2016高考数学大一轮复习64数列的通项与求和学案理苏教版(DOC)

1、学案 30 数列的通项与求和导学目标：1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特别数列的和2课前预备医回扣数材夯实基础能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系， 并能用有关学问解决相应的问题. 自主梳理1 求数列的通项n(1) 数列前n 项和$与通项a 的关系：s,n= 1,na =|s 一 sn, n2.n-1(2) 当已知数列a中，满足 an-an+1= f(n),且f(1) + f(2) + f(n)可求，则可用求数列的n通项 a,常利用恒等式 a = a + (a a“ + (a a ) + (a a) nn1232nan-1(3) 当已知数列a“+1中，满足二一

2、 =f( n)，且 f(1) f(2) . f( n)可求，则可用 nana aa23n求数列的通项a,常利用恒等式 a = a nn1. . .a aa12n-1(4) 作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来 求通项.(5) 归纳、猜想、证明法.2.求数列的前 n 项的和(1) 公式法 等差数列前n 项和 sn=，推导方法：； 等比数列前n 项和 s =n ,q= 1,1i=, q 工“!. 推导方法：乘公比，错位相减法. 常见数列的前 n 项和：a.1 + 2 + 3+-+ n=;b.2 + 4 + 6+ 2n =;c.1 + 3 + 5+ (2n 1)

3、=;n. “2 只 2 小 22d.1 + 2 + 3 +=;q 亠 33e.1 + 2 + 3 + n =.(2) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项， 只剩有限项再求和.常见的拆项公式有：_11 1=_ ;nn+n n+ 11= 1( 亠 ？ n 1?n+ = 2 2n 1 2n+ 1 ；1 =9 n + 1 ., n.n+ n+ 1(4) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.1(5) 倒序相加：例如，等差数列前自我检测n 项和公式的推导.nnn1.(原创题) 已知数

4、列a 的前n 项的乘积为 t = 3n2( n n)，则数列a 的前n 项的和2为.2设a 是公比为q 的等比数列，$是其前n 项和，若$是等差数列，则 q=.n3. 已知等比数列a的公比为 ,且a + a =,故b420ni2=a ，则blogn2n+ b + b +246nn2n4. (2010 天津高三十校联考)已知数列a 的通项公式a = log+1( n n)，设a 的前n 项的和为s，则使 s< 5 成立的自然数n 的最小值为.5. (2010 北京海淀期末练习)设关于xnnoo的不等式x2 x<2nx (n n)的解集中整数的个 数为a ，数列a 的前 n 项和为$,

5、则s的值为 .1 1 16.数列 1,4 2，74, 108，前 10 项的和为.课當话动区a例 1 已知数列a 满足a= 2n + 1nn+1:2n n+1, a = ,求数列21a 的通项公式.na +探究点一求通项公式n变式迁移 1 设数列a 的前n 项和为 s,已知 a= 1,= 4a+ 2.n1(1) 设b = a 2a ,证明数列b 是等比数列；s+1nnn + 1nn求数列a的通项公式.n探究点二裂项相消法求和例 2 已知数列a, s 是其前n 项和，且a= 7s+ 2( n2), a = 2.(1) 求数列an的通项公式；nn11m*(2) 设b=, t 是数列b 的前n 项和

6、，求使得 t <对全部 n n 都成立2n+1nloga log 2annn201 11 + 2，1 + 2+ 3,n 项和.变式迁移 2求数列 1,的前的最小正整数m探究点三错位相减法求和例 3 已知数列 a 是首项、公比都为q(q>0 且 1)的等比数列，b= a loga (n n).n(1) 当q= 5 时，求数列b的前n 项和$；14nn4n 当q= 时，若 b15b，求n 的最小值.<nn+13123变式迁移 3 求和 sn=a+ a +亍+ fn分类争辩思想n数值的个数为g( n)，an n+l322n + 3n (n n)，则 s g nn= a 一 a2+

