共轭变换及其性质的研究(32页)

1、修數3业犬宁university of technoy沁数学与应用数学本科生毕业论文共辄变换及其性质的研究指导老师：谷勤勤学生姓名：黄越所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学班级：091班学号099084083日期：2013年6月名徵3业尢学毕业设计（论文）任务书课题名称共丰厄变换及其性质的研究学院数理学院专业班级数学与应用数学091班姓名黄越学号099084083毕业论文的主要内容及要求：1. 在查阅相关文献的基础上，评述本课题相关背景及其研究意义。2. 本课题要求熟练掌握共範变换的概念和共範变换的性质，并且熟练的使用矩阵工具 来解决共辄变换相关定理，要求掌握共辄变换同对称变换和正交变换

2、之间的联系。3完成在此课题上已有的一些研究的整理，分析。并且做出自己独立思考的成果，解 决有关共觇变换的问题。4. 写作过程要注重数学理论的构成；5. 论点要突出，论据要充分，要有自己的特色；6. 论文要注明参考文献不少于8篇，书写要规范，并为论文答辩做好准备。指导教师签字：共轨变换及其性质的研究黄越数理学院数学与应用数学摘要共辘变换在高等代数学中占有着重要的地位，共辘变换及其性质的研究把对称变 换、反对称变换统一起来并借助矩阵这个工具，利用对称矩阵，反对称的性质来研 究欧氏空间中的共轨变换.本文首先给出变换的定义，并给出共轨变换的重要性质， 结合共辘变换定义和性质并借助于矩阵，得到共辄变换相

3、关的定理最后，利用共轨 变换与对称变换、正交变换之间的关系，通过共緬变换的性质来解决对称变换、止交 变换的一些性质和定理的证明.关键词 欧氏空间；线性变换；共辘变换study on conjugate transformation and its propertieshuang yueschool of mathematics and physics,department of mathematics and applied mathematicsabstractconjugate transformation plays an important role in higher algebra

4、, studying on the conjugate transformation and its properties unify symmetry transformation and antisymmetric transform. with the tool of matrix, using the properties of symmetric matrix and antisymmetric matrices to study the conjugate transformation of euclidean space. in this paper, firstly, the

5、definition of the and the important properties of conjugate transformation are given. secondly, combining the definition of conjugate transformation and the properties of the conjugate transform and the tool of matrix we get some important theorems of conjugate transformation. at last, according to

6、the relationship between conjugate transformation and symmetry transformation, orthogonal transformation, wc use the properties of conjugate transformation to solve some problem of properties and theorems of symmetric transformation and orthogonal transformationkey words: euclidean space;linear tran

7、sformation;conjugate transformation目录摘要iiabstract ill目录i i i1绪论错误！未定义书签。11课题背景01.2研究内容01.3研究意义02共觇变换的概念及其性质02.1共觇变换的概念12.2共辄变换的性质13共轨变换性质的研究23.1共觇变换的相关定理23.2共辄变换在复数域上的相关定理83. 3其他相关定理94共辘变换的应用12结论17参考文献18致谢19附录1 20附录2 221绪论1.1课题背景行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具， 从而推动了线性代数的发展当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧

8、儿里 德空间（简称欧氏空间）.英国数学家凯莱（arthur cayley , 1821-1895）首先把矩阵作为一个独立的数学概 念，同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个 题口的一系列文章.1.2研究内容本课题主要研究共饥变换的性质及它与对称变换、正交变换之间的联系结合矩 阵，从特征值、像与核、可逆性儿个方面研究线性变换和其共辘变换的性质再通过 共辄变换的一些性质，探讨了其他变换如对称变换、反对称变换，正交变换，正规变 换的一些性质.1.3研究意义行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具， 从而推动了线性代数的发展当一个线性空间定

