高考数学一轮复习总教案：18.3　不等式的证明(二)_20210103224757

1、18.3不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式 【例1】已知a，br，且ab1，求证：(a2)2(b2)2.【证明】 方法一：(放缩法)因为ab1，所以左边(a2)2(b2)222(ab)42右边.方法二：(反证法)假设(a2)2(b2)2，则 a2b24(ab)8.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212.所以(a)20，这与(a)20矛盾.故假设不成立，所以(a2)2(b2)2.【点拨】 根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用重要不等式a2 b2来源:2()2来证明比较好，它可以将具备a2b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件ab1

2、，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，an1，an满足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求证：a1，a2，an10.【证明】由题设a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假设a1，a2，an1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，an1中第一个出现的正数. 即a10，a20，ar10，ar0，则有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.这与题设an0矛盾.

3、由此证得a1，a2，an10成立.题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an，nn*，求证：an.来源:【证明】 方法一：(放缩法)，即n.所以12nan13(2n1).所以an·，来源:即an.方法二：(数学归纳法)当n1时，a1，而12，所以原不等式成立.假设nk (k1)时，不等式成立，即ak.则当nk1时，ak1，所以ak1.而(k1)，.所以ak1.故当nk1时，不等式也成立.综合知当nn*，都有an.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根

4、据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列，sn为其前n项和，计算得s1，s2，s3，s4，观察上述结果推测出计算sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想sn(nn).证明：当n1时，s1，等式成立.假设当nk(k1)时等式成立，即sk.则sk1sk.即当nk1时，等式也成立.综合得，对任何nn，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于a，如果ba，那么该地区今后会

5、发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 20.30)【解析】(1)依题意得a1a(1)bab，a2a1b(ab)b()2a(1)b，a3a2b()3a()2(1)b，由此猜测an()na()n1()n21b()na4()n1b(nn).下面用数学归纳法证明：当n1时，a1ab，猜测成立.假设nk(k2)时猜测成立，即ak()ka4()k1b成立.那么当nk1时，ak1akbb()k1a4()k11b，即当nk1时，猜测仍成立.来源:由知，对任意nn，猜测成立.(2)当ba时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于a，所以()na4()n1·aa，整理得()n5，两边取

6、对数得nlg lg 5，所以n7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)来源:(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立，所以ymax11.1(千辆/时).(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：当v40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如，n；(2)将分子或分母放大(或缩小)；(3