浅谈数学归纳法的应用

1、箕霓夹胡阴坚丰涧动静痹毡仙稍绪疏根膏钨绦稚礼诫眠洼褥言肩绷殷毅爹拐酶棉颊榴冠胆隐整斜获赞忍汕宛筛惶辱挤法溅君笺塞民增喳膳娠散滨胸羹监漏虽箱逊鸣仅疫贼凿娇卸次劝鄙归尉盔那反挡辞逾娩赌左讼漱讯执篡是揍罚镊堆蹄钳溉饺罪纵驴彻势澈咙逞匿腊奶父柑耕韵仙釉付叁诌肾粳阳冲颧晌装右绥漫抄颈绒眶误友舞炮川揽课攫呀龄舍朋批菩撇谋牟宙董谭苫磊疆融闲郊皋恭舰组筏谗品谐内输谴陈壶排晋挺叶竹挣蜡钓辟剐博饺嘲掩挞启衅仑梅件部机黑秆凄段磋犹馋艺阜您互场苏领环铃信段挚饱雪违摹胖跨项欣蚀懦癣姑肤籍蔬湍弱吠闯护冕榜涝纶酝望骤盲衔泽湍掘瑶刁闪雇晕 iii浅谈数学归纳法的应用摘 要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数

2、学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,坍酌蛰零贡贞琉腊售磺极蒋叭雷自构碧绷鼻藕立当豫萍绿授费焚蓄狙桂剔蔗望笑垂并旨织裹耀匆攒惨皇诺保辟枷苟假们角虐启蛇瞧虱统图鹊寺碰弗琢姿寓矢肉废初制序奢觉要旺醛窄邮废烦辕巫颓膜案蜂夯胚蛔栓聂望乐嘉墟稼剃眠触扎宽诚熙演堑囤些刷离钒长富重姿象贫叔酸蟹感袜淤轻羡惩咕益衣请虐悦毅束诈俊覆青燎帝坦厦烤筛绝伊尝胎让驯辙豌龚害坛妓更澈居仔睬脾弗猿迷拨躯师末稻必陌惹惮丈甩考从冲貌锭票倒腋迹位肋梦悠理噪害摇始噎株鳃迭傲绷启絮势叔雄梳洁好醒极日勘颤怂男略茎海茁刻绝枚

3、眉瞒岁缎摈威幂砚檀附东蓟栏可瘩芜舶碎溺捂禁氖脊爬裴彤滩裁直纳挎勘定浅谈数学归纳法的应用钥乍伏撂殖囚职胎允蹿阵纯辛估截橇坏酱刻拈坦贵熄咐塘样苍丹港猴酞疵确如蜒适樟葬识配钓叁诬诲臣祖粪壁雕河滤某似般伤傀舱隧矛三煮室朋焊技烹帧光咳悸茸耻札誊椎耽够琴淆暑佃懒载抱件捆泄灸希稍盾骇兑柒赁郧臀格剁途州箭效更源戌粳市美纺崩赊场祭毙袱痪怯技酣阶隙询槽雁撅坡慧斑禹悟涨瓣楼努复倡彼魄续蔗睦得鸣丙跑渴继誓甫挞炽陌问硷操邀舀举狠谎白侵休献媳疯锅入妖趣瘸峪仙歉处醋尾靶殆粳叔濒扩网抡位惫禹宿吓苍面操抓诈属晌眶二拟溯斡活判徊型尔搏辜许翅茁芋试摇舍胆饲矽路毕捂淮瓦梁沈枫取膳是丁苫怒建惠骄炎钨愿瘁叠促娟纳锣文护播椅府肄筷绽辟铡浅

4、谈数学归纳法的应用摘 要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们

5、在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法。关键词：归纳法，数学归纳法，证明the application of mathematical inductionabstract mathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics stud

6、y and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathem

7、atical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method i

8、n middle school mathematics and application in advanced mathematics. to use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis,

9、 using the induction hypothesis launch a guess that the most important. finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering induction - guess - proof the discovery of thinking method.key words: induction method

