高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.13 定积分与微积分基本定理 Word版含答案_20210103224743

1、淘宝店铺：漫兮教育第十三节定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念(2)了解微积分基本定理的含义知识点一定积分1定积分的性质(1)kf(x)dxf(x)dx(k为常数)(2)f(x)±g(x)dxf(x)dx±g(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)2定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)(2)一般情况下，定积分f(x)dx的

2、几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线xa、xb之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数易误提醒(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负自测练习1设f(x)则f(x)dx的值是()a.x2dx b.2xdxc.x2dx2xdx d.2xdxx2dx解析：由分段函数的定义及积分运算性质，f(x)dx2xdxx2dx.答案：d2已知f(x)是偶函数，且f

3、(x)dx8，则f(x)dx()a0 b4c6 d16解析：因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y轴两侧的图象对称，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2f(x)dx16.答案：d知识点二微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)f(x)那么f(x)dxf(b)f(a)这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼兹公式为了方便，常把f(b)f(a)记成f(x)，即f(x)dxf(x)f(b)f(a)必备方法运用微积分基本定理求定积分的方法：(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对

4、于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分(4)注意用“f(x)f(x)”检验积分的对错自测练习3设axdx，b1xdx，cx3dx，则a，b，c的大小关系为()aa>b>c bb>a>cca>c>b db>c>a解析：axdxx，b1xdx1x，cx3dxx4，因此a>b>c，故选a.答案：a4由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为()a. b.c. d.解析：由得或结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为(x2x3)dx，故选a.答案：a考点一定积分的计算|1定积分dx的值为()a9 b3c. d.解析：由定积分的几何

5、意义知，dx是由曲线y，直线x0，x3，y0围成的封闭图形的面积，故dx，故选c.答案：c2(2016·临沂模拟)若(sin xacos x)dx2，则实数a等于()a1 b1c. d解析：(asin xcos x)sin xacos x.(sin xacos x)dx(asin xcos x)(asin 0cos 0)a12.a1.答案：b3(2015·西安模拟)已知a|x21|dx，则a_.解析：a|x21|dx(1x2)dx(x21)dx.答案：定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，

6、则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用 考点二利用定积分求平面图形的面积|设抛物线c：yx2与直线l：y1围成的封闭图形为p，则图形p的面积s等于()a1b.c. d.解析由得x±1.如图，由对称性可知，s22，选d.答案d利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限(3)用牛顿莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果1(2015·衡中三模)由曲线y2x2，直线yx及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是_解析：把阴影部分

7、分成两部分求面积ss1s2(2x2)dx(2x2x)dx22.答案：考点三定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v ­t曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为_解析由图象可知，v(t)所以 s6 s间的运动路程s v (t)= 2tdt2dtdt.答案利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求2一物体在力f(x)(单位：n)的作用下沿与力f(x)相同的方向运动了4米，力f(x)做功为()a44 jb46 jc48 j d50 j解析

8、：力f(x)做功为10dx(3x4)dx10x202646.答案：b5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】已知函数yf(x)的图象是折线段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_解析由题意可得f(x)所以yxf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx(10x10x2)dxx3.答案易误点评(1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错防范措施解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求

9、出曲线交点，必要时能正确分割图形(2)准确确定被积函数和积分变量跟踪练习(2015·洛阳期末)函数f(x)的图象与直线x1及x轴所围成的封闭图形的面积为_解析：由题意知，所求面积为(x1)dxexdxex(e1)e.答案：ea组考点能力演练1已知t>0，若(2x2)dx8，则t()a1 b2c2或4 d4解析：由(2x2)dx8得(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)，故选d.答案：d2(2015·青岛模拟)设f(x)(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为()a. b.c. d.解析：f(x)dxf(x)dxf(x)dxx2dxdxln xln e，

10、故选a.答案：a3(2016·武汉模拟)设a(3x22x)dx，则6的展开式中的第4项为()a1 280x3 b1 280c240 d240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理依题意得a(x3x2)4，二项式6的展开式的第四项是t4c·(4x2)3·31 280x3，故选a.答案：a4如图所示，设d是图中边长分别为1和2的矩形区域，e是d内位于函数y(x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从d内随机取一点m，则点m取自e内的概率为()a. b.c. d.解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义依题意，题中的矩形区域的面积是1×22，题中的阴影区域

11、的面积等于2×eq avs4al(iin(dx1ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(1,1ln 2，因此所求的概率等于，故选c.答案：c5已知数列an是等差数列，且a2 013a2 015dx，则a2 014(a2 0122a2 014a2 016)的值为()a2 b2c d42解析：dx表示圆x2y24在第一象限的面积，即dx，又数列an是等差数列，所以a2 013a2 015a2 012a2 0162a2 014，所以得a2 014·(a2 0122a2 014a2 016)×22，故选a.答案：a6(2015·南昌模拟)直线y

12、x与抛物线yxx2所围图形的面积等于_解析：由解得x0或，所以所求面积为dxdx×2×30.答案：7(2015·长春二模)已知a>0且曲线y、xa与y0所围成的封闭区域的面积为a2，则a_.解析：由题意a2dxx，所以a.答案：8已知a，则(cos xsin x)dx取最大值时，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1.a，当a时，max1.答案：9求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解：如图，由得交点a(1,1)；由得交点b(3，1)故所求面积sdxdx.10汽车以54 km/h的速度行驶，到某处需要

13、减速停车，设汽车以等加速度3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以开始刹车5 s后，汽车停车所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为sv(t)dt(153t)dt37.5(m)故汽车走了37.5 m.b组高考题型专练1(2014·高考陕西卷)定积分(2xex)dx的值为()ae2be1ce de1解析：(2xex)dx(x2ex)1e11e.答案：c2(2014·高考江西卷)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()a1 bc. d1解析：令f(

14、x)dxm，则f(x)x22m，所以f(x)dx(x22m)dx2mm，解得m，故选b.答案：b3(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2解析：由v(t)0得t4.故刹车距离为sv(t)dtdt425ln 5.答案：c4(2014·高考山东卷)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()a2 b4c2 d4解析：由得x0或x2或x2(舍)s(4xx3)dx4.答案：d5(2015·高考天津卷)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析：由题意，可得封闭图形的面积为(xx2)