9、义了内积运算之后它就成为了欧几里 徳空间（简称欧氏空间）.我们知道对称变换、正交变换是欧氏空间的两个重要变换，但高等代数教材研究 两线性变换之间的关系却很少.因此本课题研究欧氏空间中的两线性变换的特殊关系 共辘关系及口共辘关系，这对高等代数知识是一个有益的补充.线性变换的研究总是与基下对应的矩阵、特征值、不变子空间、像与核、可逆性 紧密联系在一起的本文正是从这几个方面讨论了线性变换与其共轨变换之间的关系. 知道其小一个变换的性质就可推出另一个变换的相关性质，这些性质与结论对刃维欧 氏空间上的对称变换全部是成立的，从而加深了代数学里我们对线性变换的研究.2共觇变换的概念及其性质2.1共辄变换的概

10、念定义1设°是n维欧氏空间v的线性变换，定义v到自身的变换/如门对v的 任意向量0,均冇(加,0)=g，(p p则/是由©唯一决定的，称/为©的共轨变换又称伴随变换.2.2共辄变换的性质性质2. 2.1 /为欧氏空间v上的线性变换，/为©的共辘变换，则©也为q的 共觇变换.证明：对v中任意向量a, 0均冇®a, 0)= (g,心)=(心，司=仏(矿)；)=(矿)；,0)因为“是任意的，故(/ja=cpct 因为q是任意的，所以v(p性质2.2.2设v是数域p上的欧氏空间，若0及肖是v上的线性变换，k为p上 的常数，贝山1) (0 +

11、#)" =/*+ / ；2) (k?)* = k(p* ；3) (00)* =0*0*.证明1)对0wv,有(0 + 0血 0)=(皿 + ，0)=(皿，0)+ (g, 0)=(q，(p "0)+(q, t/0)=c，(”+(/)0)所以+ =/+</2) 对vq, 0wv,冇(k©)q, 0)=(q,(k”0)另一方面，(k0)a, 0)= (ka), 0)= (ka, 0*0)=(q, k©*0)故(q,(k”0)=(a,(k0*)，(k”0 = (k/)0因此(k©=k(p3) 对0q, 0wv,有(©必,0)=s(y/)

12、q, 0)=(g,必)=(q，y/»)=mv)z?)所以(如=0“性质2. 2.3线性变换的共饥变换和矩阵的联系：1）共轨变换的和对应于矩阵的和；2）共辄变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）共轨变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）如果共辘变换可逆，则与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 证明同线性变换性质的证明.3共觇变换性质的研究3.1共辄变换的相关定理定理3.1.1线性变换（p的共轨变换（p是线性变换.证明设人，awp，01，02 wv,则由定义，（a, 0（入0|+人02）=（0（勿人0+易02）=& （皿，0）+兄2（02, 02）=人（a,以01）+希（a，以02

13、）= （a,人以0 ）+%©2 ）即g，以人0| +人02）（人以0|）+人以02）=0由q的任意性得到，v 仏0| + 入禹）=入（p （0j +（02 ）即线性变换（p的共轨变换（p是线性变换.定理3. 1.2若炉在标准正交基即 s,心之下的矩阵为a,则炉的共饥变换"在这组基下的矩阵为ax证明设a a25 an2申£ =。11*1 +。21*2 +。讥£彳=坷佝+。2工2+ + % 设/在基即句，片卜的矩阵为b b2 b“b21 b22 b2nb = y _bki %b叽 即02 = b討 + 匕22占2 + + b“2%”6 = b/ + bzq

14、+ + b”“s 于是,由于斫,£»,£“为标准正交基，故©印 勺）=（%丙+ anisn灼）=%u, /勺）=（,勺血+仇产j=%.但是（舛勺）=（£,心）®j = ajt,定理3. 1.3设©为维欧氏空间v的线性变换，/是©的共轨变换，则©与/有 相同的特征根.证明由定理3.1.3, /关丁基即 却,£”的矩阵为aj a与人丁冇相同的特征 根，所以炉与/有相同的特征根.定理3. 1.4设©为n维欧氏空间v的线性变换，/是©的共辘变换，/可以对角 化的充分必要条件是

