立体几何中的轨迹问题

1、立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求 空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复 杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加 以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹 性与完备性.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的 问题.其一般方法有：1、儿何法：通过证明或儿何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值;2、代数方法：分析给定图形屮的数量关系，选取适当的白变量及目标函数,确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不

2、等式的均值定理等，求出 最值.【例1】如图，在正四棱锥s_abcd中适是bc的中点,p点在侧面/kscd 内及苴边界上运动，并且总罡保持pejc.则动点p的轨迹与$8组成的a b c.d.卩解折：如图，分别取cd、sc的中点凡g,酸 eg. fg、3d.设m与 加的交点为0,连结so, 则动点p的sliiesascd的中位线fg.由正四棱锥可得期丄fc, erl ac.又:eghsbhg 丄 40:.ac丄平面efg, q"2 £平面 efg,本題可用排险去快速京解.占中p在d点这个特殊位羞，显然不满足pe_ag c中p点所在的轨迹与cd平行，它与cf喝角，显然不满足d于中

3、p点、所在的轨迹与cd平行，它与防所成的角为 锐角，显然也不満足m丄/c<w：动点轨迹冋题罡较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的舫r交汇处设 计團形不但考查了立体几何点线面之间的位割关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方主是表现最为活既 的一沖创新题型.这类立体几何中的相关轨迹问题如线垂直冋题，很在程度上罡找=山3耘豁狞钱！ 而平面间的交线往往就是动点轨迹【例h 如團，在正四棱柱4bcd川bcd中，e、f、g. h分别罡cc】c8 dd“ zx?的中為 、罡刃c的中点，点.m在四边形efg方及其內部运动，则m满足 时，有xv"平面bbdd-（2）正万体

4、abcd adcq.中，p在侧面3cc"及其边畀上运动,且总保持aplbd则动点p的轨迹 直线段5 c正方体丘53 t4cq.中，三、f分别是棱.40】，bc上的动点，且abf, p为丁的中点，则点 p的轨迹杲纟左段、分别为国右两面的中心）.p（4）已知正方体abcd-ac的棱长为1,在正方体的侧面bccb.上到点左距离为寧的点的集合形成 一条曲线，那么这杀弾土的形状是,它的长度是(1)(2)g)(4>若将在正方体的侧面2?g®上到点.4距离为寧的点的集合做为在正方体浪面上与点.4距离为学®点 的集合"那么这条曲线的形状又是,它的长度又罡一-奇迦釵

5、字西【例3】（1）（04北京莊正方体胭中异是侧面bbcc内一动為 若p 到直线3c与直线cq】的距期痔,则动点p的轨逝所在的曲线是（d ）a月直线3园c.双曲 d.抛物线变式：若将p到直线bc与直线cq的距离相等械为p到直线bc与直线cq的 距离之比为h 2（或2: 1门 则动点p的轨迹所在的曲线是椭孔液曲线）.（2）（06北京评面的斜线曲交a于点叭过定点/的动宜线/与曲垂宜，且交a 于点g则动点c詆迹是（x>a. 一条直线b. 一个圆 c.-个椭圆d.双曲的一支卩解：设/与r罡其中的两条任童的直线，则这两杀直线闵定一个平面，且缺妇掳垂直 这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直

6、线垂直可知过定点a与肿垂直所有 直线都在这个平面內，故动点c都在这个平面与平面a的交线上，故选奇迩效孚苑b已知正方体肋8 tbgd的棱长为i,"在棱加上，目小呂，点p到直 线<4的距鳶与点p到点站的距离的平方差为1,则点p的轨迹为駐.已知正方体abcd z10cd的棱长为3,长为2的线段.mv点一个端点m在 qd上运动，另一个躺点"在底面abcd±运动，则q的中点p的轨迹与正方体的面 所围成的几何体的体积为 2【例a （04直庆若三騒a-bcd的侧面abc內一动点p到底面bcd的距离与到 棱肋的距离相等，则动点p的轨迹与3c组成图形可能是：（d）i 19 y

7、 ' 蟲僉字宛+ 亠己知abc分别为"bc的三个内fha9b,c的对边，aco$c+ j5 asinc-6-c»0.0）求&卑 ；2（2）若a = 2, aabc的面积为厉求b, c.18.（本小脛满分13分）16（本小题满分13分）已知点 a（at 3 e）c:（x-ir + （y-2）g4.（1）设a*. i过点/且被圆c載得的弦长为斯，求宜线/的方程； 沃 设2,直«/,»点儿当片被圆c戡御的践段的长度最短时.求厶的方%二丫 ax 卜人石y* x*"疑、 h 4*护门.（本小題構分13分）恥川心 咯:;胪_j数列4中，at

