=|pm|pa|=22故选：c二填空题（共5小题）5设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点为b，右顶点为a，右焦点为f，e为椭圆下半部分上一点，若椭圆在e处的切线平行于ab，且椭圆的离心率为22，则直线ef的斜率是24【解答】解：椭圆的离心率为22，则c2a2=12a=2b=2ckab=

8、-ba=-22，椭圆方程为x22c2+y2c2=1由&y=-22x+m&x2+2y2=2c2，可得x2-2mx+m2-c2=0，由=2m24m2+4c2=0m2=2c2，e为椭圆下半部分上一点，m=2c，x2+2cx+c2=0，e（c，22c）则直线ef的斜率是22c2c=24故答案为：246已知点p是双曲线x22y2=1 上的一点，f1，f2是双曲线的两个焦点，若|pf1|+|pf2|=42，则pf1f2的面积为5【解答】解：不妨设p在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|pf1|pf2|=22，又|pf1|+|pf2|=42，|pf1|=32，|pf2|=2，又|f1f2|=

9、2c=23，cosf1pf2=pf12+pf22-f1f222pf1pf2=23，sinf1pf2=53，pf1f2的面积为12×32×2×53=5故答案为：57设f1，f2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左右焦点，ab为过f1的弦（a，b在双曲线的同一支上），若|bf1|=3|af1|，3|ab|=|af2|+|bf2|，则此双曲线的离心率为72【解答】解：根据题意，ab都在双曲线的左支上，则|af2|=|af1|+2a，|bf2|=|bf1|+2a，所以|af2|+|bf2|=|af1|+|bf1|+4a，|ab|=2a设|bf1|=3|af

10、1|=3m，af1f2=，则cos=m2+4c2-(2a+m)22m2c，cos（）=9m2+4c2-(2a+m)223m2c，两式相加并化简得2b23am=0，即m=2b23a又|ab|=2a=4m，所以m=a2由2b23a=a2得b2a2=34，从而e=1+(ba)2=72；故答案为：728过双曲线x2a2-y2b2=1（ a0，b0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为（1，5）【解答】解：由题意过双曲线x2a2-y2b2=1 a0，b0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率ba2，e1e=ca=a

11、2+b2a1+4，1e5，双曲线离心率的取值范围为（1，5）故答案为：（1，5）9如图，已知抛物线y2=4x的焦点为f，直线l过f且依次交抛物线及圆(x-1)2+y2=14于点a，b，c，d四点，则9|ab|+|cd|的最小值是11【解答】解：y2=4x，焦点f（1，0），准线 l0：x=1由定义得：|af|=xa+1，又|af|=|ab|+12，|ab|=xa+12；同理：|cd|=xd+12，当lx轴时，则xd=xa=1，9|ab|+|cd|=15当l：y=k（x1）时，代入抛物线方程，得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，xaxd=1，xa+xd=2k2+4k2，9|ab|+|cd|=

12、5+9xa+xd5+29xaxd=11综上所述4|ab|+|cd|的最小值为11故答案为：11三解答题（共8小题）10已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，椭圆c与y轴交于a，b两点，且|ab|=2（）求椭圆c的方程；（）设点p是椭圆c上的一个动点，且点p在y轴的右侧直线pa，pb与直线x=4分别交于m，n两点若以mn为直径的圆与x轴交于两点e，f，求点p横坐标的取值范围及|ef|的最大值【解答】解：（）由题意可得，2b=2，即b=1，e=ca=32，得a2-1a2=34，解得a2=4，椭圆c的标准方程为x24+y2=1；（）方法一、设p（x0，y0）（0x02），a（0

13、，1），b（0，1），所以kpa=y0+1x0，直线pa的方程为y=y0+1x0x-1，同理：直线pb的方程为y=y0-1x0x+1，直线pa与直线x=4的交点为m(4，4(y0+1)x0-1)，直线pb与直线x=4的交点为n(4，4(y0-1)x0+1)，线段mn的中点(4，4y0x0)，所以圆的方程为(x-4)2+(y-4y0x0)2=(1-4x0)2，令y=0，则(x-4)2+16y02x02=(1-x04)2，因为x024+y02=1，所以 y02-1x02=-14，所以(x-4)2+8x0-5=0，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+5-8x0，x2=45-8x0，因

14、为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以 5-8x00，解得x0(85，2则|x1-x2|=25-8x0（85x02）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2方法二：设p（x0，y0）（0x02），a（0，1），b（0，1），所以kpa=y0+1x0，直线pa的方程为y=y0+1x0x-1，同理：直线pb的方程为y=y0-1x0x+1，直线pa与直线x=4的交点为m(4，4(y0+1)x0-1)，直线pb与直线x=4的交点为n(4，4(y0-1)x0+1)，若以mn为直径的圆与x轴相交，则4(y0+1)x0-1×4(y0-1)x0+10，即16(y02-1)x02

