全国高考三角函数题

1、1 全国高考三角函数题1 （本小题满分12 分）如图 3，d 是直角 abc 斜边 bc 上一点， ab=ad ，记 cad= ， abc= . （）证明： sin+cos2 =0；（）若ac=3dc，求 的值 . 2、 （本小题满分分）已知函数2( )3sin(2)2sin ()().612f xxxxr（i）求函数( )f x的最小正周期；（ii）求使函数( )f x取得最大值的x集合。3（本小题满分14 分）已知函数.),2sin(sin)(rxxxxf（） 求 f(x) 的最小正周期：（）求f(x) 的最大值和最小值：（）若,43)(f求 sin2的值。4( 本小题满分12 分) 已知

2、)cos()22sin(sin3cos=1, (0 ，) ，求 的值5 （本小题满分12 分）已知函数 f(x)=3sin(2x6)+2sin2(x12)(xr)。（）求函数f(x)的最小正周期；（）求使函数f(x)取得最大值的x 的集合 . 2 6（本小题满分12 分）在abc中，内角,a b c对边的边长分别是, ,a b c，已知2222acb. （）若4b，且a为钝角，求内角a与c的大小；（）若2b，求abc面积的最大值 . 7. (本题满分14 分) 本题共有2 小题 ,第 1 小题满分8 分, 第 2 小题满分6 分. 已知函数f(x)=2sin(x+6)-2cosx,x 2,.

3、(1) 若 sinx=54,求函数 f(x) 的值 ; (2 )求函数 f(x) 的值域 . 8( 本小题满分12 分) 如图，已知abc是边长为1 的正三角形， m 、n分别是边ab 、ac上的点，线段mn经过 abc的中心 g.设 mga= (3 32) (1)试将 agm 、 agn的面积 ( 分别记为s1与 s2) 表示为 的函数； (2)求 y=221211ss的最大值与最小值9 （本题满分12 分）求函数y2)4cos()4cos(xxx2sin3的值域和最小正周期10 ( 本小题满分12 分) 在锐角 abc中，角 a、b、c所对的边分别为a、b、c，已知 sina=322， (

4、1)求 tan22cb+sin22a的值； (2) 若 a=2， s abc=2，求 b 的值3 11（本题满分12 分）已知 是第一象限的角，且cos=)42cos()4sin(,135求的值 . 12.（本小题满分12 分）在abc中，内角a，b，c对边的边长分别是a，b，c，已知2222acb. （）若4b，且a为钝角，求内角a与c的大小；（）求sinb的最大值 . 13、 （本小题满分12 分）已知43,tan+cot=310。（）求tan的值（）求)4sin(282112cos2sin825cossin22的值。14、 (本小题满分12 分) 已知函数22( )sin2sincos3

5、cosf xxxxx，xr.求: (i) 函数( )f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(ii) 函数( )f x的单调增区间. 15、 （本大题满分12 分）已知,a b c是三角形abc三内角，向量m =(-1,3), n=(cosa,sina),且 mn =1.（）求角a；（）若221sin23cossinbbb，求 tanc.16、 （本大题满分12 分）已知40,sin25（）求22sinsin2coscos2的值；（）求5tan()4的值。17 （本小题满分12 分）已知函数22( )sin2sincos3cosf xxxxxx，r，求（1）函数( )f x的最大值及取得最

6、大值的自变量x的集合；4 （2）函数( )f x的单调增区间18、 （本大题满分12 分）已知,a b c是三角形abc三内角，向量m =(-1,3), n=(cosa,sina),且 mn =1.（）求角a；（）若221 sin23cossinbbb，求tanb19. (本题满分18 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分4 分，第 3 小题满分 10 分.设函数40,cos)1(sin)(nnnnf，其中n为正整数 . （1）判断函数)()(31ff、的单调性，并就)(1f的情形证明你的结论；（2）证明：224446sincossincos)()(2ff；（3）对于

7、任意给定的正整数n，求函数)(nf的最大值和最小值. 20、 （本小题共12 分）已知函数f（x）=.cos)42sin(21xx（）求f（x）的定义域；（）设是第四象限的角，且tan = ,34求 f（ ）的值 . 21、 （本小题满分12 分）abc的三个内角为a、b、c，求当 a 为何值时2cos2coscba取得最大值，并求出这个最大值。22、 ( 本小题满分12 分) 如图，在 abc中， ac=2 ，bc=l，cosc=43 () 求 ab的值； ( ) 求 sin(2a+c) 的值(23)( 本小题满分12 分) 5 已知函数 f(x)=4x3-3x2cos+163cos，其中