7、a 一 a34n 一 1(a1)+ + 一=n答案(1n)- 1(一 1) 2 当xn,n+ 1(n n)时，函数f(x) =x2 +x 的值随x 的增大而增大，则解析 n22+n, n+ 3n+ 2( n n* )，二g( n) = 2n+ 3(2 n3n* 十口+n n)，于是 a3 小 2= g nf(x)的值域当为n为偶数时， s = an1 a + a23 a + a4n 一 1 a = (1 一 2n2n)是+ a(32=一 42) + (n 1)223n+?n1 n n n +2-n = 3 + 7 + + (2n- 1) = q 2=-；当 n 为奇数时， s = (a a )

8、 + (a 一 a ) + (a a) + an1n n234n n+ln-2n n=s+ a1=- + n =-2-2,n- s = ( - 1) 1 n空小nn+l【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的， 类争辩，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示.所以一般需要对项数 n 进行分例(5 分)二次函数f(x) = x2+ x，当x n, n+ 1( n n)时，f(x)的函数值中全部整1 求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项；(2) 观看法：例如由数列的前几项来求通项；(3) 可化归为使用累加法、累积法；(4) 可化归为等差数列或等比数列，然

9、后利用公式法；(5) 求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明.2. 数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为 与特别数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.3. 求和时应留意的问题：(1) 直接用公式求和时，留意公式的应用范围和公式的推导过程.(2) 留意观看数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或 转化为基本数列求和.、填空题(每小题 6 分，共 48 分)(满分：90 分)1.(2010 广东)已知数列a为等比数列，s 是它的前n 项和，若 a， a = 2a 且a 与n3i45472a 的等

10、差中项为 4,贝 u s =.2. 有两个等差数列a , b ,其前n 项和分别为 s, t,若f= 些 2,则咅=.3nntnn 十nb53.假如数列a满足a= 2, a= 1 且引匸色 +( n2),则此数列的第 10 项为ni，a a=ana aan 1nn- 1nn+ 114数列a .n n +的前n 项和为 s,若an= 口一，贝卩 0=n5.(2011 南京模拟)数列 1,1 + 2,1 + 2 + 4,，1 + 2 + 2 +-+ 2s>1 020，那么n 的最小值是.，的前 n 项和6.s 且a= 1, an+1= 3$(n =(2010 东北师大附中高三月考)数列a的前

11、 n 项和为nu1,2,3，)，贝7.log.40= 1(原创题)已知数列a满足a = 1, a = 2, a= ,则该数列前26 项的和为n12n+2an&对于数列，定义数列a a 为数列a 的“差数列”，若 a = 2, a，的“差n+1nn1数列”的通项为 2n，则数列a 的前n 项和$=.n二、解答题(共 42 分)9.(12 分)已知函数 f(x) = x 2( n+1) x + n+5n 7(n n).nn(1) 若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列a ，试证明数列a 是等差数列；nn(2) 设函数f(x)的图象的顶点到 x 轴的距离构成数列b ，试求数列b 的前n

12、项和 s.1*nnn210. (14 分)设等差数列a 的前n 项和为 s,且s= na + a c(c 是常数，n n), a = 6.(1) 求c 的值及数列a1 1 1 1的通项公式；n(2) 证明+<-.8aa a a223a ann+111. (16 分)(2010 北京宣武高三期中)已知数列a的前n 项和为 s= 3n，数列b满 足 b =1 , bn+1nn1= bn+ (2n 1) ( n n).(1) 求数列a(2) 求数列b的通项公式 a ；nn的通项公式 b ；nna bnnn(3) 若c =丄討，求数列c 的前n 项和 t .5答案自主梳理1. (4) n= 1