8、«h a,+-|-f2n-1=0（nena且心）（1）求巾、旳的值：0（2）证明：数列亠+m是尊比敷列.井求心的通项公式；（3）求数列如的前丹项和济卡'八“abc vqy【例5】 四枝雀pa3cd,4d丄面rab占c丄面盟，底面肿cd为梯形”44、bc846,3azcpb,満定上述条件的四棱锥的顶点p的轨迹罡（）圆 3.不完整的圆c.孵熾分析: ad丄面2l3, bc丄平面庆民 :.adiibc 且.3 丄刃，cbkpb厶pazcp联:【anapdancpbi4d cb斎市在平面加内，以肿的中点为煉点掳所在直线为x轴建立平面言毎坐标系.则处3, oh b（3, 0）,设 巩心

9、）xe）,则（小尸亠萨国依）2亍0=0“即（宀5），亍16（已）“"聊1蚯3”乞奇逾数字苑i 在正万体abcd2 bcd.的側面abi内有一点p到直线ab与到直!窃b.c的距离相苓，则动点p所在曲线 的形伏为daa.线段 b. 一段椭圆菰c.双曲线的一部分d.抛物线的一部分简析本题主要考查卓到直线距离的抚念，线面垂宜及拠物线的這义因为bc丄面ab】，所以pb】就是p觐直结bc的距画，故由挖糠戋的走只知：动点的轨迹为删除的一段，从而选d2. 在正方体abcdabqd的側面ab】内有-点p到直线ab的距离2到直bc的距离之比为乙b则动 点p所在曲维的形状为（b）."a.纟堀c

10、双曲线的一部分 d 抛燃支的一部分3. 在正方体abcdabcd：的侧面ab】内有一点p到宜线ab的距离与到直线b：c】的距离之比为i： 2,贝恸点p所在曲的形状为（c）. <a.线段 b. 一段楠圆弧c.双曲的一部分d.抛物的一都分卩4在正方体aboabcd中，e为aa：的中点，点p在貝对甬面bbdd內运动，若ep总与宜线ac成等 角，则点p的轨迹有可能罡（aa.b.抛物或苴一合吩c 双曲线或且一部分 d 椭国或苴一合吩"简折由条件易知:ac罡平面bbpd的法冋邕所以ep与直线ac成等角，得到ep与平面bbjd.d 所成的角都相拏 故点p&wi迹有可能罡圆或圆的一部分

11、.5已知正方体肋8-舟乞696緞长为a,定点1在棱ab上（但不在端点无b上），点p罡平面abcd内的动為 目点p到直线已耳的距禽与点p到点m的距离的平方差为扎 则点p的轨迹所在曲线为（a）.a.拋物线 b.双曲线 c.直线d.圆.简析在正方fl abcd - acd.中，过p作pf-ad,过f作fe丄aq,垂足分别为f、e,连结pe.则pe：=产pf又pe“fp,所以pf=pfs从而p【=pf,故点p到直站艇超朗简析在正方.ibcd-abcd.中.过p作pf丄ad,过f作fe_a】d“垂定分别为e,连结pe-则pe07f.又pe4mt,所以p“pf»从而pm=pf,故点p到直线ad与

12、到点m的距离相 華，故点p的執迹是以m为焦点，ad为准线加雄戋6. 在正方体.1bcd - axbxcxdx中，点p在侧面bcc.b；及其边界上运动，总有ap_bd门则动点p的轨进为简析在解题中.我彳康找到运动变化中的不变因驚，通常将动点聚焦到某一个平面易证、bdi丄面acb 所以足bd - ap的所有点p者临一个平面acb.上而已知条件中的点p是在侧面bcc b；及其边界 上运动，因此，符合条件的点p在平面acb与平面bcc：b；交纵匕故所求的轨迹为纟锻bc本题的解题基 本思路罡：利用升维，化“动”为"静”，印先找出质有点潮迹，热后编小到符合条件的点的较迹.7. 在正四棱hs-ab

13、cd中，e罡bc的中点，点p在侧面ascd内及苴边界上运动，总有pe_ac,则动点p的轨迹为答案 线段mn （m、n分别为sc、cd的中点q8. 若a、b为平面a的两个定点，点戸在©外，pb_a 动点c（不同干a、b）在a内，且pc_ac,则动点c在平面内的轨迹罡.（除去两点的圆仪9 .若三棱推a-bcd的侧面abc内一动点p到底面bcd的距离与到棱ab的距斛睜，则动，点p的轨迹与 abc 组成的團形可能罡：（d） 简析动点p在侧面abc内若点p到ab的距离等于到棱bc的距高.则点p在乙abc的內角平分线上现在p到平面bcd的距商等于到梭ab的距厲，而p到綾bc的距离犬于p到底面bc

14、d的距商,于罡, p到綾ab的距离小于p封險bc的距亀故动点p只能在厶仏c的内角平分线与ab之间的区城内只能送d. 10 已知p罡正四面体s-abc的面sbc上一点，p到面abc的距韶与到点s的距詡拜,则动点p的轨迹所 在的曲线罡（b）. -a,圆b.楠圆 c.双曲线 d.抛物线a解题的要领就罡化空间冋题为平面冋醒把一些重要元素集中在某一个平面內，科 用損芫的知识去解答，象平面几何知识.解析几何知识等.11. 已知正万体肿艮c4的棱长为1,在正万体的侧面bcc"上到点a距离为半的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是,它的长度为简析以b为图心，半径为纟且圏心角为专的is弧，长度为