8、xr, 为参数，且0 2 () 当 cos=0 时，判断函数f(x) 是否有极值； () 要使函数f(x) 的极小值大于零，求参数的取值范围； () 若对 ( ) 中所求的取值范围内的任意参数，函数 f(x)在区间 (2a-1 ，a) 内都是增函数，求实数 的取值范围24、 (本小题满分12 分 ) abc的三个内角为a、b、c，求当 a 为何值时 ， cosa+2cos2cb最得最大值，并求出这个最大值 . 25、 (本小题满分12 分 ) 已知 tan+cot =25，(4，2)，求 cos2 和 sin(2+4)的值 . 26、 (本小题满分12 分 ) 已知函数f(x)=4x3-3x2

9、cos+321，其中 xr，为参数，且02. ()当 cos=0 时，判断函数f(x) 是否有极值；()要使函数f(x) 的极小值大于零，求参数的取值范围；()若对 ()中所求的取值范围内的任意参数，函数 f(x) 在区间 (2a-1，a)内都是增函数，求实数 a 的取值范围 . 27、 （本小题满分12 分）已知函数22( )sin3 sincos2cos,.f xxxxx xr（i）求函数( )f x的最小正周期和单调增区间；（ii ）函数( )f x的图象可以由函数sin 2 ()yx xr的图象经过怎样的变换得到？28、 （本小题满分分）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.2

10、2ab（i）若,ab求;（ii）求ab的最大值。29、如图，函数)20(),sin(2其中rxxy的图象与y 轴交于点（ 0，1）6 （）求的值；（）设 p 是图象上的最高点，m、 n 是图象与x 轴的交点，求pm与pn的夹角。30（本小题满分12 分）已知函数( )f x=sin2x+3sinxcosx，xr （i）求函数( )f x的最小正周期和单调增区间；（ii）函数( )f x的图象可以由函数sin 2 ()yx xr的图象经过怎样的变换得到？31、 （本小题满分分）在2 545 ,10,cos5abcbacc中，,求（1）?bc(2)若点dab是的中点，求中线cd 的长度。32、 .

11、(本小题满分12 分) 已知函数f(x)=asin2(x+)(a 0，0，02)，且 yf(x) 的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点 (1，2)()求；()计算 f(1)+f(2)+ +f(2008) 33、设函数2( )3 cossincosf xxxxa（其中0,ar） 。且( )f x的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6。（）求的值；（）如果( )f x在区间5,36上的最小值为3，求a的值；34、 （本小题满分12 分）设向量 a=（sinx，cos x） ， b=（cosx，cosx） ，x r，函数 f（x）=a（a+b） 。（）求函数f（x）的最大值与最小

12、正周期；（）求使不等式f（x）23成立的 x 的取值集合。7 全国高考三角函数题答案1解（）如图，因为=2-bad=2-（-2） =2-2，所以sin =sin（2 -2）=-cos2，即 sin +cos2 =0. （）在 adc 中，由正弦定理得)sin(sinacdc，即sin3sindcdc. 所以 sin=3sin.由（），sin=-cos2，所以 sin=-3cos2=-3（1-2sin2）. 即 23sin2-sin-3=0. 解得 sin=23或 sin=-33. 因为 0 2，所以 sin =23，从而 =3. 2.解： （） f(x)=3sin2(x12)+1cos2(x1

13、2)=223sin2(x12)21cos2(x12)+1=2sin2(x12)6+1=2sin(2x 3)+1. t=22=. （）当f(x) 取最大值时，sin(2x3)=1.有 2x3=2k+2，即x=k+125（kz）,所求 x 的集合为 x r|x=k +125， kz 3解：)4sin(2cossin)2sin(sin)(xxxxxxf（）)(xf的最小正周期为212t；（）当1)4sin(x，即)(42zkkx时， f(x) 有最大值2；当1)4sin(x，即)(432zkkx时， f(x) 有最大值2。即)(xf的最大值为2和最小值2；（）因为43)(af，即169cossin2