15、9;可以对角化当/可以对角化时，©与”关于v的任意基的矩 阵是相似矩阵.证明若© 口j以对角化，则存在可逆矩阵p,使得p1ap = dd是对角矩阵.从而ptat(ptyi = dt=dd是对角矩阵，所以at可以对角化，即矿可以对角化. 反之，若"可以对角化，同理可证0也可以对角化.如果"可以对角化，由以上证明0也可以对角化乂0与/有相同的特征根，所以0与 "关于同一基的矩阵是相似矩阵.定理3. 1.5设©为刃维欧氏空间v的线性变换，0*是©的共轨变换，则"在ker(0) 中的限制是ker()的零变换,(p在畑(/冲

16、的限制是畑儘)的零变换.证明对于kcr©)中任意向量o , 0均冇(心)，0)=(弘 0(0) =(q,o)=o由0的任意性知，0*(&)=0 ,又&也是ker()屮任意向量，所以/在ker©)中的限制是ker()的零变换. 同理可证，炉在ker(9*)屮的限制是ker©*)的零变换.定理3. 1.6设©为维欧氏空间v的线性变换，/是©的共觇变换，©(v)与 以v), ker()与ker(/)有相同的维数.证明©与/关于标准正交基即，6的矩阵分别为a与a，而a与a1"有 相同的秩，所以0(v)与矿(

17、v)有相同的维数,ker)与ker(>*)有相同的维数.定理3. 1.7设印 乞，6是数域p上内积空间v的一组基，其度量矩阵为t, ©为v的一个线性变换,（p在这组基下的矩阵为a设©的共轨变换（p在这组基下的 矩阵为b,则有b = t1 art成立.证明已知©匕勺,，6）=（斫,5,6）a，以3,（可切，6）b.对任意的&，0wv,设a = （, “、8n）x ,0 =（斫，句，$丫则有（pa =（£,切，s）ax,心=（刍,5,6）by.于是_®a, 0）=（印 切，£）ax,（可，）y）=（ax）tty = xtat

18、ty ,（a, /0）=（刍，j、6）x,（印 %£n）by） = xttby = xttby （w 0）= g（p p）则有_att = tb ,即有_g = t-latt推论1当印 内，片是v的一组标准正交基时，b = r特别的，当v为实数 域上的内积空间时b = at._证明申度量矩阵的定义可知在标准正交基工t二e,由性质224可得b = at,即 ba7,当v为实数域上的内积空间时，戸二aj故此时b二al定理3.1.8 ©为k±n维内积空间v的线性变换，q为其共辘变换，则 v = /v0|（0）,即有限维内积空间v可分解为（p的值域与（p的核的直和.证明设

19、dim_1（0）=m，取炉"（0）的一组标准正交基如a，,再扩大为v的 一组标准正交基a】, a?,am+v-an,令0在此组基下的矩阵为a ,那么 0（o）=l（q,am）,=（m+r %2，,%）， 所以0 0 ai, m+l ln'0（q,©2'an）=（a92'an = （p2'）0 0 %, m+l ann由推论1可知0 0 * 0 0 以如 $厂ej = （s an）at =（qp &”，ah）""°15 + 1仏加+ 1 _ain an, n对 /p g（p ,则有0 = /（&）其

20、中owv,则可设0- eq +c2<72 + + c必、c： w k , i = 123 则（p（0=cx（p+c2（p a2 +- + cn（p an,由上可知”（&）丘厶（色冲,%+2，,色）,那么0訂（，%+2，“ j=（o）y.此即八匸沁。）1.乂dim°*v =秩人丁 =秩a = dim°v = n - dim'1（0）= dim（_1（0）尸,所以宀（心卅，即得 =（p v 沁0）.定理3. 1.9设u是冇限维内积空间v上的线性变换©的不变子空间，则u1是/ 的不变子空间.证明由于u为炉的不变子空间，那么对vcreu,有zwu,

21、乂对/0wu丄有 （pa, 0）=（g, 心）=0,则（p （3 g u1,即u丄为/的不变子空间.定理3.1.10若向量x既是线性变换©的属于特征值人的特征向量，又是/的属 于特征值人的特征向量，则冇人二人.证明由题设可得其屮兀为非零向量. 由则有由于兀为非零向量,伽，x) = (x, (p x),(人兀,x)= (x,22x),人(兀，x) = /l2(x,兀), 则得证入=久2定理3.1.11。是内积空间v上的线性变换，若0为可逆变换，则/也为可逆变 换，且有c.证明设©在v的一组标准正交基下对应的矩阵为a ,则q在此组基下对应的矩阵为a：由线性变换与矩阵的对应关系知

