翻转课堂讨论题 (6组题)

1、第一组 讨论题1.两型线积分及两型面积分的定义域计算有何异同点？两者之间有有怎样的联系？解答内容：第一型曲面积分也称为对面积的曲面积分，其中称为曲面面积元素，这种曲面积分对积分曲面没有有向性的要求.第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分.设为一有向曲面,为一向量值函数，正侧上的单位法向量，则由在上的第二型曲面积分的表达式 , (1)或 (2)就给出了两类曲面积分的联系.(1)式及(2)式的右端都是以第一型曲面积分的形式出现的，那么，积分曲面的有向性体现在哪里呢？我们说，的有向性体现在上，因为这里的是指有向曲面正侧的单位法向量，是正侧法向量的方向角.在(2)式中，记，它们分别是小块有向曲面在、面的

2、投影，由此可将第二型曲面积分写成一种常见形式. (3)有时候，利用上述两类面积分的联系，将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分来计算也是方便的.例如：例 计算，其中是锥面的下侧在，的部分.解 本例虽然利用第二型曲面积分的计算法可计算，但化为第一型曲面积分来计算则较简便.由于的法向量为,单位法向量为 , (4)这里究竟应取“+”号还是取“”号呢？由于的正侧是下侧，从而有，因此，(4)式前面的符号应取正号，于是得正侧的单位法向量是.于是由(2)式得这就将化成了第一型曲面积分.现在利用第一型曲面积分来计算：将向面投影，投影域为矩形域：，,曲面面积元素为.于是得.2. 设为柱面介于与之间的部分，在计算曲

3、面积分时，有人说：由于在面的投影域的面积为零，故.这个说法对吗？正确的解法是什么？解答内容：不对. 在面的投影是一条曲线：所以不能将化为面上投影域上的二重积分，正确的解法是应将积分化为(或)面投影域上的二重积分. 在面上的投影域是：，在曲面：,及：上均有,于是有 .第二组 讨论题3. 怎样理解第二型曲面积分中的？怎样计算积分？通过具体例加以子说明.解答内容：按对坐标的第二型曲面积分的定义，有 (1)其中是曲面正侧单位法向量的第3个分量(其中，是正侧法向量的3个方向角)，是曲面面积元素.设曲面的方程是，则曲面面积元素为 , (2)的法向量为,从而知的单位法向量为 , (3)于是得 , (4)由于

4、当的正侧为上(下)侧时，角为锐(钝)角，有,所以，(3)式右端括号前符号的取法是：当的正侧为上(下)侧时，取负(正)号.将(2)、(4)式代入(1)式，便得 (5)注意是小块曲面在面上投影区域的面积，而从(5)式的前二式知的绝对值就等于这个面积，因此我们称为小块有向曲面在面上的投影，其含意应按(5)式来理解.弄清楚了的含意，也就不难理解第二型曲面积分的计算法了.这个计算法是将化为在面上投影域上的二重积分，即 以上讨论实际上是在上不变号的条件下讨论的.如果在上是变号的，则在计算积分时，应将分片，使在每一片上不变号，然后分片求积分.4. 设是圆柱面的外侧在的部分，是在的部分，有人利用对称性得到下列

5、结果：(1) ； (2) ；(3) .其中是在的部分.试判断上述运算是否正确？解答内容：都不正确.事实上，记在的部分和在的部分分别为和，则在上有，且为锐角，从而有；在上有，且为钝角，从而有.显然，和在面的投影域为同一区域：，.于是由第二型曲面积分的计算法可得(1).(2) =. (3).所以，问题中给出的三个结果都是错误的.产生错误的原因主要在于没有理解第二型面积分中的是什么.我们知道，并非二重积分中的面积元素，而是小块有向曲面在面的投影，即.故当时，等于在面上投影域的面积，即；当时，等于在面上投影域的面积的负值，即.所以，在关于坐标的第二型面积分中，虽然积分曲面关于面对称，被积函数关于具有奇

6、偶性，我们也不能将重积分中利用对称性简化计算的有关结果照搬到这里来，否则就可能导致错误.5. 举例说明在第二型曲线、曲面积分中怎样利用“字母轮换性”简化计算？解答内容：我们用下面的两个例子来说明何谓“字母轮换性”以及怎样利用这种性质简化某些计算.例1 计算曲线积分,其中为球面在第一卦限部分的边界曲线，其方向与球面在第一卦限的外法线方向构成右手系.解 直接计算，就要分别计算三个积分：，.如果注意到字母在积分曲线中处于对称地位，以及三个积分中字母的关系，则可作如下字母轮换：将换成，将换成，将换成.显然，在此变换下，积分曲线没有改变，而表达式变成了，因此，在此变换下就将变成了.即有=，同理有，.于是