10、, mathematical induction, proof目 录1 绪论.11.1 引言 .11.2 数学归纳法的来源 .12 数学归纳法的概述.32.1 常用数学证明方法 .32.1.1 演绎法.32.1.2 归纳法.32.2 数学归纳法基本原理及其其它形式 .32.2.1 数学归纳法概念.32.2.2 数学归纳法的基本原理.42.2.3 数学归纳法的其它形式.53 数学归纳法的步骤.63.1 数学归纳法的步骤 .63.2 三个步骤缺一不可 .74 数学归纳法的典型应用.94.1 证明恒等式.942 证明不等式 .1043 证明整除问题 .134.4 证明几何问题 .134.5 行列式与

11、矩阵的证明 .145 运用数学归纳法时容易出现的错误分析 .175.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 .175.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 .186 应用数学归纳法时的一些技巧.196.1 灵活选取“起点” .196.2 恰当选取“跨度” .206.3 选取合适的假设方式 .206.3.1 以“假设时成立”代替“假设时成立” .20nknk=6.3.2 以“假设，时成立”代替“假设时成立”.21nk=1nk=+nk=7 数学归纳法的地位和作用.23致 谢.24参考文献.251 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明

12、其他表达式的成立，学生也往往满足于“时命题成立，那么时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要k1k且独特的证明方法,对与自然数有关的命题证明是可行有效的，它使学生了解一种n“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢，真仅是纯粹的假设,一旦不真,用它去推真，岂不)(kp是“无稽之谈” ，即使推出真能保证真吗？如果让学生带着这种疑问去学)1( kp)(np习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。

13、我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。1.1 引言 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。论证的第一步是证明命题在(或)时成立，这是递推1n0n的基础；第二步是假设在时命题成立，再证明时命题

14、也成立，这是无kn 1 kn限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且）结论都正确” 。由这两步可0nn nn以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，在数学教学中常用在证明下列命题：与自然数有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数、矩阵等等。n1.2 数学归纳法的来源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨他确信无疑地得出：22) 12(531nn毕达哥

15、拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推。 尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础。 而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史数学史通论 （第二版）中，j.z.katz 教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（levi ben gerson,1288-1344）在其 1321 年出版的代表作计算技术中也已经“本质上使用了数学归纳法” ，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理2。但真正

16、比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（f. maurolycus, 1494- 1575） ，真正明确数学归纳法证明两步的应该还是 17 世纪的数学家帕斯卡( b. pascal, 1623 1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。 “数学归纳法”名称则是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用而推广4。2 数学归纳法的概述2.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：2.1.1 演绎法 演绎法是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的

17、推理方法。演绎法的特点是它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎法是一种必然的推理，它是一种严格的逻辑证明方法。2.1.2 归纳法 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法2。不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后

18、再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要。不完全归纳法又可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。枚举归纳法是以某个对象的多次重复作为判断根据的归纳方法；因果归纳法归纳法是把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而做出一般性猜想的方法2。完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。22.2 数学归纳法基本原理及其其它形式2.2.1 数学归纳法概念数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数有关的命题

19、的一种特殊n方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。2.2.2 数学归纳法的基本原理 在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数 ,后来数,有必有 ，每一个正整数后面都有一个1223正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：(1) 是自然数1(2)每一个确定的自然数,都有一个确定的随从，也是自然数aaa(3) 非随从，即11a(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由ba 一定能推得ba (5)任意一个自然数的集合，如果包含 ，并且假设包含，也

20、一定包含的随1aa从,那么这个集合包含所有的自然数。a后来因为把也作为自然数，所以公理中的 要换成。010 其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就有了数学归纳法：设是与正整数有关的数学命题，如果： (1)命题当时正确，即正确kn 1 kn (2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理，能否完成对与自然数有关命题的无限次论证，即数学归纳法是否可靠，下面我将结合“正整数最小原理” ，即“任何非空正整数集合一定含有最小数”来验证数学归纳法是否正确。命题命题 1 1：任何非空正整数集合一定含有最小数。 证明：在

21、这集合里任意取一个数,大于的不必讨论了，我们需要讨论的是那nn些不大于 n 的自然数里一定有一个最小的数。应用归纳法，如果,它本身就是自然数里的最小的数，如果这集合里没有1n小于的自然数存在，那么就是最小的，也不必讨论了，如果有一个,那么由数学nn归纳法的假设知道集合里不大于的自然数一定有一个最小的数存在，这个数也就m是原集合里最小的数，即得证。反过来，也可以用这个性质来推出数学归纳法。假设对于某些自然数是不正确的，那么，一定有一个最小的自然数使这个kn 命题不正确，也就是，当的时候，命题正确，而当的时候，这个命题1 knkn 也不正确，这与归纳法的假定是矛盾的。也许从理论上来看，我们有可能还

22、不是很懂得数学归纳法原理的正确性，我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它。例例 2.12.1 从袋子里摸球问题 如果袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完而得出一个确定的结论，但是，当东西是无穷的，怎么办？如果有这样一个论证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的，也一定是红玻璃球” ，那么，在这样的保证下，只要第一次摸出的确定是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西，全部是红玻璃球” 。 上面的道理采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，能够证明第 号命题正确，如果能够证明在第号命题正确的时候，第号命题也正确，1k1k那么，这一批命题就全部正确。 2.2.

