高二-函数的单调性与导数

1、1.3.1函数的单调性教材分析本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、几何意义、 计算的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性 . 教学目标重点： 探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；难点： 探索函数的单调性与导的关系；知识点： 单元组合作探讨函数的单调性与导数的关系，并会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间；能力点： 通过在教学过程中让学生多动手、多

2、观察、 勤思考、 善总结， 培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯；教育点： 在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想；自主探究点：单元组合作探讨函数的单调性与导数的关系；考试点： 用导数判断函数的单调性；易混易错点：0)()(xfxf为增函数，然后再讨论是否有0)(xf恒成立的情况；教法：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合， 使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解.教具准备： 多媒体课件，投影仪. 课堂模式： 学案导学教学过程一、情境引入1. 判断函数的单调性有哪些方法？( 函数单调性定义，图像) 2. 如何判断函数(

3、)sin,(0, )f xxx x的单调性？【设计意图】 ：让学生体会到用“定义法”的局限性，进而提出问题：“我们能否找到更好的方法解决这一难题？”，问题是思维的源泉，让学生在独立思考中产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，实现课堂的有效导入. 二、新知探索（一）观察分析初步探究图（ 1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数105.69.4)(2ttth的图像，图（ 2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数5.68.9)()(tthtv的图像 . 提出问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间内，运动状态有什么区别？引导学生探究规律：（1）t在),0(a内，

4、)(tv的正负为 :)()(thtv0. 相应的，)(th是函数；（2）t在),(ba内，)(tv的正负为 :)()(thtv0. 相应的，)(th是函数 . 【设计意图】 ：此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，体现了“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考. ”有效促进了学生探索问题的本质。（二）追踪成果深入探究提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。【设计意图】 ：进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。通过

5、学案，展示学生的探究成果：函数 y=f(x) ( )yfx导函数的正负函数 y=f(x)的单调性y=x (,)( ) _0 xfx时，函数 y=f(x)单调2yx(,0)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调(0,)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调3yx(,0)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调(0,)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调1yx(,0)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调(0,)( )_0 xfx时，函数 y=f(x)单调对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。【设计意图】 ：上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，

6、重要性不言而喻 . 而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实. 因此， 我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助几何画板动态演示，分析问题的本质. （三）归纳结论揭示本质经历上述探究之后，学生按单元组进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论.对回答问题的学生进行及时鼓励. 在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：函数的单调性与其导函数正负的关系：在某个区间),(ba内，若)(xf0，则)(xf在),(ba上是增函数；若)(xf0，则)(xf在),(ba上是减函数 . 思考：如果再某个区间内恒有0)(xf，那么函数

7、)(xf有什么特征？学生分析：)(xf为常函数 . 【设计意图】 ：口头、 书面的数学表达是学好数学的基本功，引导学生对一般情况进行归纳、总结，得出结论. 培养学生积极主动的学习态度及表达能力，体验知识的形成过程，体会数形结合思想的渗透. 三、运用新知（一）典例演练强化应用例 1已知导函数)(xf的下列信息：当 3x5 时，)(xf0；当 x5 时，)(xf0；当 x=3 或 x=2 时，)(xf=0.试画出函数)(xf图象的大致形状. 分析： 本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：

8、两种做法是否都行呢？解决办法：让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点” 附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上右图. 【设计意图】 ：应用所学， 使具体知识形成方法和技能. 鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度. 再通过教师示范， 培养学生良好的作图习惯. 对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正. 例 2. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：32232(1)()3 ;(2)()23;(3)()sin,(0,);(4)()23241.fxxxf xxxf xxx xf xxxx【设计意图】 : 求单调区间是导数的一个重要应用，

9、也是本节重点. 通过例 2（1） ，引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范；3 5 o y x y = f(x) 3 5 o y x y = f(x) 通过例 2（2）(3)(4)，让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；通过例2（3） ，回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑. 体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性. （二）拓展例题、提升视野例 3. 求函数)0(131)(23axaxxf的单调区间 . 解：.2)(2xaxxf当0a时，, 1)(2xxf其递减区间为)0,(，递增区间为),0(. 当a0时，)(xf0 xax)2(0 xax)2(0 x0 或x0”一定

10、成立吗？学生：不一定，也可0)(xf，问：还需要考虑什么？学生：需要考虑是否存在0)(xf恒成立的情况. 例 4. 已知函数axxaxxf,1 , 0,2)(30，若1 ,0)(在xf上是增函数，求a的取值范围. 解：,2)(3xaxxf因为1 ,0)(在xf上是增函数，所以0)(xf1 ,0在上恒成立 . 所以0322xa，即a.232x又23,023,1 ,02xx所以，即a.23又因为当a=23时，1 ,03)(3在xxxf上是增函数也成立，所以综上a的取值范围是.,23【设计意图】 例 3、例 4 都是讨论含有参数的函数的单调性问题，对学生的学习是一个提高，特别是例4 很多学生都会忽略0)(xf的情况，在这重点讲解. 四、课堂练习练习反馈课后练习1 ( 学生独立完成，教师投影展示步骤) 五、课堂小结强化知识1. 函数的单调性与其导函数正负的关系；2. 用导数求函数单调区间的一般步骤；3. 用导数的正负来判断函数的单调性, 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想. 六、布置作业作业一：课本31p习题第 2 题. 作业二：丛书七、教后分析本节课容量有些大，利用多媒体课件相对好些，对于让学生探讨函数单调性和导数的关系这个环节上虽然用的时间比较多，但是对学生的掌握还是挺不错的，所以后面的练习进行的很轻