22、a为可逆阵，又由性质9的证明过程知a0也为可逆阵.则q也可逆. 又对* a, 0 w v ,有定理3. 1. 12设©是维欧氏空间v的线性变换.则：©的共轨变换/的像空间 "(v)是©的核ker©的止交补.证明先证明正交性取x/ow0*(v), /? g ker.令a =(p (<zj), cz g v则(q, 0)= © (qj, 0)=(g, 0(0)=(如0)= 0证明0”的像空间"(v)是0的核ker?的正交补设o = a + 0,a e *(v), p e ker则(o, 0)=(&+0), 0)=g

23、，0)+(0, 0)=0因为(&, 0)= o所以(0，0) = 0则冇q = 0, 0 = 0 即零向量分解唯一. 所以(p * (v ) ker (p = n由高等代数线性变换值域与核屮定理可知，线性变换的秩等于线性变换对应矩阵的 秩.即©的秩二a的秩，a为©在v的基下的矩阵.还由定理可知©的秩+ 0的零度二斤/的零度即为ker©的维数.又a的秩等于人丁的秩，人丁是/的共轨变换0对应的矩阵.所以有0*的秩+ /的零度=即以v喲维数+ ke的维数=v的维数所以(p的共辘变换(p的像空间/(v)是/的核ke®的止交补.3.2共辄变换在复

24、数域上的相关定理定理3. 2.1若复内积空间v的线性变换©有特征值知 心，人，则/有特征值 石，石，石.即炉与其伴随/的特征值的关系是互为共饥证明设炉在v上以标准正交基下的矩阵为a,则存在可逆阵t,使得t" at =a*0则壬*t'at =a0由于t't = e = e则有1 -1t1 =t ,因此2tat = tat =0从而入的特征值为石，石，石，而入与戸相似，故尺的特征值也为石，石，兀，又 由推论1知/在此组基下的矩阵为入，因此/的特征值为石石，石定理3.2.2 ©是数域p上内积空间v上的线性变换，/是©的共辘变换，若g(x) 为&

25、#169;的最小多项式，则刑为/的垠小多项式，这里丽的系数等于庶)系数的共辘, 即©与其共辘/的最小多项式z间的关系是次数和同系数互为共辘.证明阵为人丁 ,设©在v的一组标准止交基下的对应矩阵为a,则可在此组基下对应的矩 设炉的零化多项式为/?(%) = x,n + cimaxma + + %x + do，di w p,i =-1 /?(a)= a" + %】 a"山 + + a】a + a()e = 0.因此/tv t =a 丿 +%】（a 丿 + + d（a 丿+d（）e （a'”+%“ja'"j+. + da+doe）t

26、=0,则万(x)为/的零化多项式. 反过来，设”的零化多项式为qx) = x1 + b.f + 久兀 + 如匕 e pj = 0丄,? -1.则有a 丿+b/|a j hg（a j+z?0e = 0.因此g（a）= a + $. a，" + + 勺 a + /?0e+则&(尢)为的零化多项式.i大i而的零化多项式与/的零化多项式次数相同但系数互为共轨，所以由g(x)为©的最小多项式，则i(门为/的最小多项式.3.3其他相关定理定义2设©为欧式空间v的一个线性变换，如果对v中任意向量0均有(pa, /?) = («, 00),则称炉为v的对称变换.