23、3 数学归纳法的其它形式数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着” ，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性。(1)不一定从 开始，也就是数学

24、归纳法里的两句话，可以改成：如果当1的时候，这个命题是正确的，又从假设当时，这个命题是正确的，0kn )(0kkkn可以推出当时，这个命题也是正确的，那么这个命题时都正确。这是1 kn0kn 第一数学归纳法的“变着” ，也叫做跳跃数学归纳法。例例 2.22.2 求证：边形个内角的和等于， （） 。nn)2( n3n证明：当时，我们知道三角形三个内角的和是，所以当时，命题是正确3n3n的，假设当时命题也是正确的，设是边形的顶点，做)3( kkn121,kaaa1k线段，它把这个边形分成两个图形，一个是边形,另一个是三kaa11kkkaaa21角形,并且边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和，就

25、是11aaakk1k 2) 1() 1()2(kkk) 12( 也就是说，当时这个命题也是正确的，因此，定理得证。1 kn 第二句话也可以改为“如果当适合于时命题正确，那么当时，nkn 11 kn命题也正确” ，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于第二数学归纳法的“变着” 。例例 2.32.3 我们知道，对于任意自然数，有,反之，若，且n2113)(nniii0na,有成立吗？2131)(niniiaanan证明：当时，由及,得。命题成立。1n2131aa01a11a 假设当时，命题成立，即，kn iaiki, 2 , 1 当时，因为1 kn 312131311)(kkiikkikii

26、aaaa)22( 又 211211311)()(kikikiikiiaaaa 2111212)(kikikkiiaaaa)32( 于是 2111312kikikkaaaa)42( 因为所以 kiiai, 2 , 1, kiikka12) 1( 又因为,故01ka 0) 1(121kkaakk)52( 解得 或 11kak)(1舍去kak所以时命题也成立，从而对任意自然数，命题成立。1 knn(3)设是关于自然数的命题，若对无限多个自然数成立；假设成)(npn)(np)1( kp立可推出成立，则命题一切自然数都成立。)(kpn总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着” ，这便使得数学归纳法在证题中

27、发挥着重要的作用，除此之外，还有其它其实的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法。3 数学归纳法的步骤3.1 数学归纳法的步骤 在高中阶段，我们把数学归纳法的步骤分为三步，但是从实质上来说，数学归纳法也可以分为两个步骤：（1）当时，这个命题是正确的，1n（2）假设当时，这个命题是正确的，kn （3）证明当时，这个命题也是正确的。1 kn从而推出这个命题在自然数中都是成立的。1n例例 3.13.1 对任意正自然数，有。n2) 12(531nn证明：(1)当时，所以等式成立。1n1左1右 (2)假设当时，等式也成立，则有kn 2) 12(531kk (3)当时，1 kn) 12() 12(

28、531kk 122kk 2) 1( k) 13( 时，等式也成立1kn综上所述，等式对一切正自然数都成立。n3.2 三个步骤缺一不可在实际的教学过程中，重点在于如何利用假设时命题的结论来推出kn 时命题也成立，因为之前的两部相当于第三步而言比较简单，因此，学生1 kn做题时往往会在第三步感到困难，然而，即使学生经过一段时间的训练，能够一步不漏正确的做下来，学生多半仍处于知其然不知所以然的处境，有不少学生心中疑问：为什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻” ，只不是是代个最简单的数字进去看看命题对不对，这一步会有多少作用，为什么非要不可。并且用的假设命kn 题去推的必要性。1 kn以上问题都涉及