15、-4(y0-1)x0+4(y0+1)x0-10，即16(y02-1)x02+8x0-10因为x024+y02=1，所以y02-1x02=-14，代入得到5-8x00，解得x0(85，2该圆的直径为|4(y0+1)x0-1-(4(y0-1)x0+1)|=|2-8x0|，圆心到x轴的距离为12|4(y0+1)x0-1+(4(y0-1)x0+1)|=|4y0x0|，该圆在x轴上截得的弦长为2(1-4x0)2-(4y0x0)2=25-8x0，(85x2)；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为211已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，点m（2，1）在椭圆c上（1）求椭圆c的方程；（

16、2）直线l平行于om，且与椭圆c交于a，b两个不同的点，若aob为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围【解答】解：（1）椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，点m（2，1）在椭圆c上&e=ca=32&4a2+1b2=1&a2=b2+c2，解得a=22，b=2，c=6，椭圆c的方程为x28+y22=1（2）由直线l平行于om，得直线l的斜率k=kom=12，又l在y轴上的截距为m，l的方程为y=12x+m由&y=12x+m&x28+y22=1，得x2+2mx+2m24=0又直线l与椭圆交于a、b两个不同点，=（2m）24（2m24）0

17、，于是2m2aob为钝角等价于oaob0，且m0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则oaob=x1x2+y1y2=x1x2+(12x1+m)(12x2+m)=54x1x2+m2(x1+x2)+m20，由韦达定理x1+x2=2m，x1x2=2m24，代入上式，化简整理得m22，即2m2，故所求范围是（2，0）（0，2）12已知椭圆c：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为f1，f2，左顶点为a，离心率为22，点b是椭圆上的动点，abf1的面积的最大值为2-12（1）求椭圆c的方程；（2）设经过点f1的直线l与椭圆c相交于不同的两点m，n，线段mn的中垂线为l'若直线l&#

18、39;与直线l相交于点p，与直线x=2相交于点q，求|pq|mn|的最小值【解答】解：（1）由已知，椭圆c：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，则e=ca=22，即a2=2c2a2=b2+c2，b=c设b点的纵坐标为y0（y00）则sabf1=12(a-c)|y0|12(a-c)b=2-12，即(2b-b)b=2-1b=1，a=2椭圆c的方程为x22+y2=1（2）由题意知直线l的斜率不为0，故设直线的方程为x=my1，设m（x1，y1），n（x2，y2），p（xp，yp），q（2，yq）联立&x2+2y2=2&x=my-1，消去x，得（m2+2）y22my1=0此

19、时=8（m2+1）0y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2由弦长公式，得|mn|=1+m2|y1-y2|=1+m24m2+4m2+8m2+2整理，得|mn|=22m2+1m2+2又yp=y1+y22=mm2+2，xp=myp1=-2m2+2|pq|=1+m2|xp-2|=1+m22m2+6m2+2|pq|mn|=2m2+622m2+1=22m2+3m2+1=22(m2+1+2m2+1)2，当且仅当m2+1=2m2+1，即m=±1时等号成立当m=±1，即直线l的斜率为±1时，|pq|mn|取得最小值213已知双曲线y2a2x2b2=1（a0，b0）的两条渐

20、近线与抛物线d：y2=2px（p0）的准线分别交于a，b两点，o为坐标原点，双曲线的离心率为233，abo的面积为23（）求双曲线c的渐近线方程；（）求p的值【解答】解：（i）由双曲线的离心率为233，所以e=ca=a2+b2a=233，由此可知ba=33，双曲线y2a2x2b2=1的两条渐近线方程为y=±abx，即y=±3x； （ii）由抛物线y2=2px的准线方程为x=p2，由&y=3x&x=-p2，得&x=-p2&y=-32p，即a（p2，32p）；同理可得b（p2，32p） 所以|ab|=3p，由题意得abo的面积为123pp2=23

21、，由于p0，解得p=22，所求p的值为2214已知双曲线c：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的离心率为2，右顶点为（1，0）（1）求双曲线c的方程；（2）设直线y=x+m与y轴交于点p，与双曲线c的左、右支分别交于点q，r，且|pq|pr|=2，求m的值【解答】解：（1）因为e=2，a=1，c=2，b=3，所以c：x2-y23=1（2）设q点横坐标为xq，p点横坐标为xp平行线分线段成比例定理：|pq|pr|=|xq|xp|=2，联立：&y=-x+m&3x2-y2=3得：2x2+2mx3m2=0，xp，q=-m±3m2+62，则|xq|xp|=|-m-3m2+6|

22、-m+3m2+6|=m+3m2+63m2+6-m=2m2=1，m=1或m=1（舍）与已知条件不符15已知双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0），直线l：x+y2=0，f1，f2为双曲线的两个焦点，l与双曲线的一条渐近线平行且过其中一个焦点（1）求双曲线的方程；（2）设与l的交点为p，求f1pf2的角平分线所在直线的方程【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为f1（2，0），f2（2，0），双曲线方程为x2y2=2；（2）&x2-y2=2&x+y-2=0p(32，12)，显然f1pf2的角平分线所在直线斜率k存在，且k0，kpf1=17，kpf2=-1，于是|kpf1-k1+kpf1k|=|kpf2-k1+kpf2k|k=3y-12=3(x-32)3x-y-4=0为所求16已知双曲线c：x24-y2=1的左右两个顶点是a1，a2，曲线c上的动点p，q关于x轴对称，直线a1p与a2q交