27、定义3设©是欧氏空间v的一个线性变换若对v中任意向量a , 0都有(cpa, 00)=(q, 0),则称炉为正交变换.定义4设©是v的一个线性变换，若存在z = ±l ,使得任意弘/?gv,都有 (©a, 0)=列弘00)成立，则称©是v的一个广义对称变换将v的一切广义对称变 换所成的集记为l,(v).当2 = 1时，就是上面所说的对称变换，当21吋，则称©是v的一个反对称变换.定义5设0为欧氏空间v的一个对称变换如果0对v中任意向量均有 (066(7)> 0 ,则称0为非负对称变换.定义6若欧氏空间v的线性变换炉与它的共饥变换

28、”可交换，即炉/ =(p(p ,则炉 称为规范变换，如果77阶方阵a与它的转置at可交换，即aat = ata ,则方阵a称 为规范方阵.定义7设©是欧氏空间v的线性变换.如果对任意aev, |m| = |h|,则©称为 正交变换简单地说，保持向量范数不变的线性变换称为正交变换.定理3.2. 1设0为维欧氏空间v的线性变换，/是°的共辘变换，则(p(p(p(p是对称变换.证明对于v中任意向量a, 0,有如0), 心0).(p(p a, 0)=©0, 0*0)=(q, 歸(pa, 0)=(©q, ”) = (&, 因此，0。和是对称变换.

29、定理3.2.2实数域上内积空间上的对称变换©的共轨变换(p =(p,正交变换©的 共轨变换(p =(p'x.证明下面只在实数域上内积空间上进行证明.由于©是对称变换，因此仏，0)= ©, ”)对一切的0成立，所以g =申由于©是正交变换，因此(m，00)=g，0)对一切的a, p成立，所以(0z, 0)= (/q, (p(p'心)，因此 10 =(p 推论2若/为n维欧氏空间v上的线性变换，则©为对称变换是v = ©v0迤) 的充分条件.证明 由定理3. 1.7和定理3. 2.2即得证.定理3. 2. 4任意

30、线性变换©与其共辘变换/的乘积是非负对称变换. 证明首先，有=（p（p,（如）故为对称变换;其次,又因对v中任意向量a有（p"a> 0 ,故0/是非负对称变换.定理3.2.5设线性变换©是正交变换，则©是可逆变换，而且它的逆变换 也是正交变换.证明设匚冬，是v的标准正交基，口卩点屋,化）=（匚冬，金）a, 其屮a是77阶实正交方阵则以匚冬，丘）=（匚鼻zjat,其屮/是炉的共轨变换于是卿您屋，丘卜（鼻§2,丘）aat（匚爲，丘丸）心心屋,，切=（鼻冬,丘）atai大i此（p（p = （p （p =, 0是单位变换.所以0是可逆的，且=0

31、由于（p （p ） = （p （p =（/）,所以/是正交变换.4共觇变换的应用共轨变换在规范变换，止交变换，对称变换及反对称变换中都有涉及，且共辘变 换的一些性质对规范变换，正交变换，对称变换的一些定理的证明提供了简单有效的 方法.例1若卩，是两个对称变换，则0®是对称变换的充分与必要条件是 502 = 020 证明设©处是对称的，即（©©j =叱但由于0及02是对称的，故从而叱=020 反z，设 qi® = 0201，贝u（002）=0；0； =0"二 502 即0102为对称变换.例2欧氏空间v的线性变换©是对称变换的

32、充分必耍条件为，©在v的标准正 交基下的方阵是对称方阵.证明设线性变换炉在v的标准正交基即勺，6下的方阵是a,则©的共轨变 换（p在这组基下的方阵是人丁 于是g =9等价于at=a 所以©在v的标准正交基 下的方阵是对称方阵.例3欧氏空间v的线性变换炉是反对称变换的充分必要条件为，©在v的标准 正交基下的方阵是斜对称方阵.证明设线性变换©在v的标准正交基®,勺，6下的方阵是a,则©的共轨变 换0在这组基k的方阵是at 于是（p=-（p等价于at=-a 所以©在v的标准止交基 下的方阵是斜对称方阵.例4设0与了是维欧

33、氏空间v的固定向量证明：0（q） = （q, 所定义的变换 ©是v的线性变换，其中cr g v.求©的共辄变换证明对 0q, 6z2 g v , k, k2ep 有©（pa +k2a2） = （kial +k2a2, /?）/=（/（如 0）+心血 0）7 詁（如0）了 +心血 =切（勿+他炉血）所以0是v的线性变换.对 x/q, 6z2 v ,(”(匕)，a2)=(ae(p(a2)=ma2, 0)刃 二血 0xe /) 26 刃0) =(如刃0, a2)所以0)=(e，刃0即对0qwv,和固定向量0, y,以q) = (q, /)/?.例5设炉是欧氏空间v的线性