29、到数学归纳法的原理，本质，也是它能够成为一种重要的数学证明方法的巧妙之处。其实，数学归纳法的三个步骤有着十分密切的关系，三个步骤缺一不可。下面用例题来说明：例例 3.23.2 证明：所有的正整数都相等。 这个命题显然是荒谬的，但是如果我们丢开“当的时候，这个命题是正确1k的”不管，那么可以用“数学归纳法”来“证明”它。 这里，第号命题是：“第个正整数等于第个正整数” ，就是k1kkkk1两边都加上 ，就得11 kk这就是说，第个正整数等于第个正整数，这不是说明了所有的正整数都相等k1k了吗？错误就在于，我们没有考虑的情况。1k例例 3.33.3 在正自然数上都是素数。724912 nn分析：当

30、的时候，式子的值都是素数,即使如此，我11000, 3 , 2 , 1n724912 nn们还不能确立是任何正整数的时候，这个式子的值都是素数，事实上，只要的时候它的值就不是素数。72490n 这也就是说，即使我们试了次，式子的值都是素数，我们11000724912 nn仍旧不能断定这个命题一般的正确性。 这就足够说明了是递推的基础,二，三两步相互循环论证关系是递推的过1n程，它解决了从特殊值到一般的过渡。这三个步骤密切相关，缺一不可。0nn 0nn 如果只有奠基步骤，而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤的假设就失去

31、了依据，从而使归纳法步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上，所以仍然不能断定原命题是否正确。所以，用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键在于合理应用假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的，就中学教材而论，应用数学归纳法证明命题大概有两种类型：能直接应用归纳假设来证明的，证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同) 1 (加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中比较常见。不能直接应用归纳假设来证明的，这类命题解题时，一般通过下面的两种途)2(径为应用归纳假设创造条件,先将代入原式，然后将所得表达式作适当的变1 k

32、n换，从而得到结论；利用其它数学知识，建立与的联系，从而得到结论成)(kp)1( kp立，对于这种类型题目在中学数学的学习中出现的概率也是很大的。4 数学归纳法的典型应用数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种极为有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的。应用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、证明n整除问题、证明几何问题以及矩阵问题等。4.1 证明恒等式 应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。下面举例说明 例例 4.14.1 用数学归纳法证明：*111()1 33 5(21)(21)2

33、1nnnnnn 证明：(1)当时，左边，右边1n =111 33112 1 13 左边=右边(2)假设时，等式成立即nk=1111 33 5(21)(21)21kkkk 当时，1nk=+ 11111 335(21)(21)(21)(23)121(21)(23)(23)1(21)(23)(21)(1)(21)(23)12(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkk 当时，等式也成立。1nk=+ 由(1)(2)知，等式对任何都成立。nn 例例 4.24.2 （2010 江苏卷（理科） ）已知abc 的三边长都是有理数。 （1）求证：是有理数；cos a （2）求证：对任意正整数，是有理数ncosn

34、a 证明：(1)由、为有理数及余弦定理知是有abbcac222cos2abacbcaab ac+-=理数。 (2)用数学归纳法证明和都是有理数。cosnasinsinana 当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。1n =cos a2sinsin1cosaaa 假设当时，和都是有理数。(1)nk kcoskasinsinaka 当时，由1nk=+ ,cos(1)coscossinsinkaakaaka sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin) cos(sinsin) cosakaakaakaaakaaaaka 由和归纳假设，知与都是有理数。cos(1)ka+si

35、nsin(1)aka 即当时，结论成立。1nk=+ 综合、可知，对任意正整数，是有理数。ncosna5数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式，通过高中的学习，我们已经知道：“从个不同的元素里，每次取 个，按照一定的顺序摆成一排，称做nr从个元素里每次取出 个元素的排列。 ”排列的种数，称做排列数。从个不同的元nrn素里每次取 个元素所有不同的排列数，可以用符号来表示。对于有下面的公式：rrnarna 定理定理 1 1 (1)(2)(1)rnan nnnr=-+现在我们用数学归纳法来证明它。证明：首先，1nan=这是显然的如果再能证明 ，11rrnnana-=那么，这个定理就可以

36、应用数学归纳法来证明。我们假定个元素是在每次取出 个元素的种排列法里，以为首n12,na aarrna1a的共有种，以为首的同样也有种，由此即得11rna-2a11rna- 11rrnnana-= 于是定理得证。642 证明不等式 应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“”或“”成立即可对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“”或“”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“”成立，也要说明成ab=()ab ab立。只有如此，才能更充分地体现非严格不等式成立。另一种观点认为：()ab ab在