15、£ 32612. 已知长方体拙cd-討；b：c4中拐= 6c = 3,在线段bd4c上各有一点氏q, pq上有一点m,且pm二2afq ,则点轨迹图形的面积是提示轨遊的图形是一个平行四边形.313. 已知棱长为3的正万体肋cd4/：c4中，长为2矗琳殳mn的一个端点在上运动，另一个踹点n在底面abcd上运动.求mn中点p鋼逝与正方体的面所围成的几何体的体积.简折由于w n都罡运动的，所以求的轨逆必须化“动”为“静结合轨点p的几何性质，连结dp,因为in=2,所以pdm,因此点p的轨还是一个以d为球心，i为半径的球面在正方侏勺的爭釣舉乡芻 p的轨迹与疋方体的表面所围成的几何体的体积为球

16、的体积的;丄即-，' n在底面abcd上运动，求皿中点p的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.简祈由于xl n都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静"，结合報p的几何性质，连结dp,因为mn"所以pi>1,因此点p &wi迹罡一个以d为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点 p师迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的二即lxxl3= “©836a14. 已知平shu平面b.直线lus点p-i,平面<x、b间的距离为4,贝恠b内到点p的距韶为5且到直线1的距离为：的点呻迹罡（ 厂zx7/to7a. 一个圆b.两杀平行

17、貝纟夷c.四个点 d.两个，点“简析：如團，设点p在平面b内的射影是o,则3是0l、b的公垂线，op=4.在b内 到点p的距离爷于5的点到o的距离竿于3,可知所求点的轨迹是b內在以o为圆卜，3 为半径的园上.又在b内到宜绑的距离等于?的点的集合是两条平行宜线叭u,它们到，点o的距對躊干挣-4：=孚<3,所以宜线m、n与这个眇潜目交.共有四个交 点.因此所求点的轨迹罡四个点，故选c，16. 在四棱锥p-abcd中，ad丄面pab, bc丄面pab,底面 abcd为梯形，aeh4, b88, aby, zapd=zcpb ,満足上述条件的四棱锥的顶点p mas <> aa.圆b不

18、完整的圆 c.删线 d.期物线的一咅吩，简析：因为ad 面pab, bc丄面pab,所以ad bc,且zdapzcbp - 90c .x zapd= zcpb, ad = 4, bc = 8 , 2 plftanxiapd- - -tanzcpb,即得空空 pa pbpa ad在平面pab内，以ab所在直线为x轴，ab中点0为坐标原点.建立平面直角坐标系，则a (3, 0、b (3, 0).设点p (x, v),则有年豊=产3)、' =2,整理得x y： 10x + 9n0i pai j(x + 3f + y?由于点p不在亶线ab上，故此轨迹为一不完整的圆，选b.17. 如图.定点a和

19、b都在平面a内，定点pwapb_gc是a內异干a和b的动点.且pc丄ac,另吆动点c在平面a内的轨迹罡()-a. 一条线段，但要去掉两个点“bmd,但要去掉两个点c. 一个椭圆，但要去掉两个点d半凰，但要去掉两个点iw：因为ac丄pc,且pc在a内的射影为bc,所以ac丄bc 即乙acb =90。所次点c的轨迹是以 ab为直径的同且去掉a、b两点，故选b. 418. 如图.在正方体abcd - a:blc1d1中，p罡(w面bc】内一动点，若p到直bc与直线cp的距离相峯则动点p的轨迹所在的曲纟堤<)-a.宜线b. gc-双曲线d.抛物给简析：因为p到cp的距副卩为p到5的距离，所以在面

20、bc：内，p到走点c： 的距离与p到走直线bc的距离相年.由圆锥曲的定义知动点p的轨迹为抛物线，故选d. <19. 己知正方体abcd -a】b心d：的棱长为1,点p罡平面ac内的动点.若点p到直线a »的西珂艺于与p 到宜线cd的距克，贝恸点p的轨迹所在的曲罡()的距克与p到定宜线阮的距离相尊.由圆锥曲线的定义知动点p的轨迹为拠潮妇故选d. 19.已知正方体abcd -八归心5的棱长为i ,点p杲平面ac内的动点，若点p到fiatd,的距离弩于点p到直线cd的距离则动点p緬迹所在的曲线是<)-a.挞物线b.双曲线c.椭囲简析：如图4,以a为原点，ab为卄趴ad为y轴，達立平面直角坐标系.设 p < x , y > .作pe丄ad于e pf丄aj)】于f ,连结ef ,易轴pf 卩=|pep+|ef 卩=x： + 2又作pn丄cd于n,则pnhy-l依题意|pfh pn|, 即 jx：亠 1y-11,化简得 x： _ y】+ 2y = 0a故动点p的轨迹为双曲线，选bq20. 如團，ab是平面a的科线段，a为斜足，若点p在平面a内运湖 枝得zkabp的 面积为走值，则动点p的轨迹罡<)2(a)圈(b)梆国(c) f宜线(d)两条平行岂纟苏分析：由于