7、，可将积分简化为. 例2 计算曲面积分,其中为由平面所围四面体的表面的外侧.解 直接计算，则要分别计算下列三个积分：，.注意中的处于对称地位，因此作字母轮换：将换成，将换成z，将换成，则没有改变，而表达式变成了，于是在此变换下，有=.同理有 ，.因此的计算可简化为.在以上两例中，我们都作了变换：，由于是字母位置的一种“轮换”，而积分变量用什么字母并不是本质问题，因此称这种性质为“字母轮换性”.注意,使用这种方法简化积分计算的条件是字母在积分曲线(曲面)中处于对称地位.第三组 讨论题6.教材P274页（B）1.格林公式的两种形式有什么关联？7. 设是椭圆的正向，有人求曲线积分如下：因为，所以由格

8、林公式得，其中为所围闭区域. 上述解法是否正确？如果错误，错在何处？正确的解法是什么？此解法错误.由于内包含函数及的不连续点，所以，格林公式的条件不满足，因而不能应用格林公式.正确的解法是利用复连通域上的格林公式：在内作一圆周：(为足够小的正常数)，其方向为顺时针方向.记由与所围闭区域为，则函数均在上连续，于是由复连通域上的格林公式可得,从而得 .其中指正向圆周，为所围闭区域.8.设是不通过原点的任一简单平面闭曲线的正向，怎样如下计算曲线积分？解答内容： 计算积分曲线不确定的平面第二型曲线积分，一般需要格林公式，或利用与路径无关的曲线积分的计算法。在本题中，当包围原点时，函数、及，在内存在不连

9、续点，因而不能直接应用格林公式. 所以应当是对是否包围原点作出讨论，分别求解：(1) 如果不包围原点，则格林公式的条件是满足的.且由于在所围成的域上恒成立，于是由格林公式得. (2) 如果包围原点，则在内作一包围原点的闭曲线：，其中是一正常数，的正向为顺时针方向，并记由与所围成的(在之内，在之外)闭区域为，则函数，均在上连续，于是由复连域上的格林公式，得,由此得 ,所以， (应用格林公式) .其是是指逆时针方向的椭圆，为所围的平面闭区域.第四组 讨论题9.积分与路径无关的等价命题是什么？怎样判别平面曲线积分是否与路径无关？怎样判定空间曲线积分是否与路径无关？ 解答内容：这里有两个定理：定理1

10、设为一平面区域(可以不是单连通区域)，函数在内连续，则下列三个命题等价：(1) 沿内任一分段光滑的简单闭曲线，都有；(2) 在内，曲线积分与积分路径无关；(3) 被积式在内是某个二元函数的全微分，即.定理2 设为一平面单连通区域，函数均在内连续，则定理1中的三个条件与下述条件等价：(4) 在内恒成立. 上面两个定理中的条件(1)、(3)、(4)都可用于判别平面曲线积分是否与路径无关.其中，较常用的是条件(3)和(4).特别是条件(4)应用最为方便，因而也最为常用，但必须注意应用条件(4)的条件，它不仅要求区域为单连通域，还要求函数在内连续.在利用条件(4)判别平面曲线积分是否与路径无关时，我们

11、必(2)这里有一个定理：设为一空间一维单连域(如果对于空间区域内的任何简单闭曲线，都可以作出一张以为边界而完全属于的曲面，则称域为空间一维单连域)，函数，都在内具有一阶连续偏导数，则下列三个条件都是在内曲线积分与路径无关的充要条件：(1) 是一无旋场，即在内恒有；(2) 沿内任一简单闭曲线，均有=；(3) 存在三元函数，使在内恒有. 由此定理知，定理中的三个条件都可用于判定空间曲线积分是否与路径无关，但通常最方便最常用的是利用条件(1)进行判定. 10. 设为摆线, 从到的一段，有人计算曲线积分如下：作法 1：可验证，故这是一个与路径无关的线积分，于是可取积分路径为(从变到)，因为在有，故得

12、作法 2：由于，于是由原函数法得，作法3：可验证这是一个与路径无关的线积分，因此取积分路径为下半圆周：(从变到0)，得.问以上作法是否正确？如不正确，错在何处？正确的解法是什么？11. 计算曲线积分，其中L分别为：（1）沿逆时针方向的分段光滑闭曲线，原点不在曲线所围成的区域中；（2）沿逆时针方向的分段光滑闭曲线，原点在曲线所围成的区域中；（3）沿逆时针方向的过原点（但是不包括原点）的分段光滑闭曲线。第五组 讨论题12.三大公式各自的条件与结论分别是什么？有何重要意义？有何共性？13. 设是不经过原点的任意闭合曲面的外侧，有人计算曲面积分如下：由于，于是由高斯公式得.这个解法是否正确？如果错误，