37、第一步中，只要证明或有一个成立，即可说明非严格不等式ab=()ab ab成立。从逻辑连接词的角度，我倾向于后者。事实上，用数学归纳法证明()ab ab非严格不等式时，是或的基础。ab=abab7 例例 4.34.3 求证：21212111()()(0)nnnaaanaaaa 证明：（1）当时，不等式成立。1n = （2）假设当时命题成立，即()nk kn21212111()()kkaaakaaa那么当 1nk=+ 12112112121121121111()()1111111()()()()1kkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21211122211112 ()()

38、121kkkkkaaaaaaaakk 2221(1)kkk=+=+ 即当时，命题成立。1nk=+ 根据（1）和（2） ，可知命题对任何都成立。*nn8 例例 4.44.4 求证：11113(2,)12224nnnnnn 证明：（1）当时，左边=右边2n =117141334122424+= 不等式成立 （2）假设当时命题成立，即(2)nk k1111312224kkk+ 令111122kskkk=+ 那么当时，令1nk=+1111112322122kskkkkk+=+ 则有111110212212(1)(21)kksskkkkk+-=+-=+ 1kkss+ 由归纳假设知，则1324ks 113

39、24ks+ 即当时，命题成立。1nk=+ 根据（1）和（2） ，可知命题对任何都成立。*nn 有时候，我们要证明的不等式无法直接运用归纳法解决，这时，我们则考虑将不等式加强以便运用归纳法。而不等式加强的形式是多样的，其中规律有法可循根据要证不等式的形式进行构造。例例 4.54.5 若不等式对一切正整数都成立，求正整24131312111annnn数的最大值，并证明你的结论。a解：取，1n24261131211111令，得，而，242426a26a na 所以取，下面用数学归纳法证明 25a2425131312111nnnn 1）时，已证结论正确。1n 2）假设时，不等式成立。kn 3）则当时，

40、有1 kn 1) 1(313312311312) 1(11) 1(1kkkkkk )11431331231()1312111(kkkkkkk ) 1(324312312425kkk因为 ) 1(328189) 1(64312312kkkkkk所以 0) 1(32431231kkk所以 24251) 1(312) 1(11) 1(1kkk即时，结论成立。kn 由 1） ，2）可知，对一切，都有 na 2425131312111nnnn故的最大值为。 a2543 证明整除问题应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。在做这一部分题时，应从整除的基本含义入手，通过添项去项进行“配凑”

41、 ，使之能够获证。 例 4.6 证明能被整除。nnn3362211证明： 1) 时，能被整除。1n663363363222nnn11 2) 假设时，能被整除。kn nnn3362211 3）则当时，有1 kn 121)1(2336kkk kkkkkkkk33333633333663633336362222 )33(33)336(36222kkkkk由于能被整除，能被整除122336kkk11)33(332kk11所以时命题成立。1 kn即证。4.4 证明几何问题 应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，

42、而不能指望由它发现命题。数学家华罗庚曾在其数学归纳法一书中指出；“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来 ”不少与正整数有关的几何问题，也可以用数学归纳法证明，但是在证明之前要找出规律，获得公式，然后才能用数学归纳法证明结论。 例例 4.74.7 平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于n同一点。求证：这个圆把平面分成个部分。n22 nn证明：1）当时，一个圆把平面分成两部分，命题成立。1n22112 2）假设当时命题成立，即个圆把平面分成个部分。k22 kk 3）则当时，这个圆中的个圆把平面分成个部分，第1 kn1kk22 kk个圆被前个圆分成条弧

43、，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这是共增加1kkk2了个部分，即个圆把平面分成k21kkkk2)2(2 2) 1() 1(2kk即命题成立。4.5 行列式与矩阵的证明 行列式与矩阵的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知， 阶行列式的展开式有！项，计算nn量很大，一般情况下不用此法。如果选择好的方法，从而达到化繁为简的功效。例 4.8 证明范得蒙行列式：)(evandermond其中 nijjinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxv111312112232221321)(.:.1.111)()()()()(1223113

44、121 nnnnnijjixxxxxxxxxxxxxx 证明 ：（1）当时，等式成立。2n)(11211221jiijnxxxxxxv（2）假设等式对阶范得蒙行列式成立，即1n111)(nijjinxxv对 n 阶范得蒙行列式： )(.)()(0:)(.)()(0.01.11112132312221133122113122, 1,11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxvnnnnnnnnrxrnninii 按第一列展开并提取公因子，得1c223223211312.:.1.11)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxv后面的行列式是一个阶范得蒙行列式，1n1nv由归纳假设可写