14、143cossin1672sin8 即2sin的值为167。4. 解由已知条件得3sin -cos2coscos=1 即3sin -2sin2=0解得 sin =23或 sin =0 由 0 知 sin =23，从而 =3或 =32. 5.解： ()f(x)=3sin2(x12)+1cos2(x12) =223sin2(x12)21cos2(x12)+1 =2sin2(x12)6+1 =2sin(2x 3)+1， t=22=. ()当 f(x) 取最大值时， sin(2x3)=1,有2x3=2k+2, 即x=k+125(kz), 所求 x 的集合为 x r|x=k +125,kz. 6、解答：

15、（）由题设及正弦定理，有222sinsin2sin1acb. 故22sincosca.因a为钝角，所以sincosca. 由coscos()4ac，可得sinsin()4cc，得8c，58a. （）由余弦定理及条件2221()2bac，有22cos4acbac，故cosb12. 由于abc面积1sin2acb，又ac221()42ac，sinb32，当ac时，两个不等式中等号同时成立，所以abc面积的最大值为134322. 7. 解(1) sinx=54, x2,cosx=-532 分f(x)=2(23sinx+21cosx)-2cosx =3sinx-cosx=543+538分(2) f(x

16、)= 2sin(x-6) 10分 2 x , 6563x,21 sin(x-6) 1 14分函数 f(x)的值域 1,2 8解：（1）因为 g 为边长为1 的正三角形abc 的中心，9 所以ag=332332， mag=6.由正弦定理)6sin(6singagm，得 gm=)6sin(63， 则 s1=21gm ga sin=)6sin(12sin（或 =)cot3(61） . 又)6sin(6singagn，得 gn=)6sin(63，则 s2=21gnga sin（-）=)6sin(12sin（或 =)cot3(61） . （2）y=22221sin14411sssin2（+6） + si

17、n2（ -6） =72（3+cot2）. 因为3 32，所以当 =3或=32时， y 的最大值ymax=240; 当=2时， y 的最小值ymin=216. 9、解：62sin22sin32cosxxxy，2,2y，t。10.解： （ 1）因为锐角abc 中， a+b+c= ， sina=322,所以 cosa=31则 tan22sin)2(cos)2(sin2sin22222acbcbacb=3731cos1cos1)cos1(21)cos(1)cos(1aaacbcb. 10 （2）因为 sabc=2，又 sabc=21bcsina=21bc2322，则 bc=3.将 a=2,cosa=3

18、1,c=b3代入余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa, 得 b4-6b2+9=0,解得 b=3. 11.解：)42cos()4sin(=sincos122sincos)sin(cos222cos)sin(cos2222由已知可得sin1312, 原式 =142131312135122. 12、解答：（）由题设及正弦定理，有222sinsin2sin1acb. 故22sincosca.因为a为钝角，所以sincosca. 由coscos()4ac，可得sinsin()4cc，得8c，58a. （）由余弦定理及条件2221()2bac，有22cos4acbac，因222acac，所以1cos

19、2b.故3sin2b，当ac时，等号成立 .从而，sinb的最大值为32. 13、解：（）,310cottan,03t a n10tan32解得.3tan31tan或.0t an1,43.31t an（）,31tan)4sin(282cos112cos2sin82sin52211 .451tan3tan4cossincos3sin4cossin8cos33sin45cossin82cos16sin4)2cos2(sin52214、 ()解法一： f（x） =2)2cos1(32sin22cos1xxx=2+sin2x+cos2x=2+2sin（2x+4）当 2x+4=2k+2，即 x=k +8

20、（k z）时 ,f（x）取得最大值2+2. 因此 f（x）取得最大值的自变量x 的集合是 x|x=k +8，kz. 解法二： f（x）=（sin2x cos2x）+ sin2x +2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+2sin（2x+4）. 当 2x+4=2k+2，即 x=k +8（k z）时 f（x）取得最大值2+2. 因此 ,f（x）取得最大值的自变量x 的集合是 x|x=k +8， （kz. ()解： f（x）=2+2sin（2x+4） , 由题意得2k-22x+42k+2（kz）.即 k-)(883zkkx. 15、解：（） mn =11,3cos,sin1aa即3si

21、ncos1aa312 sincos122aa, 1sin62a50,666aa66a3a（）由题知221 2sincos3cossinbbbb，整理得22sinsincos2cos0bbbbcos0b2tantan20bbtan2b或tan1b而tan1b使22cossin0bb，舍去tan2btantancabtan abtantan1tantanabab231 2 385 31112 16、解:( ) 因为锐角 , 且54sin, 所以53sin1cos2. 201)53(353542)54(1cos3cossin2sin2coscos2sinsin222222. ( )34cossint