13、或 n2自我检测631. 222.2课堂活动区3.154.895.19例 1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2禾 u 用等比数列前 n 项和公式时留意公比 q 的取值同时对两种数列的性质，要生疏 它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度， 解题时有时还需利用条件联立方程 求解.7a + a + a =f123解(1)由已知得a+a +，解得a= 2.1+2s2设数列a 的公比为 q,由a = ,n223= a222可得 a = q, a = 2q.又 s =

14、7,可知 q+ 2+ 2q= 7,11m3sm22即 2q - 5q+ 2 = 0.解得 q= , q =121由题意得 q>1,.q= 2, a= 1. 故数列a的通项为an= 2n-1.1)由( 得 ansn+1= 23n,n b = in ab3n+1= in 2 3n = 3nln 2.n1又 = 3ln 2 ,!>是等差数列,n b + b12 =n 23n n+1in 2.故 t = 32n+1n2in 2. t = bn1+ b + + b2n变式迁移 14解析 设a, a , a , a 的公差为d,则ai + 2d= 4,又 0<a <2,所以 1&l

15、t;d<2.易知数列b 是等比数12341n2322444列，故(1)正确；a = a d (2,3),所以 b = 2a >4 ,故 正确；a = © + d>5 ,所 以 b = 2a>32 ,故 正确；又 a + a = 2a = 8,所以 bb = 2a + a = 2 = 256 ,故(4)正确.243424例 2 解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题,利用函数关系式求通项& ,2-+ 3an2 + 3a2n厂=an+ 3 ,观看t 特点，求出 t .由a 再求b从而求$ ,最终利用不等式学问求出mnnnnana2= f3a 是以 n为

16、+ 1公差的等左 n差数3列.1又 a = 1, - - a2 1n= §n + 3.(2) t = a a a a+ a a a a+一a an122334452n2n+1=a (a a )+ a(a a)+ a ( a a) i”5 丄 4n 丄八2134352n2n 12:n+1443()3= a + a + a= 242n427(3)当n2 时，b =11n-9j 112 2n-1 2n+ 1，aan-in“2 1 213n-3 3n+ 3s = b + b + +bn12n1 12n- 12n+ 1对一切n n 成立.s< m- 2 001*29n m 2 001即时

17、<一，又.2n+ 19n = |12n+11 口”且旦<9.m- 2 00192n+ 1 2”22”即 m>2 010.最小正整数 m= 2 010.变式迁移 2解(1)设等比数列a的首项为 a,公比为q.依题意，有 2( an+2) = a + a , 代324入 a + a + a = 28,得 a = 8.2343ag+ aq = 20,42-a + a=20. ”aq82a = ,31解之，得q=2,q= 2,1|a 2或1a = 32.又a nq= 2,an= 2n.单调递a1 = 2.b2 =ni nnlog 21=-n 2n,.- s = 1x 2+ 2x2 +

18、 32x2 +3+ 2s= 1 x 2 2+ 2x 2 3+ 3x 2 4n+x2n+. (n 1) x2 n+ nx2n +1.，得 s = 2+ 22+ 23+ 2n- n 2n+1又:)b|= 3n= 9x3，:12=n2n+ 1 =n + 211 2 rr2 n+ 12n.由 s + (n+ m) a<0,nn+1即 2n+1 - n2n+1-2+ n2n+1 + m-2n+1<0 对任意正整数n 恒成立,1 m-2n+1<2-2n+1 对任意正整数 n, 陀1 恒成立.8依此类推下去，设第n 个月月底的余款为 a 元，n1第 n+个月月底的余款为an+1元，贝a=

19、aun+1(1 + 20%) ax20%< 10%- 300= 1.18 annn300.下面构造一等比数列.“a + x小nn + 1设a 卄 x=1.18，贝aun+1+ x = 1.18 a+ 1.18x,n+1na= 1.18 a + 0.18 x. /. 0.18 x= 300.5 0003an+1飞，即5 000=1.18.3an5 000n5 0005 0005 0001数列a29 5003 是一个等比数列，公比为 1.18，首项a = 11 500 5 000 an3 =5 00029 5003 x 1.1829 5005 00029 500x 1.18 11 62 39