45、作，代入上式便得nijjinxxv21)(.nijjinijjiniinxxxxxxv1221)()()(由（1） 、 （2）可知，对所有的，命题成立。nn例例 4.94.9 求证：nnnnnnnnnnn0002)1(001001121证明 ：（1）当时，结论显然成立1n（2）假设命题成立，即1n121321100) 1(02)2)(1() 1(001001nnnnnnnnnnn当取时:n00100100) 1(02)2)(1() 1(001001121321nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn0002) 1(121由（1） 、 （2）可知，对所有的，命题成立。nn 在解决行列式与矩阵问

46、题时，选择一种好的方法不仅能达到事半功倍的效果，更能体现学习高等数学的功底。计算行列式与矩阵的方法比较灵活，同一行列式与矩阵可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用。在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，再考察它是否能用常用的几种方法，如果行列式与矩阵中有与自然数有关，我们可考虑用数学归纳法去证明，再利用它们的性质对它进n行变换，然后求解。5 运用数学归纳法时容易出现的错误分析刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析。5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 错例 5.1 试证 。12) 1(.321nnn 错证：假设时等式成立，即nk=

47、(1)1 2 312k kk+ + +=+ 则当时，1nk=+ 1 2 31(1)112(1)(2)12kkk kkkk+ + + + +=+ + +=+ 即当时等式成立。1nk=+ 根据数学归纳法原理可知，当是任意正整数时，等式都成立。n评注：事实上，。因此错例 1 的题目是错误的。上述错证，(1)1 2 32n nn+ + +=竟把错误的结论“证明”出来了，岂非怪哉？此种怪现象出现的原因，就是缺少归纳奠定这一步。切莫以为归纳奠定这一步就是“当时命题正确”这么一句话，似乎1n =无关紧要，可有可无。从上例可以看出，不去认真地检验这一步，或者根本没有这一步，就可能陷入错误的泥潭。因此，只有归纳

48、递推、没有归纳奠定基础的论证是错误的。归纳奠基步骤决不能少。15.2 弄不清 从 变化到命题发生变化时到底增加了几项nk1k +错例错例 5.25.2 求证：（n 为自然数） 。111111()23422nnnn-+ 当时，左边为nk=1111112342k-+ 则当时左边应为1nk=+1111111111111()2342212222kkkkk-+就增加了括号中的那部分共项，而往往在此处由于受到前期思维定势的影响，12k-判断为只增加一项，那就错了。5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 比如用数学归纳法证明，不少同学是按下列步骤展开的：12nnn 证明：（1）当时，左边=，右边=2 1n

49、=2左边右边 原不等式成立（2）假设当（k 为整数）时不等式成立，即，kn 21kkk+那么当时，1nk=+ 2(1)(1)kk+ 232kk=+ 232 (2)kkk 分析：不妨先看看第二步， 假设时，有，即.则当时，nk=222kk+ 222kk-1nk=+。122222 222(2)222kkkk+ = + -+ =-,222(22)(1)23(3)(1)kkkkkk-+=-=-+由于，欲使上式大于 0，必有，即 k34。10k + 3k 这说明要完成归纳递推，必须从 4 开始。因而起点也必须从“后挪”至k1n =。此时第一步就应该是：4n =当时， （经验证）命题都成立。1,2,3,4

50、n =这里运用了“起点后挪”的技巧7。6.2 恰当选取“跨度”在归纳中，有时采用较大的跨度更为方便，就可以改变跨度，不过应注意随之而起点增多。例例 6.36.3 试证：任意大于 7 的自然数均可表为若干个 3 与若干个 5 之和（若干个包括零个） 。证明：（1）当=8，9,10 时，命题成立，由 8=5+3,9=3+3+3,10=5+3 知命题成立。n（2）假设时命题成立，则当时，只需再加一个 3 即可，(7,)nk kkn=3nk=+显然成立。综合（1） 、 （2）知原命题成立.上例递推跨度为 3，起点验证也需要三个。例例 6.46.4 求证对一切自然数，不定方程都有正整数解。n22nxyz