34、变换，则下述命题等价:1）©是规范变换；2）对任意 e v ,=证明1） = 2） 对任意& ev,因为炉是规范变换,3）©在v的标准正交基下的方阵为规范方阵.9(训=(0仏)，©(&)= &'心©) 所以(p(p = (p (p ,因此如(g)=(00*(q), j所以2）成立.2) => 3)设乞，冬，,佥是v的标准正交基，且 必,2,佥)= (7 2，嘉a, 其屮a是斤阶实方阵.又66 §2,，切虫,2,切a1您卜£啲，沁卜£啲 gm k=/=!于是be), fo)= z,

35、63; a 珞k=/=1jt=l /=1因为e，2，&是v的标准正交基,所以低,爲=為，<k,l<n 6kl =1 k=l,0 kl.因此©(&), fe；)=zz(皿肌=x 44厂jt=l /=1jl=l记ata = b = (/?.) 此式表明 v znxn乞=(0(6)，0(©j)，igjs.同理,3怎),0(.)=£歸如k=记aa1 =c = (c.) 上式表明 v nxn勺=(以岳)"(©), 1 gj s 由于(必 + ©)，亦 + .)=(能)+ 0(打，能)+ 0化)=(0,必)+ 2(必)

36、,0(© )+ ©(© 0饒)而由条件2),(必 +©)，必 +©)=© +©)"( +©)=s g) + g fc > 以)+ g (©)=s(爲，g g)+ 2儘怎),0 化)+(q (叮(p (</)所以©($), ©(©)=& gj, g (© )因此ata = aat.3) = 1)0（5,徐，切= g，§2,丘）a,0（:，叮叮2其屮，込,是v的标准正交基因此亦心,§2,点）=（鼻金，丘）ata,0以匚冬

37、，©） = （匚鼻，盒）aat由于方阵a是规范的，所以 ata = aat.因此©sg詁2,，兌）=如（匚乡，,氛）.于是（p（p=（p（p .例6设炉是欧式空间v的线性变换，则下述命题等价：1）炉是正交变换；2）0是保内积的,即对任意a, 0wv, （©（a）, 0（0）=（a, 0）；3）©把v的标准正交基变为标准正交基，即设乞，鼻,是v的标准正交 基,则必）0（衆"（盒）也是v的标准正交基;4）©在v的标准正交基下的方阵是正交方阵；5）0是规范变换，而且（p（p = （p （p =（/）, 0是单位变换.证明1） = 2）设q,

38、 0wv因为炉是正交变换，所以|恥 + 0）| = 0 + 0|，即（%（q + 0）,俨（a+ /?） = （&+ 0, q + 0）于是（0（。+ 0），0（o + 0） =（0（a）+0（0> 0（a）+0（0）=（0（a），0（a）+2（0（a），0（0）+（0（0> 0（0） =（q + 0, q + 0）=（q, a）+2（a, 0）+（0, 0）. 因为0是正交的，所以（©（a）, （pa） = （a，a），9（0）,心）=（0, 0）.所以 （©（a）' 0（0）=（a, 0）.即0保内积.2） => 3） 设乞芯,，佥是v

39、的标准正交基，则爲）fi,j“ 爲t :因为0保内积，所以（必），。化）=第，19,js s. =；：即bg）,必2必）是v的标准正交基.3）=> 4）设©在v的标准正交基£屋，嘉下的方阵为a ,即卩(©)=£。応,丿t,2,所以(能),&)=工工 akiaijkl =为 akiakj -因为必），能），,必）也是标准正交基，所以(必)(©) =第,lg,j":;因此为叽s.这表明ata = 1（“）从而ata = i（“）= aat ,即a是正交方阵.4）n5）由定理3.2.5可知.5）n 1）因为（p（p =（p（p