13、错在何处？正确的解法是什么？解答内容：这个解答是错误的，因为它忽略了应用高斯公式的条件：函数在闭合曲面所包围的闭区域上有一阶连续偏导数.而本题中的函数，在原点处不连续，因此当包围原点时就不能应用高斯公式.所以应该对是否包围原点给以讨论.正确解答如下：(1) 若不包围原点，则函数及其偏导数在所包围的闭区域上连续，满足高斯公式的条件，应用高斯公式得.(2) 若是包围原点的球面：，则因为在上有，故可将被积式中的=提出来，得。对上式右端的曲面积分再应用高斯公式，得.(3) 若是包围原点的任何闭合曲面，则不能直接应用高斯公式.我们在内作一个包围原点的闭合曲面：(为足够小的正常数)，其方向指内侧，然后在由

14、和所包围的闭区域上应用复连通域上的高斯公式，得，由此得 其中指闭合曲面的外侧，再对上式右端的积分利用(2)的结果，便得. 从上述(3)的解法可见，若在空间中除一点(或一小区域)外处处有，则包围这一点(或这一小区域)的任意同向闭合曲面上的曲面积分都相等.第六组 讨论题14. 举例说明对于给定的向量值函数，怎样判断是否存在势函数，使得？如果存在这样的，怎样求势函数？解答内容：满足的函数称为的势函数.由于为有势场为无旋场，所以判定是否为有势场的常用方法是检验是否为零.至于求有势场的势函数的求法，同平面情形一样，也有三种方法，即：凑微分法：偏积分法；沿特殊路径求线积分法. 我们用下面的例子具体说明这种

15、问题的求解方法.例 设，判断是否存在函数，使得；如果存在，求出.解 由于的旋度 ,即是无旋场，所以是有势场. 以下用几种方法求的势函数： 方法1 用凑微分法，由于，所以有势函数.方法2 用偏积分法，设，即 ; (1); (2). (3)由(1)式知 , (4)由(4)式对求导并与(2)式对比得，由此得，于是得 ， (5)由(5)式对求导并与(3)式对比得，由此得 ,所以(为任意常数)，从而由(5)式得，代入(4),得的势函数.解法3 利用特殊路径求线积分的方法. 的势函数可取为 ,上式右端是与路径无关的线积分，取积分路径为如图所示的与坐标轴平行的有向折线，得.15. 设是锥面在的部分的外表面，

16、.计算曲面积分主要有哪些方法?解答内容：第二型曲面积分是多元积分学的一个难点，计算时不仅要考虑怎样化为重积分，还要特别注意积分曲面的方向.本例是一个利用各种积分的联系和对称性计算第二型曲面积分的例子，希望读者仔细体会这些方法，进而掌握这些方法并加深对各种积分联系的理解.解法1 注意是一个旋度场，因而是一个无源场，所以可考虑用高斯公式来解本题.由于不是闭合曲面，我们补一个面：的下侧，则在由和所围闭区域上利用高斯公式(可验证应用高斯公式的条件满足)，得，由此得 ， (1)由于 ， (2)故由(1)式得.解法2 由斯托克斯公式，有 (3)其中为曲面的边界曲线的正向(从0变到).将的参数方程代入(3)

17、式右端，得.解法3 化为第一型曲面积分来求.由的方程得上的法向量为，的正侧为下侧，故得正侧的单位法向量为，于是得， (4)在面上的投影域为圆域：，上的曲面面积元素，于是由(4)式得 (5)注意平面区域关于轴对称，而(5)式被积函数的第一项关于是奇函数，从而得.解法4 用第二型曲面积分的直接计算法来计算.将(2)式代入,得 ，其中，.现在分别来计算.为计算，若将曲面分为两片：，其正法线与轴正向的夹角为锐角；：，其正法线与轴正向的夹角为钝角，则与在面的投影域均为三角形区域：，于是得 ,上式最后一步利用了区域关于轴对称，而被积函数是的奇函数，从而得积分为零. 同理可得.于是得.解答内容：这个解答是错误的，因为它忽略了应用高斯公式的条件：函数在闭合曲面所包围的闭区域上有一阶连续偏导数.而本题中的函数，在原点处不连续，因此当包围原点时就不能应用高斯公式.所以应该对是否包围原点给以讨论.正确解答如下：(1) 若不包围原点，则函数及其偏导数在所包围的闭区