20、6.6(元), a=312 a12=3 x 1.18即到年底该职工共有资金 62 396.6 元.12纯收入有 a 10 000(1 + 25%)=62 396.6 12 500 = 49 896.6(元).变式迁移 3 解(1)设中低价房的面积形成的数列为a ,n由题意可知a是等差数列，其中 an1= 250, d= 50,s= 250n+x 50= 25n22+ 225n,n则 a = 250+ (n 1) 50= 50n+ 200,令 25n2 + 225n4 750 ,即n+9n1900,而n 是正整数， n10.到 2020 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750

21、 万平方米.n(2)设新建住房面积形成数列 b ,由题意可知b是等比数列，其中 bn1= 400, q= 1.08 , 则 b= 400 (1.08) n1.n由题意可知a >0.85 b ,nn即 50n+ 200>400 - (1.08) n1 0.85.当 n = 5 时，a <0.85 b , 当sn = 6 时，as66>0.85b ,满足上述不等式的最小正整数 n 为 6.到 2016 年底，当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于课后练习区85%.1. 3 + 2、 2 2.4.73.99112n12n11解析 设至少需要 n 秒钟，则 1

22、+ 2 + 2 +-+ 2100,二5.64100,二n7.1 29nn +1an + 2解析 依题意有a a= 2 ,所以aa= 2 ,两式相除得=2,所以 a , a , a ,-nn+1n+1n+2a135n成等比数列，a , a , a ,也成等比数列， 而a = 1, a = 2,所以ae= 2x2 = 32, an = 1x22461210-2- 412惟丿 55，nn明显当n= 2 时，a 取得最小值，当n= 1 时，a 取得最大值，此时 x= 1, y= 2,. x + y =3. 7. 21n=32，又由于 a + an+1= b ,所以 bn= a +=an10102 2

23、264.解析 y”= (x) ”= 2x,则过点(a , a。的k6. 3切线斜率为 2a ,则切线方程为 y a = 2a«xkk解析 该题是数列学问与函数学问的综合.aq ,an= 5 ”f )n 2力 ¥)-1 = 5 令 y = 0,得ak = 2ak(x &),11 x=：a ,即卩 a= a .22k11k+1k故a是an= 16, q= 的等比数列，n1n1即 a = 16x (2) , a + a+ a = 16 + 4+ 1 = 21.& 107135解析 由数表知，第一行 1 个奇数，第 3 行 3 个奇数，第 5 行 5 个奇数，第 6

24、1 行 61个奇数，前 61 行用去 1+ 3 + 5+-+ 61=62 x31= 961 个奇数.而 2 009 是第 1 005 个奇数，故应是第 63 行第 44 个数，即i + j = 63+ 44= 107.9解 f(1) = a = f(x)=)(1 分)1ia= f(1) c=3c,2a2= f(2) c f 一c9，3 = f(3) c f(2) c2 ；327 ；_4又数列a成等比数列,a2812 12na1 = &=2 =273= 3 c, c= 1 ；(22a12公比q=訂 1，2*(3 分)= x1 “, n n ;.sisi = ( sjs ) ( js+s

25、)1 1= °.；s + .”；si1( n>2), .(4 分)1又 bn>0, ps。，： ；，”s * /sn = 1.数列 ；s构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列，nn(6. s = 1 + ( n 1) x 1 = n, s = nl .当 n2, b= si sin-12 2= n (n 1) = 2n 1 ；又当n= 1 时，也适合上式，11n b = 2n 1, n n.(81 1n(2) t =+1 1r- + +1 000 由 t => ，得 n>2n+ 1 2 009 n91 000t >2009 的最小正整数为n(12n 1 000>(14满足112.10.解设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为 a（万元），技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为b（万元）.依题意得a=