几何知识在高中物理中的运用——圆的妙用

1、几何知识在高中物理中的运用圆的妙用方程与函数知识在高中物理中有非常广泛的应用，与之相比，几何知识的应用范围就狭窄得多，但有些物 理问题能够巧妙运用几何知识便捷地解决。在高中物理课程中与几何知识结合最紧密的应该是图像问题， 关于物理图像与数学图像的联系与区别，以后我们会专门讨论，接下来以“圆”为角度总结下高中物理相 关知识。高中物理知识中需用到的“圆”按其作用与功能可分为“矢量圆”“等时圆” “等势圆”“等圆系”“谐振圆” 等。本文试通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。一、矢量圆 矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆” 就能有效地化繁为简，并能

2、加深对矢量概念的理解。在力度分解与运动的合成与分解处常会用到。例1 一条宽为l的河流，水流速度为u，船在静水中划行的速度为v,且v<u.要使船到达对岸的位移最短,船的航向如何？解析：水流速度、船在静水中的速度与船的合速度b构成 一矢量三角形，且船在静水中的速度"大小不变，方向不定， 构建如图1所示的矢量圆。显然，当ad与矢量圆相切时， 船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角0 - arccos.二、等时圆等时圆模型如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光 滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿 各光滑弦下滑至最低点，其下滑的时间相等这样的圆 环称之为“等时

3、圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。图a图以例2两光滑斜面的高度都为h, oc、od两斜面的总长度都为/,只是od斜面由两部分组成，如图3所 示，将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达 斜面低端？解析：（解法1）本题往往采用v-f图像求解，作出物体分别沿oc、od斜面运动的”-f图像（如图所示4）, 由图像可得乙球先到达斜面低端。（解法2）构建如图5所示的等时圆，交oc于a点，交od于b点。由“等时圆”可知，t0a = tob.由机械能守恒定律可知： >除，比=勺，所以o由因为两斜面的总

4、长度相等，所以sbd < sac , 根据公式v =-得，tbd < tac ,所以有f >t ,即乙球先到达斜面低端。例3如图6,在斜坡上有一根旗杆长为l,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝ab滑至斜坡底部, 又知ob二l.求小环从a滑到b的时间。解析：可以以o为圆心，以l为半径画一个圆。根据“等时圆” 的规律可知，从a滑到b的时间等于a点沿直径到底端d的时间, 所以有:图6例4如图7所示,在倾角为q的传送带的正上方，有一发货口 a。为了使货物从静止开始，由a点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角0应为多少?解析：如图8所示，首先以发货口 a点为最高点

5、作一个圆o与传送带相切，切点为b,然后过圆心o画 一条竖直线ab，,而连接a、b的直线，就是既过发货口 a,又过切点b的惟一的弦。根据“等时圆”的规律，货物沿ab弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽沿ab方向安装。ab所对的 圆周角0为圆心角的一半，而圆心角又等于q,所以0 =例5如图9所示，直角三角形的斜边倾角为30° ,底边bc长为2l,处在水平位置，斜边ac是光滑绝 缘的，在底边中点o处放置一正电荷q, 个质量为in,电量为q的带负电的质点从斜面顶端a沿斜边 滑下，滑到斜边上的垂足d时速度为v。贝ij：该质点运动到非常挨近斜边低端c点时速度比为多少？沿 斜面向下的加速度为多少？解

6、析：点电荷沿斜面ac下滑时，电场力在不断变化， 无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解， 从而使解题陷入困境。由几何关系可引入图10所示的 等势圆，由于d、c二点位于同一等势圆上，电荷从 d运动到c电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在d点的机械能与c点的机械能相等，即：= mvl +加g cd sin 30" => vc =+品gl2 2对电荷在c点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得：加g sin 3（r-k譽cos 30"=加解得:心十-¥器三、等圆系带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻 变

7、化的“等圆系”，构建等圆系能化俗为奇。例6半径为r=10cm的圆形匀强磁场，区域边界与y轴相切于坐标原点，磁感应强度b=0.332t,方向垂 直纸面向里。在原点o处有一放射源s,可沿纸面向各个方向射出速率均为v = 3.2xl06m/5的q粒子，已知q粒子的质量为加= 6.64x10-27心，电fi = 3.2xw19c,试确定q粒子通过磁场的最大偏向角。解析：q粒子在磁场中作半径为r的匀速圆周运动，可得：mv 6.64 xl0_27x 3.2 xlo6 “r = =m = memqb 3.2x io'19 x 0.332从而可构建一系列半径为20cm并交于o点的等圆系（如图11所示）

8、, 有等圆系不难得到要使。粒子的偏向角最大，必然q粒子在磁场区域 内的弦最长。所以q粒子的最大偏向角ra = 2 arcsin = 60"例7核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高度运动的粒子约束在小范围内（否则不可 能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图12所示，环状匀强磁场围成中空区域， 中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿岀磁场外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内图12半径为ri=0.5m,外半径r2=1.0m,磁场的磁感应强度b=1.0t,若被束缚带电粒子的荷质比为 4x0c/kg,m中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（

9、1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析:（1）粒子沿环状半径方向射入磁场，在磁场区域中作圆周运动，由于粒子的速度大小不定，构建如图13所示的半径不同的圆系，要使粒子不能穿越磁场，圆系中不难得到粒子的临界组圆心必须与外圆相切。由图中知卅+ &2 =（鸟一斤）2，解得斤=0 375m由 bqv,得岭=如=1.5乂1（）7加/$斤m所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为岭=1.5xlos/s（2）所有粒子在磁场中作半径不定，圆心也不定的系列圆，在所有圆中粒子以的速度沿与内圆相切方向射入磁场且动态圆与外圆相切时，

10、则以岭速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界（如图 13所示）。由图中知匚二忌一尺二o.25加，算出对应的速度队二如 = 1.0xl0s/£,这一速度即为所有2m粒子不能穿越磁场的最大速度。四、谐振圆当一个质点在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为“谐振圆”。 换个说法，匀速圆周运动可以分解为两个相互正交的简谐运动。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为 一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观 明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。例8如图14所示，一只椭球形的鸡蛋长轴是6cm,短轴是4cm,鸡蛋在x轴上做简谐运动，运动过程中 椭球的焦点在x轴上，鸡蛋的端点正好不碰到a、b两点，即在a、b之间往复运动，现有一支固定在支 架上，以垂直于x轴的方向射出子弹正好瞄准x=12cni处，子弹可看成质点，子弹的速度比鸡蛋的速度大 得多，现有一个瞎子扣动扳机，那么他击中鸡蛋的概率是多大？<a vbmo111>-24°1224 xcm图14解析：鸡