22、an,71tan11tan45tantan145tantan)45tan(17、 （）解法一：f（x）=22cos1x+sin2x+2)2cos1(3x=2+sin2x+cos2x=2+2sin（2x+4）. 当 2x+4=2k+2,即 x=k +8（kz）时， f（x）取得最大值2+2. 因此， f（x）取得最大值的自变量x 的集合是 x|x=k +8， （kz）. 解法二： f（x）=（sin2x+cos2x） +sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x =2+2sin（2x+4）. 当 2x+4=2k+2，即 x=k +8（kz）时， f（x）取得最大值2+2. 因此，

23、f（x）取得最大值的自变量x 的集合是 x|x=k +8， （kz）. ()解： f（x）=2+2sin（2x+4） ，由题意得2k-22x+42k+2（kz） ，即 k-83 x k+8（kz）. 因此， f（x）的单调增区间是k-83，k+8 （kz）. 18、解：（） mn =11,3cos,sin1aa即3sincos1aa312 sincos122aa, 1sin62a50,666aa66a3a（）由题知221 2sincos3cossinbbbb，整理得22sinsincos2cos0bbbbcos0b2tantan20bbtan2b或tan1b而tan1b使22cossin0bb

24、，舍去tan2b13 19、解答 ：本题主要考查三角函数的化简、证明以及三角函数的最值等综合问题. （1）)()(31ff、在4, 0上均为单调递增的函数. 2 分对于函数cossin)(1f，设4,0,2121、，则)()(2111ff1221coscossinsin，1221coscos,sinsin，,2111ff函数)(1f在4,0上单调递增 . 4 分（2）原式左边4466cossincossin244422422cossincoscossinsincossin22cos2sin122. 6 分 又原式右边2cossincos2222. 224446sincossincos)()(2

25、ff. 8分（3）当1n时，函数)(1f在4, 0上单调递增，)(1f的最大值为041f，最小值为101f. 当2n时，12f，函数)(2f的最大、最小值均为1. 当3n时，函数)(3f在4,0上为单调递增 . )(3f的最大值为043f，最小值为103f. 当4n时，函数2sin211)(24f在4, 0上单调递减，)(4f的最大值为104f，最小值为2144f. 11 分下面讨论正整数5n的情形：当n为奇数时，对任意4,021、且,21122121coscossinsin)()(nnnnnnff，以及1coscos0, 1sinsin01221，1221coscos,sinsinnnnn，

26、从而)()(21nnff. 14 )(nf在4,0上为单调递增，则)(nf的最大值为04nf，最小值为104f. 14 分当n为偶数时，一方面有)0(1cossincossin)(22nnnnff. 另一方面，由于对任意正整数2l，有0s i nc o ssi nc o s)()(2222222222llllff，421)(21)(21)(122122nnnnnffff. 函数)(nf的最大值为1)0(nf，最小值为nnf2124. 综上所述，当n为奇数时，函数)(nf的最大值为0，最小值为1.当n为偶数时，函数)(nf的最大值为1，最小值为n212. 18 分20、解：（）由cos x 0得

27、 x k+2（kz） ， 故 f（x）的定义域为x|x k+2，kz .（）因为tan = 34，且 是第四象限的解，所以 sin = 54，cos=53，故 f（ ）=cos)42sin(21.514)sin(cos2coscossin2cos2cos2cos2sin1cos)2cos222sin22(21221、解：由cba，得222acb，所以有2sin2cosacb2sin2cos2cos2cosaacba15 23)212(sin22sin22sin2122aaa当212sina，即3a时，2cos2coscba取得最大值23。22、()解：由余弦定理，ab2=ac2+bc2-2ac

28、 bccosc=4+1-2 2143=2那么， ab=2()解：由 cosc=43且 0c ，得 sinc=47cos12c由正弦定理，abccabsinsin, 23、解得 sina=814sinabcbc,所以 ,cosa=825.由倍角公式sin2a=2sina cosa=1675，且 cos2a=1-2sin2a=169，故sin（2a+c ）=sin2acosc+cos2asinc=873. 23、( ) 解：当 cos=0时， f(x)=4x3，则 f(x)在(- ， +) 内是增函数，故无极值( ) 解： f (x)=12x2-6xcos ，令 f (x)=0 ，得x1=0，x2