40、 = ，所以对任意<2 g v ,|如|十|结论共轨变换是相对一个变换而言的，当然不是一个独立的概念一个线性变换，同 时也是其共轨变换的共轨变换，线性变换的共轨变换也是线性变换线性变换的共轨 变换满足加法运算，数乘运算，即：（0 + 0）" =6+0 ；（ky=v（p ；（如二皿线性变换又同矩阵是紧密联系在一起的，所以线性变换的共轨变换同样也是即: 共辘变换的和对应于矩阵的和；共觇变换的乘积对应于矩阵的乘积；共轨变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；如果共轨变换可逆，则与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵若线性变换在一组基下对应的矩阵为a ,则它的共轨变换在同组基下对应的矩阵为a

41、的转置,即线性变换与其共轨变换拥有相同的特征根./可以对角化的充分必要条件是©可以对角化.当/可以对角化时，炉与q关于v的任意基的矩阵是和似矩阵.0的共辄变换/的像空间以v）是0的核ker©的正交补.参考文献1 姚慕牛高等代数学m上海：复旦大学出版社，2003.2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数m. 3版，北京：高等教育出版社, 2003.3 张贤科，许甫华.高等代数学m.北京：清华大学出版社，1997.4 钱吉林.高等代数题解精辟m.北京：屮央民族出版社，2002.5 张禾瑞,郝郦新高等代数m北京:高等教育出版社,1997.6 施武杰.高等代数m.北京：

42、高等教育出版社，2005.7 王秀芳.线性变换与其伴随变换的性质的讨论j连云港师范高等专科学校学报， 2007(1), 72-73.8 高丽.欧氏空间的变换为线性变换的充要条件j.滨州师专学报，2002(2), 13-15.9 刘宁欧氏空间的内积关系与线性变换j.广西师范学院学报(自然科学版)，2003 (2), 49-50.10 廖家潘高等代数m北京:电子科技大学出版社,1995.11 杨了胥高等代数习题解(修订版)下册.山东科学技术出版社，2001.9:421-45&12 李炯生,查建国，王新茂线性代数第2版中国科学技术大学出版社,2010. 1:332-345.致谢本课题在选题及

43、研究过程屮得到谷勤勤老师的悉心指导谷老师多次询问研究进 程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，给我提供课题所需教材，精心点拨、热 忱鼓励.谷老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文, 而且教我做人，受益无穷对谷老师的感激、敬佩之情是无法用言语表达的.感谢安徽工业大学给我提供良好的大学学习环境，还有数理学院的老师们让我学 习到了很多数学专业知识让我在学业上受益匪浅，同学室友让我在生活上学习到了很 多让我在大学有段美好时光.再次感谢我的同学，老师四年来对我学习、生活的关心和帮助.最后，向我的朋友，家人表示感谢，感谢他们对我的理解与支持.and 兀（a）='a 0、

44、be the triangular matrix algebra.the following theorem is one附录1linear algebra and its applications representation dimensions of triangular matrix algebrasl introductionrepresentation dimension of artin algebras was introduced by auslander in 4, this concept gives a reasonable way of measuring how f

45、ar an artin algebra a is from being representation-finite. in particular,auslander has shown that an artin algebra is representatiofinite if and only if its representation dimension is at most 2.iyama, in 14, proved that the representation dimension of an artin algebra is always finite.recently,rouq

46、uier proved in 19 that the representation dimension of artin algebras can be arbitrary large.an interesting relationship between the representation dimension and the finitistic dimension conjecture has been shown by igusa and todorov 13, that is, if the representation dimension of an algebra is at m

47、ost three, then its finitistic dimension is finite. since thenjnany important algebras were proved to have representation dimension at most three, such as tilted algebras, m-replicated algebras?quasi-tilted algebras etc., see 2,16,17 for details.we follow this direction and investigate some special

48、kinds of triangular matrix algebras with small representation dimensions.let a be a finite dimensional hereditary algebra over an algebraically closed field k,main results of this paper.theorem l let a be a finite dimensional hereditary algebra over an algebraically closed field k. then rep.dimt2（a）

