高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：选修4－1　几何证明选讲 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育 选修41几何证明选讲1平行线截割定理与相似三角形了解平行线截割定理，理解相似三角形的判定和性质定理，了解直角三角形射影定理2圆的初步(1)理解圆周角定理，理解圆的切线的判定和性质定理及弦切角定理(2)理解相交弦定理、割线定理、切割线定理(3)理解圆内接四边形的判定与性质定理知识点一平行线截割定理与相似三角形1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理：三

2、条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似3相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形

3、有一个锐角对应相等，那么它们相似(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似5直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项易误提醒1在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误2在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误3射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，

4、所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用自测练习1.(2016·鞍山模拟)如图，在abcd中，e是bc上一点，beec23，ae交bd于点f，则bffd的值为_解析：因为adbc，beec23，所以bead25，因为adbc，所以bffdbead25，即bffd.答案：2.如图，d，e分别是abc的边ab，ac上的点，debc且2，那么ade与四边形dbce的面积比是_解析：debc，adeabc，.2，故.答案：3.在rtacb中，c90°，cdab于d，若bdad19，则tanbcd的值为_解：由射影定理得cd2ad·bd，又bdad19，令bdx，

5、则ad9x(x>0)cd29x2，cd3x.rtcdb中 ，tanbcd.答案：知识点二圆的初步1圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径2圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹

6、的弧的度数的一半(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项易误提醒1解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，要注意角之间关系，易于混淆导致错误2使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用自测练习4.如图所示，cd是圆o的切线，切点为c，点b在圆o上，bc2，bcd30°，则圆o的面积为_解析：过b

7、作o的直径ba，连接ac(图略)，则acb90°.又由弦切角定理得cabbcd30°，ab2bc4.半径oa2，sr24.答案：45.如图所示，已知o的割线pab交o于a，b两点，割线pcd经过圆心，若pa3，ab4，po5，则o的半径为_解析：设o的半径为r.由割线定理得pa·pbpc·pd,3×7(por)(por)，即2125r2，r24，r2.答案：2考点一平行线分线段成比例定理的应用|1.如图，等边三角形def内接于abc，且debc，已知ahbc于点h，bc4，ah，求def的边长解：设dex，ah交de于点m，显然mh的长度与等边

8、三角形def的高相等，又debc，则，所以，解得x.2.如图，在abc中，点d是ac的中点，点e是bd的中点，ae交bc于点f，求的值解：如图，过点d作dmaf交bc于点m.点e是bd的中点，在bdm中，bffm.又点d是ac的中点，在caf中，cmmf，.平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题考点二相似三角形的判定及性质|1如图，ad，be是a

9、bc的两条高，dfab，垂足为f，交be于点g，交ac的延长线于h，求证：df2gf·hf.证明：在afh与gfb中，因为hbac90°，gbfbac90°，所以hgbf.因为afhbfg90°，所以afhgfb，所以，所以af·bfgf·hf.因为在rtabd中，fdab，所以df2af·bf.所以df2gf·hf.2.如图，m是平行四边形abcd的边ab的中点，直线l过点m分别交ad，ac于点e，f，交cb的延长线于点n.若ae2，ad6，求的值解：adbc，aefcnf，.m为ab的中点，1，aebn，.ae

10、2，bcad6，.3.如图所示，cd垂直平分ab，点e在cd上，dfac，dgbe，f，g分别为垂足求证：af·acbg·be.证明：因为cd垂直平分ab，所以adcbdc90°，addb.在rtadc中，因为dfac，所以ad2af·ac.同理bd2bg·be.所以af·acbg·be.1证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例2注意射影定理的其他变式考点三圆中有关定理及推论的应用|(1)(2015

11、83;高考湖北卷)如图，pa是圆的切线，a为切点，pbc是圆的割线，且bc3pb，则_.解析因为pa是圆的切线，a为切点，pbc是圆的割线，由切割线定理，知pa2pb·pcpb(pbbc)因为bc3pb，所以pa24pb2，即pa2pb.由pabpca，所以.答案(2)(2015·高考全国卷)如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e.若d为ac的中点，证明：de是o的切线；若oace，求acb的大小解证明：如图，连接ae，由已知得，aebc，acab.在rtaec中，由已知得，dedc，故decdce.连接oe，则obeoeb.又acbabc90°，所

12、以decoeb90°，故oed90°，de是o的切线设ce1，aex，由已知得ab2，be.由射影定理可得，ae2ce·be，所以x2，即x4x2120.可得x，所以acb60°.(1)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角(2)与圆有关的比例线段解题思路：见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理见到圆的两条割线就要想到割线定理见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 1(2015·高考重庆卷)如图，圆o的弦ab，cd相交于点e，过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p，若pa6，ae9

13、，pc3，ceed21，则be_.解析：由切割线定理，知pa2pc·pd，即623pd，解得pd12，所以cdpdpc9，所以ce6，ed3.由相交弦定理，知ae·bece·ed，即9be6×3，解得be2.答案：22如图所示，已知d为abc的bc边上一点，o1经过点b，d，交ab于另一点e，o2经过点c，d，交ac于另一点f，o1与o2的另一交点为g.(1)求证：a、e、g、f四点共圆；(2)若ag切o2于g，求证：aefacg.证明：(1)如图，连接gd，四边形bdge，cdgf分别内接于o1，o2，aegbdg，afgcdg，又bdgcdg180&