29、=2cos. 由( ) ，只需分下面两种情况讨论当 cos0 时，随 x 的变化， f (x) 的符号及 f(x)的变化情况如下表：因此，函数f （x）在 x=2cos处取得极小值f （2cos） ，且16 f （2cos）=-cos163cos413. 要使 f（2cos） 0，必有 -)43(coscos4120，可得0cos23. 由于 02，故62或23611. 当 cos0 时，随 x 的变化， f （ x）的符号及f （x）的变化情况如下表：因此，函数f（x）在 x=0 处取得极小值f（0） ，且f（0）=163cos若 f （0） 0，且 cos0. 矛盾 . 所以当 cos 0

30、 时， f （x）的极小值不会大于零. 综上，要使函数f （ x）在（ - ， +）内的极小值大于零，参数的取值范围为).611,23()2,6(（）解：由（）知，函数f （x）在区间（ - ， 0）与（2cos，+）内都是增函数.由题设，函数f(x)在 (2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组由(),参数 )611,23()2,6(时，0cos23.要使不等式2a-121cos 关于参数 恒成立，必有2a-143，即a834. 综上，解得a0 或a8341.所以 a的取值范围是(-,0834，1） . 24、解：由 a+b+c=，得222acb，所以有.2sin2cosacb2s i

31、n2c o s2c o s2c o saacba17 .23)212(sin22sin22sin2122aaa当212sina，即 a=3时， cosa+2cos2cb取得最大值23。25、解法：由tan+cot=25，得25sincoscossin，则.542sin,52sin2因为 (2,4)，所以 2 (2， )，cos2 =-532sin12sin(2+4)=sin2 cos4+cos2 sin4=.10222532254解法二 :由 tan+cot=25，得 tan +25tan1, 解得 tan=2 或 tan=21.由已知 (2,4),故舍去 tan=21,得 tan=2. 因此

32、 ,sin=,552cos=55,那么 cos2=cos2-sin2=-53, 且 sin2=2sincos=54,故 sin(2 +4)=sin2cos4+cos2sin4=54102225322. 26、 ()解：当 cos=0 时， f(x)=4x3+321，则函数f(x) 在(-， +)上是增函数，故无极值. ()解： f(x)=12x2-6xcos ，令 f(x)=0，得x1=0，x2=2cos. 由 o2及()，只考虑cos0 的情况 . 当 x 变化时， f(x)的符号及f(x) 的变化情况如下表：x (-,0) 0 （0，2cos）2cos（2cos， +）f(x) + 0 -

33、 0 + f (x) 极大值极小值因此，函数f（x）在 x=2cos处取得极小值f（2cos） ，且18 f（2cos） =-321cos413. 要使 f（2cos） 0，必有 -321cos413 0，可得 0 cos21，所以32. （）解：由（）知，函数f（x）在区间（ -， 0）与（2cos，+）内都是增函数.由题设，函数f(x)在 (2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组由(),参数 （2,3）时， 0cos21.要使不等式2a-121cos关于参数 恒成立，必有2a-141. 综上，解得a0 或85a1.所以 a的取值范围是 (-,085，1）. 27、解：（i）1cos2

34、3( )sin 2(1cos2 )22xfxxx313sin 2cos22223sin(2).62xxx( )f x的最小正周期2.2t由题意得222,262kxkkz即,.36kxkkz( )f x的单调增区间为,.36kkkz（ii ） 方法一： 先把sin 2yx图象上所有点向左平移12个单位长度， 得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx的图 象 。 方 法 二 ： 把sin 2yx图 象 上 所 有 的 点 按 向 量平 移 ， 就 得 到3sin(2)62yx的图象。19 28、解：（）若由此得所以；（）由得当时，取得最大值，即当时, 的最大值为29、解：（）因为函数图象过点（0，1） ，所以 21sin，即21sin。因为20，所以6。（）由函数)6sin(2xy及其图象，得)0,61(m，)2,31(p，)0 ,65(n，所以)2,21(),2,21(pnpm，从而pnpmpnpmpnpm,cos1715故1715arccos,pnpm。30、解： （i）( )f x=22cos1x+23x2sin=23x2sin-21x2cos+21=)62sin( x+ 21( )fx的最小正周期2.2t由题意得k2-262x22k,zk, 即,36zkkxk( )fx的单调增区间为3,6kk,zk（