关于函数对称点的两个结论及应用举例

1、    关于函数对称点的两个结论及应用举例    金晓江摘  要：归纳、猜想、证明是获取数学知识的一种重要途径，可以用在一个具体问题的解决上，也可以用在对这类问题共性和规律的再归纳、再猜想、再证明，从而得到更一般的结论，这样的数学学习会更有意义.关键词：对称中心;对称轴基于合情推理的解题教学实践一文摘录题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.设f（x）=x3-3x2+5x-3，f（-1）=-12，f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，师生共同发现函数f（x）关于点（1，0）中

2、心对称.题目2 已知f（x）=2x-cosx，an是公差为  的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2-a1a5等于（  ）a.？摇0 b.？摇   c.？摇   d.？摇解：因为f（-）=-2+1，f-  = -，f（0）=-1，f  =，f（）=2+1，f  =3，f（2）=4-1，由此归纳出函数f（x）关于点  ，中心对称.应用推广上碰到了问题其实以上两例中，如果题目设定的函数对称中心的数值更复杂些，就不太容易得出猜想，所以从一组特殊的函数值归纳猜想函数的对称中心并不太容易.如f（x

3、）=x3-x2+5x的图象对称中心为  ，  .又如f（x）=2x-cos4x的图象对称中心为  ，  .所以有必要寻求一种求解函数图象对称中心的更加方便的方法.对称中心的求解有法可依定理1  定义在r上的可导函数f（x）的图象关于点（h，f（h）对称的充要条件是导函数f （x）的图象关于直线x=h对称.必要性证明：若函数f（x）的图象关于点（h，f（h）对称，则对于任意的x恒有f（h+x）+f（h-x）=2f（h）.因为函数f（x）可导，对上式两边求导得f （h+x）-f （h-x）=0，即f （h+x）=f （h-x）.所以函数f （x）的

4、图象关于直线x=h对称.充分性证明：若函数f （x）的图象关于直线x=h对称，则对于任意的x恒有f （h+x）=f （h-x）.对上式两边积分得f（h+x）=-f（h-x）+.令x=0，则有=2f（h），所以f（h+x）+f（h-x）=2f（h），所以函数f（x）的图象关于点（h，f（h）对称.定理1给出了求函数对称中心的一条路径，即欲求函数图象的对称中心，可先求其导函数图象的对称轴.对称中心条件下的一个结论定理2  定义在a上的单调函数f（x）的图象关于点（a，f（a）对称，等差数列an满足ana，若f（a1）+f（a2）+f（a2n+1）=（2k+1）f（a），则an+1=a.证

5、明：设等差数列的公差为d，1. 当函数f（x）单调递增时.若an+1>a，则f（a1）+f（a2）+f（a2n+1）=f（an+1-nd）+f（an+1）+f（an+1+nd）>f（a-nd）+f（a）+f（a+nd）=（2n+1）f（a），这与已知矛盾若an+12. 当函数f（x）单调递减时，同理可得an+1=a.综上，定理2成立.结论的应用举例题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.解：设f（x）=x3-3x2+5x，则f （x）=3x2-6x+5.因为函数f （x）的图象关于直线x=1对称，由定理1得函数f（x）的图象关于点（1

6、，3）对称.所以f（a）+f（2-a）=6？摇（1），因为f（a）+f（b）=6？摇（2），（1）-（2）得f（2-a）=f（b）.因为f （x）=3x2-6x+5=3（x-1）2+2>0，所以f（x）在（-，+）上为增函数，由f（2-a）=f（b）可得2-a=b，所以a+b=2.题目2 已知f（x）=2x-cosx，an是公差为  的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5. 则f（a3）2-a1a5等于（  ）a.？摇0 b.？摇   c.？摇   d.？摇解：因为f （x）=2+sinx>0，所以f（x）为增函数且f （x）的图

7、象关于直线x=  对称，由定理1得函数f（x）的图象关于点  ，中心对称.因为f（a1）+f（a2）+f（a5）=5=5f  ，由定理2得a3=  . 所以f（a3）2-a1a5=2-  -    +  =  .题目3 已知函数f（x）=（x-3）5+x-1，等差数列an的公差d0，f（a1）+f（a2）+f（a27）=54，若f（ak）=2，求k的值.解：因为f （x）=5（x-3）4+1>0，所以f（x）为增函数且f （x）的图象关于直线x=3对称. 由定理1知f（x）的图象关于点（3，2）对称.因为f（a1）+f（a2）+f（a27）=27f（3），由定理2得a14=3.所以f（a14）=f（ak）=2，而f（x）为增函数. 所以ak=a14，因为公差d