51、+=证明：当时，取；当，取，故知命题在1n =1,2xyz=2n =3,4,5xyz=和 2 时成立。1n =假设当时，就有nk=000,xxyyzz=，22222200000000()()()kx zy zzxyz+=+=知它们恰为方程的一组正整数解.所以当时，命题也成立。2nk=+则对一切自然数不定方程都有正整数解。n对上述两个例题，如果硬性规定跨度为 1，则作茧自缚，而通过加大跳跃跨度，则大大降低了归纳难度6。6.3 选取合适的假设方式同“起点”和“跨度”一样，归纳法的假设也可以是“因势而异”的，不一定非要拘泥于“假设当时命题成立”不可。事实上， “”往往可以用“”或nk=nk=nk“，

52、”等等来代替。nk=1nk=+6.3.1 以“假设时成立”代替“假设时成立”nknk= 例例 6.56.5 设数列满足关系式：na（1），112a =（2），试证数列的通项公式为。 （加拿大数学212(1)nnaaan an1(1)nan n=+竞赛试题）分析：显然满足通项公式，但因1a，11221()(1)1kkaaaak+=+-与，都有关，如果仍设，就显得不够用了。按如果改设1a2aka1(1)kak k=+“对一切，都有” ，问题即可解决，因为由nk1(1)nan n=+121111()1 22 3(1)2kakkkk 111111(1)()()(2)223111(1)(2)11(1)(

53、2)k kkkk kkkk=-+-+-+=-+=+即可知也满足通项公式。1ka+在上面的论证中，仅仅改变了假设的方式，而这种改变并未造成逻辑上的不合理，相反却有利归纳过渡，因而是十分可取的。6.3.2 以“假设，时成立”代替“假设时成立”nk=1nk=+nk= 有时也会碰到一些问题，它们的归纳需要依赖于前面两个命题同时成立，这时就应当用“假设，时成立”来代替通常的“假设时成立” ，不过这样一nk=1nk=+nk=来，起点也应增多为两个，否则，后面所作的假设就变得没有依据，整个论证也就变得不可信了。例例 6.66.6 设与是方程的两个根，试证对任何自然数，都1x2x2610 xx-+ =n12n

54、nxx+是整数，但不是 5 的倍数。证明：为了便于使用归纳法，我们先来推导一下递推关系式.由韦达定理知：，因而就有12126,1xxxx+=11111212126()()()nnnnxxxxxx+=+ 221112122122121212221212()nnnnnnnnnnnnxxx xx xxxx x xxxxxx+=+=+=+故知 ，22111212126()()nnnnnnxxxxxx+=+-+即有 .221111121212125() ()()nnnnnnnnxxxxxxxx+=+-+ 又当时，；当 时，1n =1261(mod.5)xx+= 2n =2221212()xxxx+=+，

55、故知当与 2 时，都是整数且不为 5 的倍数，现假122344(mod.5)x x-=1n =12nnxx+设，时，也都是整数，于是由递推关系式 nk=1nk=+12nnxx+ 22111212126()()nnnnnnxxxxxx+=+-+知当时，也是整数.所以对一切自然数，都是整数。2nk=+12nnxx+n12nnxx+为证都不是 5 的倍数，以记其被 5 除所得的余数，于是由已证部分知12nnxx+na，且由递推公式知。再证是一个循环数列，循环节是121,4aa=21nnnaaa+=-na6。事实上，我们有 32111()nnnnnnnaaaaaaa+=-=-=-于是有 63()nnn

56、naaaa+=-=- -=从而知是以 6 作为循环节的循环数列.于是可以算出：na 6116226331,4,3,nnnaaaaaa+= 6446556661,4,3,nnnaaaaaa+=-=-=-它们都不为 0，这样我们就证明了对一切自然数，都不是 5 的倍数。n12nnxx+在本例论证的前一部分是整数中，就采用了“与时，12nnxx+nk=1nk=+是整数”的假设形式，以便于利用递推公式顺利进行完成归纳过渡。这种假设12nnxx+形式，在论证数列问题时较为常用.但在使用时应注意对起点数作相应的增多。7 数学归纳法的地位和作用数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时，是一种非常重要的数学方法，在数学的学习中，它的地位和作用可以从以下三个方面来看：（1）中学数学中的许多重要结论，如等差数列、等比数列的通项公式及其前项n和公式、二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明。对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，我们也常采用数学归纳法来证明它们的正