14、#176;，aegafg180°，a、e、g、f四点共圆(2)a、e、g、f四点共圆，aefagf，ag与o2相切于点g，agfacg，aefacg.32.四点共圆的证明方法【典例】如图，ab是o的直径，弦bd，ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f.(1)求证：be·deac·cece2；(2)若d是be的中点，证明e，f，c，b四点共圆思路点拨(1)利用割线定理易证；(2)本题已知ab是o的直径，可得到线段相等，利用四个点到一定点的距离相等证明四点共圆解(1)证明：由割线定理得ea·ecde·be，所以be·deac&

15、#183;ceea·ceac·cece2，所以be·deac·cece2.(2)连接cb，cd，fd.因为ab是o的直径，所以ecb90°，所以cdeb.因为efbf，所以fdbe.所以e，f，c，b四点到点d的距离相等所以e，f，c，b四点共圆方法点评四点共圆的证明方法：(1)若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这

16、两个点和这条线段的两个端点共圆(5)若ab，cd两线段相交于点p，且pa·pbpc·pd，则a，b，c，d四点共圆(6)若ab，cd两线段延长后相交于点p，且pa·pbpc·pd，则a，b，c，d四点共圆(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆跟踪练习如图，点f是abc外接圆上的中点，点d，e在边ac上，使得adab，beec.证明：b，e，d，f四点共圆证明：如图，连接fc，fb，则fcfb.连接ef，则cefbef，所以bfecfe.因为a，b，f，c共圆，所以cabcfb180°，所以cab2bfe180&#

17、176;.连接bd，因为abad，所以abdadb，所以cab2adb180°.所以adbbfe.所以b，e，d，f四点共圆a组考点能力演练1.(2016·大连模拟)如图，已知d为abc中ac边的中点，aebc，ed交ab于g，交bc延长线于f，若bgga31，bc8，求ae的长解：因为aebc，d为ac的中点，所以aecf，.设aex，又bc8，所以，3xx8，所以x4.所以ae4.2.(2016·洛阳模拟)如图，ab为圆o的直径，cd为垂直于ab的一条弦，垂足为e，弦bm与cd交于点f.(1)证明：a，e，f，m四点共圆；(2)证明：ac2bf·bm

18、ab2.证明：(1)连接am(图略)，则amb90°.abcd，aef90°.ambaef180°，即a，e，f，m四点共圆(2)连接ac，cb(图略)由a，e，f，m四点共圆，得bf·bmbe·ba.在rtacb中，bc2be·ba，ac2cb2ab2，ac2bf·bmab2.3.已知：如图，在abc中，abac，bac90°，d，e，f分别在ab，ac，bc上，aeac，bdab，且cfbc.求证：(1)efbc；(2)adeebc.证明：设abac3a，则aebda，cfa.(1)，.又c为公共角，故bace

19、fc，由bac90°得efc90°，故efbc.(2)由(1)得ef·aba，故，adefbe，所以adeebc.4.(2016·兰州双基)如图，在正abc中，点d，e分别在bc，ac上，且bdbc，ceca，ad，be相交于点p.求证：(1)四点p，d，c，e共圆；(2)apcp.证明：(1)在正abc中，由bdbc，ceca，知：abdbce，adbbec，即adcbec，四点p，d，c，e共圆(2)连接de(图略)，在cde中，cd2ce，acd60°，由正弦定理知ced90°，由四点p，d，c，e共圆知，dpcdec，apcp

20、.5.如图，设ab为o的任一条不与直线l垂直的直径，p是o与l的公共点，acl，bdl，垂足分别为c，d，且pcpd.(1)求证：l是o的切线；(2)若o的半径oa5，ac4，求cd的长解：(1)证明：连接op，acl，bdl，acbd.又oaob，pcpd，opbd，从而opl.点p在o上，l是o的切线(2)由(1)可知op(acbd)，bd2opac1046.过点a作aebd，垂足为e，则bebdac642.在rtabe中，ae4.cd4.b组高考题型专练1(2014·高考新课标全国卷)如图，四边形abcd是o的内接四边形，ab的延长线与dc的延长线交于点e，且cbce.(1)证

21、明：de；(2)设ad不是o的直径，ad的中点为m，且mbmc，证明：ade为等边三角形证明：(1)由题设知a，b，c，d四点共圆，所以dcbe.由已知得cbee，故de.(2)如图，设bc的中点为n，连接mn，则由mbmc知mnbc，故o在直线mn上又ad不是o的直径，m为ad的中点，故omad，即mnad.所以adbc，故acbe.又cbee，故ae.由(1)知，de，所以ade为等边三角形2.(2015·高考湖南卷)如图，在o中，相交于点e的两弦ab，cd的中点分别是m，n，直线mo与直线cd相交于点f.证明：(1)mennom180°；(2)fe·fnfm·fo.证明：(1)如图所示因为m，n分别是弦ab，cd的中点，所以omab，oncd，即ome90°，eno90°，因此omeeno180°.又四边形的内角和等于360°，故mennom18