49、 3 if a is dynkin type and 3 rep.dimt2（a） 4 if a is not dynkin type.remark. theorem 1 improves the well known result about representation dimension of t2（a）. according to 9, we know that rep.dim7（a）5 rep.dim 4 + 2 , which implies that rep. dimt2（a） 5 if a is a finite dimensional hereditary algebra o

50、ver an algebraically closed field.let abe a finite dimensional hereditary algebra over an algebraically closed field k, and letbe the duplicated algebra of a. tilting theory of duplicated algebrahas strong relationship with cluster tilting theory introduced in 7, and it has been widely investigated

51、in 1,15,21,22. in the second part of this paper,wc mainly investigate the representation type and representation dimension of endomorphism algebras of tilting modules over duplicated algebra atheorem 2. let a be a finite dimensional hereditary algebra over an algebraically closedajosojuoqns nj e x p

52、un 'xjosojeo->j ojiuij-uioh jiiuqos-jinj oaijippu up oq 3 x jo uoi|叫osoj-pj ppp ue poiuo si 乙 uuiuioq ui(*)oouonbos qexo oqjlpnxo si 0 <- (x，则%°h <- (w /v)<<-("m w)%°h <- 0aouanbos poonpui 0屮圈屮 qons “j/ ppu oj suisuopq !|ju qjim 0 j xi/v <-"/v<-0(*)oou

53、onbos jouxs uc si aio屮 x inpoui-y qoua joj ji x|uo puu ji 3 +w> jvpu3 pi§ uoqjl y poui joj jo|ej9u0§oo-jo)uj9u9§ c oq 讽 pun 'ujqose uluv up oq v gq o乙0中乙 euiuiouoisuoiuip uopuosojdoj。屮 jo punoq joddn 。屮 suiuuajap 01(ooj (bioruo。屮 si uuiuia umou” |om suimo|oj oq丄jojcjouo塔 jspuui

54、sny sqj poieo si uoisuauiip uopujusojdoj oqj suizijeoi joiejoussoo-jojhjouos oq丄 v jqj jojbjouosoo-io;ejouo8 b si p| j/vpuqui!p0 uiui = vwfp dai smo|iqj sb |z ui mpu引sny xq paugop si qoiqm y jo uoisuouiip uoirauasojdaj 0屮 vjpoj xq ojouop % * ppe ui oje s可npoui oaipolin 严 ji jojpjouosoo e poijuo si p

55、un /y ppc ui ojb s可npoui oaipofojd ip ji jojej9uo8 e pojjuo si /v 9(npouj y 刿 jo stuns pajip qiuij jo spuruiuins pojip。屮 are sjoofqo osoqm y pow jo xjosojeoqns 0屮ppp xq ojouop om-°inp0111" v b °q /v joq-vjxq pojoup si v jo joapib uo”。爼一mpu引sny。耳丄，v jo uoqu|suujj uojp-jopuuisnv oqi oq

56、v2 pup ' doy poui puc y p°ujxjienp pjupuu;s 3屮 oq (习川uioh=(7 27 v j。uoisuouiip |pqo(§ oqj vm!pl pun x oinpoui-jo uoisuomip (oanoofui dsai) oaiioafojd。屮(% pi dsa) x pd xq ojouap 讥 -s9|npouiv oiqnsodiuooopui jo sseq uisiqdjouiosi qouo jo oapejussojdoj ouo 人卩oexo suiuibjuoo y poui jo xjos

57、ojuoqns ury。屮 v pi【！ aq puc sonpoui vpajuiauosego xjosojuo sqj y poui aqaiouop % 帀 ppu posop xe3imqa§iu ue qao bjqa§(u inuoisuaujip aiiuy e oq ysdueuiuiipjj 乙 £ pun 乙 siuojooqjl oaold 9m p uouoog ui pue 订 uiojooqjl jo joojd。屮 0； pojoaop si £ uopoog qojessoj jno jqj popoou sjoej oiseq puu suoijiuyop ponoo om '3 uopoog uj -smouqj se posuwu si jaded sqjl js9j9|ui luopusdapui jo aq oj suia